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Theorem ismrer1 28690
Description: An isometry between  RR and  RR ^ 1. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismrer1.1  |-  R  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
ismrer1.2  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( { A }  X.  { x } ) )
Assertion
Ref Expression
ismrer1  |-  ( A  e.  V  ->  F  e.  ( R  Ismty  ( Rn
`  { A }
) ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    R( x)    F( x)    V( x)

Proof of Theorem ismrer1
Dummy variables  k 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 3882 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  { y }  =  { A } )
21xpeq1d 4858 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  ( { y }  X.  { x } )  =  ( { A }  X.  { x }
) )
32mpteq2dv 4374 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
x  e.  RR  |->  ( { y }  X.  { x } ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( { A }  X.  {
x } ) ) )
4 ismrer1.2 . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( { A }  X.  { x } ) )
53, 4syl6eqr 2488 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
x  e.  RR  |->  ( { y }  X.  { x } ) )  =  F )
6 f1oeq1 5627 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  |->  ( { y }  X.  { x } ) )  =  F  -> 
( ( x  e.  RR  |->  ( { y }  X.  { x } ) ) : RR -1-1-onto-> ( RR  ^m  {
y } )  <->  F : RR
-1-1-onto-> ( RR  ^m  { y } ) ) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
( x  e.  RR  |->  ( { y }  X.  { x } ) ) : RR -1-1-onto-> ( RR  ^m  {
y } )  <->  F : RR
-1-1-onto-> ( RR  ^m  { y } ) ) )
81oveq2d 6102 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  ( RR  ^m  { y } )  =  ( RR 
^m  { A }
) )
9 f1oeq3 5629 . . . . 5  |-  ( ( RR  ^m  { y } )  =  ( RR  ^m  { A } )  ->  ( F : RR -1-1-onto-> ( RR  ^m  {
y } )  <->  F : RR
-1-1-onto-> ( RR  ^m  { A } ) ) )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  ( F : RR -1-1-onto-> ( RR  ^m  {
y } )  <->  F : RR
-1-1-onto-> ( RR  ^m  { A } ) ) )
117, 10bitrd 253 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (
( x  e.  RR  |->  ( { y }  X.  { x } ) ) : RR -1-1-onto-> ( RR  ^m  {
y } )  <->  F : RR
-1-1-onto-> ( RR  ^m  { A } ) ) )
12 eqid 2438 . . . 4  |-  { y }  =  { y }
13 reex 9365 . . . 4  |-  RR  e.  _V
14 vex 2970 . . . 4  |-  y  e. 
_V
15 eqid 2438 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  ( { y }  X.  {
x } ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( { y }  X.  { x } ) )
1612, 13, 14, 15mapsnf1o3 7253 . . 3  |-  ( x  e.  RR  |->  ( { y }  X.  {
x } ) ) : RR -1-1-onto-> ( RR  ^m  {
y } )
1711, 16vtoclg 3025 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  F : RR -1-1-onto-> ( RR  ^m  { A } ) )
18 sneq 3882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
1918xpeq2d 4859 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( { A }  X.  {
x } )  =  ( { A }  X.  { y } ) )
20 snex 4528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { A }  e.  _V
21 snex 4528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { x }  e.  _V
2220, 21xpex 6503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { A }  X.  {
x } )  e. 
