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Theorem ismrer1 28884
Description: An isometry between  RR and  RR ^ 1. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismrer1.1  |-  R  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
ismrer1.2  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( { A }  X.  { x } ) )
Assertion
Ref Expression
ismrer1  |-  ( A  e.  V  ->  F  e.  ( R  Ismty  ( Rn
`  { A }
) ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    R( x)    F( x)    V( x)

Proof of Theorem ismrer1
Dummy variables  k 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 3994 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  { y }  =  { A } )
21xpeq1d 4970 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  ( { y }  X.  { x } )  =  ( { A }  X.  { x }
) )
32mpteq2dv 4486 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
x  e.  RR  |->  ( { y }  X.  { x } ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( { A }  X.  {
x } ) ) )
4 ismrer1.2 . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( { A }  X.  { x } ) )
53, 4syl6eqr 2513 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
x  e.  RR  |->  ( { y }  X.  { x } ) )  =  F )
6 f1oeq1 5739 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  |->  ( { y }  X.  { x } ) )  =  F  -> 
( ( x  e.  RR  |->  ( { y }  X.  { x } ) ) : RR -1-1-onto-> ( RR  ^m  {
y } )  <->  F : RR
-1-1-onto-> ( RR  ^m  { y } ) ) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
( x  e.  RR  |->  ( { y }  X.  { x } ) ) : RR -1-1-onto-> ( RR  ^m  {
y } )  <->  F : RR
-1-1-onto-> ( RR  ^m  { y } ) ) )
81oveq2d 6215 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  ( RR  ^m  { y } )  =  ( RR 
^m  { A }
) )
9 f1oeq3 5741 . . . . 5  |-  ( ( RR  ^m  { y } )  =  ( RR  ^m  { A } )  ->  ( F : RR -1-1-onto-> ( RR  ^m  {
y } )  <->  F : RR
-1-1-onto-> ( RR  ^m  { A } ) ) )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  ( F : RR -1-1-onto-> ( RR  ^m  {
y } )  <->  F : RR
-1-1-onto-> ( RR  ^m  { A } ) ) )
117, 10bitrd 253 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (
( x  e.  RR  |->  ( { y }  X.  { x } ) ) : RR -1-1-onto-> ( RR  ^m  {
y } )  <->  F : RR
-1-1-onto-> ( RR  ^m  { A } ) ) )
12 eqid 2454 . . . 4  |-  { y }  =  { y }
13 reex 9483 . . . 4  |-  RR  e.  _V
14 vex 3079 . . . 4  |-  y  e. 
_V
15 eqid 2454 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  ( { y }  X.  {
x } ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( { y }  X.  { x } ) )
1612, 13, 14, 15mapsnf1o3 7370 . . 3  |-  ( x  e.  RR  |->  ( { y }  X.  {
x } ) ) : RR -1-1-onto-> ( RR  ^m  {
y } )
1711, 16vtoclg 3134 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  F : RR -1-1-onto-> ( RR  ^m  { A } ) )
18 sneq 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
1918xpeq2d 4971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( { A }  X.  {
x } )  =  ( { A }  X.  { y } ) )
20 snex 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { A }  e.  _V
21 snex 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { x }  e.  _V
2220, 21xpex 6617 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { A }  X.  {
x } )  e. 