_V
2319, 4, 22fvmpt3i 5773 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR  ->  ( F `  y )  =  ( { A }  X.  { y } ) )
2423fveq1d 5688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( F `  y
) `  A )  =  ( ( { A }  X.  {
y } ) `  A ) )
2524adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( F `  y ) `  A
)  =  ( ( { A }  X.  { y } ) `
 A ) )
26 snidg 3898 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  { A } )
27 fvconst2g 5926 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  _V  /\  A  e.  { A } )  ->  (
( { A }  X.  { y } ) `
 A )  =  y )
2814, 26, 27sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  V  ->  (
( { A }  X.  { y } ) `
 A )  =  y )
2925, 28sylan9eqr 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( ( F `  y ) `  A )  =  y )
30 sneq 3882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  { x }  =  { z } )
3130xpeq2d 4859 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  ( { A }  X.  {
x } )  =  ( { A }  X.  { z } ) )
3231, 4, 22fvmpt3i 5773 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  RR  ->  ( F `  z )  =  ( { A }  X.  { z } ) )
3332fveq1d 5688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  RR  ->  (
( F `  z
) `  A )  =  ( ( { A }  X.  {
z } ) `  A ) )
3433adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( F `  z ) `  A
)  =  ( ( { A }  X.  { z } ) `
 A ) )
35 vex 2970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
36 fvconst2g 5926 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  _V  /\  A  e.  { A } )  ->  (
( { A }  X.  { z } ) `
 A )  =  z )
3735, 26, 36sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  V  ->  (
( { A }  X.  { z } ) `
 A )  =  z )
3834, 37sylan9eqr 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( ( F `  z ) `  A )  =  z )
3929, 38oveq12d 6104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( (
( F `  y
) `  A )  -  ( ( F `
 z ) `  A ) )  =  ( y  -  z
) )
4039oveq1d 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( (
( ( F `  y ) `  A
)  -  ( ( F `  z ) `
 A ) ) ^ 2 )  =  ( ( y  -  z ) ^ 2 ) )
41 resubcl 9665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( y  -  z
)  e.  RR )
4241adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( y  -  z )  e.  RR )
43 absresq 12783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  -  z )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
y  -  z ) ) ^ 2 )  =  ( ( y  -  z ) ^
2 ) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( ( abs `  ( y  -  z ) ) ^
2 )  =  ( ( y  -  z
) ^ 2 ) )
4540, 44eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( (
( ( F `  y ) `  A
)  -  ( ( F `  z ) `
 A ) ) ^ 2 )  =  ( ( abs `  (
y  -  z ) ) ^ 2 ) )
4642recnd 9404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( y  -  z )  e.  CC )
4746abscld 12914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( abs `  ( y  -  z
) )  e.  RR )
4847recnd 9404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( abs `  ( y  -  z
) )  e.  CC )
4948sqcld 11998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( ( abs `  ( y  -  z ) ) ^
2 )  e.  CC )
5045, 49eqeltrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( (
( ( F `  y ) `  A
)  -  ( ( F `  z ) `
 A ) ) ^ 2 )  e.  CC )
51 fveq2 5686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  A  ->  (
( F `  y
) `  k )  =  ( ( F `
 y ) `  A ) )
52 fveq2 5686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  A  ->  (
( F `  z
) `  k )  =  ( ( F `
 z ) `  A ) )
5351, 52oveq12d 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  A  ->  (
( ( F `  y ) `  k
)  -  ( ( F `  z ) `
 k ) )  =  ( ( ( F `  y ) `
 A )  -  ( ( F `  z ) `  A
) ) )
5453oveq1d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  A  ->  (
( ( ( F `
 y ) `  k )  -  (
( F `  z
) `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  y
) `  A )  -  ( ( F `
 z ) `  A ) ) ^
2 ) )
5554sumsn 13209 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( ( ( ( F `  y ) `
 A )  -  ( ( F `  z ) `  A
) ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  { A }  ( (
( ( F `  y ) `  k
)  -  ( ( F `  z ) `
 k ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  y ) `
 A )  -  ( ( F `  z ) `  A
) ) ^ 2 ) )
5650, 55syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  sum_ k  e. 
{ A }  (
( ( ( F `
 y ) `  k )  -  (
( F `  z
) `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  y
) `  A )  -  ( ( F `
 z ) `  A ) ) ^
2 ) )
5756, 45eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  sum_ k  e. 
{ A }  (
( ( ( F `
 y ) `  k )  -  (