_V
2319, 4, 22fvmpt3i 5886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR  ->  ( F `  y )  =  ( { A }  X.  { y } ) )
2423fveq1d 5800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( F `  y
) `  A )  =  ( ( { A }  X.  {
y } ) `  A ) )
2524adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( F `  y ) `  A
)  =  ( ( { A }  X.  { y } ) `
 A ) )
26 snidg 4010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  { A } )
27 fvconst2g 6039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  _V  /\  A  e.  { A } )  ->  (
( { A }  X.  { y } ) `
 A )  =  y )
2814, 26, 27sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  V  ->  (
( { A }  X.  { y } ) `
 A )  =  y )
2925, 28sylan9eqr 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( ( F `  y ) `  A )  =  y )
30 sneq 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  { x }  =  { z } )
3130xpeq2d 4971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  ( { A }  X.  {
x } )  =  ( { A }  X.  { z } ) )
3231, 4, 22fvmpt3i 5886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  RR  ->  ( F `  z )  =  ( { A }  X.  { z } ) )
3332fveq1d 5800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  RR  ->  (
( F `  z
) `  A )  =  ( ( { A }  X.  {
z } ) `  A ) )
3433adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( F `  z ) `  A
)  =  ( ( { A }  X.  { z } ) `
 A ) )
35 vex 3079 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
36 fvconst2g 6039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  _V  /\  A  e.  { A } )  ->  (
( { A }  X.  { z } ) `
 A )  =  z )
3735, 26, 36sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  V  ->  (
( { A }  X.  { z } ) `
 A )  =  z )
3834, 37sylan9eqr 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( ( F `  z ) `  A )  =  z )
3929, 38oveq12d 6217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( (
( F `  y
) `  A )  -  ( ( F `
 z ) `  A ) )  =  ( y  -  z
) )
4039oveq1d 6214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( (
( ( F `  y ) `  A
)  -  ( ( F `  z ) `
 A ) ) ^ 2 )  =  ( ( y  -  z ) ^ 2 ) )
41 resubcl 9783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( y  -  z
)  e.  RR )
4241adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( y  -  z )  e.  RR )
43 absresq 12908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  -  z )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
y  -  z ) ) ^ 2 )  =  ( ( y  -  z ) ^
2 ) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( ( abs `  ( y  -  z ) ) ^
2 )  =  ( ( y  -  z
) ^ 2 ) )
4540, 44eqtr4d 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( (
( ( F `  y ) `  A
)  -  ( ( F `  z ) `
 A ) ) ^ 2 )  =  ( ( abs `  (
y  -  z ) ) ^ 2 ) )
4642recnd 9522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( y  -  z )  e.  CC )
4746abscld 13039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( abs `  ( y  -  z
) )  e.  RR )
4847recnd 9522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( abs `  ( y  -  z
) )  e.  CC )
4948sqcld 12122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( ( abs `  ( y  -  z ) ) ^
2 )  e.  CC )
5045, 49eqeltrd 2542 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( (
( ( F `  y ) `  A
)  -  ( ( F `  z ) `
 A ) ) ^ 2 )  e.  CC )
51 fveq2 5798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  A  ->  (
( F `  y
) `  k )  =  ( ( F `
 y ) `  A ) )
52 fveq2 5798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  A  ->  (
( F `  z
) `  k )  =  ( ( F `
 z ) `  A ) )
5351, 52oveq12d 6217 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  A  ->  (
( ( F `  y ) `  k
)  -  ( ( F `  z ) `
 k ) )  =  ( ( ( F `  y ) `
 A )  -  ( ( F `  z ) `  A
) ) )
5453oveq1d 6214 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  A  ->  (
( ( ( F `
 y ) `  k )  -  (
( F `  z
) `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  y
) `  A )  -  ( ( F `
 z ) `  A ) ) ^
2 ) )
5554sumsn 13334 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( ( ( ( F `  y ) `
 A )  -  ( ( F `  z ) `  A
) ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  { A }  ( (
( ( F `  y ) `  k
)  -  ( ( F `  z ) `
 k ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  y ) `
 A )  -  ( ( F `  z ) `  A
) ) ^ 2 ) )
5650, 55syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  sum_ k  e. 
{ A }  (
( ( ( F `
 y ) `  k )  -  (
( F `  z
) `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  y
) `  A )  -  ( ( F `
 z ) `  A ) ) ^
2 ) )
5756, 45eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  sum_ k  e. 
{ A }  (
( ( ( F `
 y ) `  k )  -  (
( F `  z
) `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  ( y  -  z
) ) ^ 2 ) )
5857fveq2d 5802 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( sqr ` 
sum_ k  e.  { A }  ( (
( ( F `  y ) `  k
)  -  ( ( F `  z ) `
 k ) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  (
( abs `  (
y  -  z ) ) ^ 2 ) ) )
5946absge0d 13047 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( y  -  z ) ) )
6047, 59sqrsqd 13023 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( sqr `  ( ( abs `  (
y  -  z ) ) ^ 2 ) )  =  ( abs `  ( y  -  z
) ) )
6158, 60eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( sqr ` 
sum_ k  e.  { A }  ( (
( ( F `  y ) `  k
)  -  ( ( F `  z ) `
 k ) ) ^ 2 ) )  =  ( abs `  (
y  -  z ) ) )
62 f1of 5748 . . . . . . . 8  |-  ( F : RR -1-1-onto-> ( RR  ^m  { A } )  ->  F : RR --> ( RR  ^m  { A } ) )
6317, 62syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  F : RR --> ( RR  ^m  { A } ) )
6463ffvelrnda 5951 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y
)  e.  ( RR 
^m  { A }
) )
6563ffvelrnda 5951 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  z  e.  RR )  ->  ( F `  z
)  e.  ( RR 
^m  { A }
) )
6664, 65anim12dan 833 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( ( F `  y )  e.  ( RR  ^m  { A } )  /\  ( F `  z )  e.  ( RR  ^m  { A } ) ) )
67 snfi 7499 . . . . . 6  |-  { A }  e.  Fin
68 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( RR 
^m  { A }
)  =  ( RR 
^m  { A }
)
6968rrnmval 28874 . . . . . 6  |-  ( ( { A }  e.  Fin  /\  ( F `  y )  e.  ( RR  ^m  { A } )  /\  ( F `  z )  e.  ( RR  ^m  { A } ) )  -> 
( ( F `  y ) ( Rn
`  { A }
) ( F `  z ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  { A }  ( ( ( ( F `  y
) `  k )  -  ( ( F `
 z ) `  k ) ) ^
2 ) ) )
7067, 69mp3an1 1302 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  ( RR 
^m  { A }
)  /\  ( F `  z )  e.  ( RR  ^m  { A } ) )  -> 
( ( F `  y ) ( Rn
`  { A }
) ( F `  z ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  { A }  ( ( ( ( F `  y
) `  k )  -  ( ( F `
 z ) `  k ) ) ^
2 ) ) )
7166, 70syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( ( F `  y )
( Rn `  { A } ) ( F `
 z ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  { A }  ( ( ( ( F `  y
) `  k )  -  ( ( F `
 z ) `  k ) ) ^
2 ) ) )
72 ismrer1.1 . . . . . 6  |-  R  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
7372remetdval 20497 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( y R z )  =  ( abs `  ( y  -  z
) ) )
7473adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( y R z )  =  ( abs `  (
y  -  z ) ) )
7561, 71, 743eqtr4rd 2506 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( y R z )  =  ( ( F `  y ) ( Rn
`  { A }
) ( F `  z ) ) )
7675ralrimivva 2912 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A. y  e.  RR  A. z  e.  RR  ( y R z )  =  ( ( F `  y
) ( Rn `  { A } ) ( F `  z ) ) )
7772rexmet 20499 . . 3  |-  R  e.  ( *Met `  RR )
7868rrnmet 28875 . . . 4  |-  ( { A }  e.  Fin  ->  ( Rn `  { A } )  e.  ( Met `  ( RR 
^m  { A }
) ) )
79 metxmet 20040 . . . 4  |-  ( ( Rn `  { A } )  e.  ( Met `  ( RR 
^m  { A }
) )  ->  ( Rn `  { A }
)  e.  ( *Met `  ( RR 
^m  { A }
) ) )
8067, 78, 79mp2b 10 . . 3  |-  ( Rn
`  { A }
)  e.  ( *Met `  ( RR 
^m  { A }
) )
81 isismty 28847 . . 3  |-  ( ( R  e.  ( *Met `  RR )  /\  ( Rn `  { A } )  e.  ( *Met `  ( RR  ^m  { A } ) ) )  ->  ( F  e.  ( R  Ismty  ( Rn
`  { A }
) )  <->  ( F : RR -1-1-onto-> ( RR  ^m  { A } )  /\  A. y  e.  RR  A. z  e.  RR  ( y R z )  =  ( ( F `  y
) ( Rn `  { A } ) ( F `  z ) ) ) ) )
8277, 80, 81mp2an 672 . 2  |-  ( F  e.  ( R  Ismty  ( Rn `  { A } ) )  <->  ( F : RR -1-1-onto-> ( RR  ^m  { A } )  /\  A. y  e.  RR  A. z  e.  RR  ( y R z )  =  ( ( F `  y
) ( Rn `  { A } ) ( F `  z ) ) ) )
8317, 76, 82sylanbrc 664 1  |-  ( A  e.  V  ->  F  e.  ( R  Ismty  ( Rn
`  { A }
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2798   _Vcvv 3076   {csn 3984    |-> cmpt 4457    X. cxp 4945    |` cres 4949    o. ccom 4951   -->wf 5521   -1-1-onto->wf1o 5524   ` cfv 5525  (class class class)co 6199    ^m cmap 7323   Fincfn 7419   CCcc 9390   RRcr 9391    - cmin 9705   2c2 10481   ^cexp 11981   sqrcsqr 12839   abscabs 12840   sum_csu 13280   *Metcxmt 17925   Metcme 17926    Ismty cismty 28844   Rncrrn 28871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-rp 11102  df-xadd 11200  df-ico 11416  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-seq 11923  df-exp 11982  df-hash 12220  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-clim 13083  df-sum 13281  df-xmet 17934  df-met 17935  df-ismty 28845  df-rrn 28872
This theorem is referenced by:  reheibor  28885
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