( F `  z
) `  k )
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  ( y  -  z
) ) ^ 2 ) )
5857fveq2d 5690 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( sqr ` 
sum_ k  e.  { A }  ( (
( ( F `  y ) `  k
)  -  ( ( F `  z ) `
 k ) ) ^ 2 ) )  =  ( sqr `  (
( abs `  (
y  -  z ) ) ^ 2 ) ) )
5946absge0d 12922 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( y  -  z ) ) )
6047, 59sqrsqd 12898 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( sqr `  ( ( abs `  (
y  -  z ) ) ^ 2 ) )  =  ( abs `  ( y  -  z
) ) )
6158, 60eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( sqr ` 
sum_ k  e.  { A }  ( (
( ( F `  y ) `  k
)  -  ( ( F `  z ) `
 k ) ) ^ 2 ) )  =  ( abs `  (
y  -  z ) ) )
62 f1of 5636 . . . . . . . 8  |-  ( F : RR -1-1-onto-> ( RR  ^m  { A } )  ->  F : RR --> ( RR  ^m  { A } ) )
6317, 62syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  F : RR --> ( RR  ^m  { A } ) )
6463ffvelrnda 5838 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y
)  e.  ( RR 
^m  { A }
) )
6563ffvelrnda 5838 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  z  e.  RR )  ->  ( F `  z
)  e.  ( RR 
^m  { A }
) )
6664, 65anim12dan 833 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( ( F `  y )  e.  ( RR  ^m  { A } )  /\  ( F `  z )  e.  ( RR  ^m  { A } ) ) )
67 snfi 7382 . . . . . 6  |-  { A }  e.  Fin
68 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( RR 
^m  { A }
)  =  ( RR 
^m  { A }
)
6968rrnmval 28680 . . . . . 6  |-  ( ( { A }  e.  Fin  /\  ( F `  y )  e.  ( RR  ^m  { A } )  /\  ( F `  z )  e.  ( RR  ^m  { A } ) )  -> 
( ( F `  y ) ( Rn
`  { A }
) ( F `  z ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  { A }  ( ( ( ( F `  y
) `  k )  -  ( ( F `
 z ) `  k ) ) ^
2 ) ) )
7067, 69mp3an1 1301 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  ( RR 
^m  { A }
)  /\  ( F `  z )  e.  ( RR  ^m  { A } ) )  -> 
( ( F `  y ) ( Rn
`  { A }
) ( F `  z ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  { A }  ( ( ( ( F `  y
) `  k )  -  ( ( F `
 z ) `  k ) ) ^
2 ) ) )
7166, 70syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( ( F `  y )
( Rn `  { A } ) ( F `
 z ) )  =  ( sqr `  sum_ k  e.  { A }  ( ( ( ( F `  y
) `  k )  -  ( ( F `
 z ) `  k ) ) ^
2 ) ) )
72 ismrer1.1 . . . . . 6  |-  R  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
7372remetdval 20341 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( y R z )  =  ( abs `  ( y  -  z
) ) )
7473adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( y R z )  =  ( abs `  (
y  -  z ) ) )
7561, 71, 743eqtr4rd 2481 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( y R z )  =  ( ( F `  y ) ( Rn
`  { A }
) ( F `  z ) ) )
7675ralrimivva 2803 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A. y  e.  RR  A. z  e.  RR  ( y R z )  =  ( ( F `  y
) ( Rn `  { A } ) ( F `  z ) ) )
7772rexmet 20343 . . 3  |-  R  e.  ( *Met `  RR )
7868rrnmet 28681 . . . 4  |-  ( { A }  e.  Fin  ->  ( Rn `  { A } )  e.  ( Met `  ( RR 
^m  { A }
) ) )
79 metxmet 19884 . . . 4  |-  ( ( Rn `  { A } )  e.  ( Met `  ( RR 
^m  { A }
) )  ->  ( Rn `  { A }
)  e.  ( *Met `  ( RR 
^m  { A }
) ) )
8067, 78, 79mp2b 10 . . 3  |-  ( Rn
`  { A }
)  e.  ( *Met `  ( RR 
^m  { A }
) )
81 isismty 28653 . . 3  |-  ( ( R  e.  ( *Met `  RR )  /\  ( Rn `  { A } )  e.  ( *Met `  ( RR  ^m  { A } ) ) )  ->  ( F  e.  ( R  Ismty  ( Rn
`  { A }
) )  <->  ( F : RR -1-1-onto-> ( RR  ^m  { A } )  /\  A. y  e.  RR  A. z  e.  RR  ( y R z )  =  ( ( F `  y
) ( Rn `  { A } ) ( F `  z ) ) ) ) )
8277, 80, 81mp2an 672 . 2  |-  ( F  e.  ( R  Ismty  ( Rn `  { A } ) )  <->  ( F : RR -1-1-onto-> ( RR  ^m  { A } )  /\  A. y  e.  RR  A. z  e.  RR  ( y R z )  =  ( ( F `  y
) ( Rn `  { A } ) ( F `  z ) ) ) )
8317, 76, 82sylanbrc 664 1  |-  ( A  e.  V  ->  F  e.  ( R  Ismty  ( Rn
`  { A }
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   _Vcvv 2967   {csn 3872    e. cmpt 4345    X. cxp 4833    |` cres 4837    o. ccom 4839   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    ^m cmap 7206   Fincfn 7302   CCcc 9272   RRcr 9273    - cmin 9587   2c2 10363   ^cexp 11857   sqrcsqr 12714   abscabs 12715   sum_csu 13155   *Metcxmt 17776   Metcme 17777    Ismty cismty 28650   Rncrrn 28677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-xadd 11082  df-ico 11298  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156  df-xmet 17785  df-met 17786  df-ismty 28651  df-rrn 28678
This theorem is referenced by:  reheibor  28691
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