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Theorem ismon2 13915
Description: Write out the monomorphism property directly. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ismon.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
ismon.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
ismon.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
ismon.s  |-  M  =  (Mono `  C )
ismon.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
ismon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
ismon.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
ismon2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X M Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  A. g  e.  ( z H X ) A. h  e.  ( z H X ) ( ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) h )  ->  g  =  h ) ) ) )
Distinct variable groups:    g, h, z, B    ph, g, h, z    C, g, h, z   
g, H, h, z    .x. , g, h, z    g, F, h, z    g, X, h, z    g, Y, h, z
Allowed substitution hints:    M( z, g, h)

Proof of Theorem ismon2
StepHypRef Expression
1 ismon.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 ismon.h . . 3  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
3 ismon.o . . 3  |-  .x.  =  (comp `  C )
4 ismon.s . . 3  |-  M  =  (Mono `  C )
5 ismon.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
6 ismon.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
7 ismon.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ismon 13914 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X M Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g ) ) ) ) )
95ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( z H X ) ) )  ->  C  e.  Cat )
10 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( z H X ) ) )  ->  z  e.  B
)
116ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( z H X ) ) )  ->  X  e.  B
)
127ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( z H X ) ) )  ->  Y  e.  B
)
13 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( z H X ) ) )  ->  g  e.  ( z H X ) )
14 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( z H X ) ) )  ->  F  e.  ( X H Y ) )
151, 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14catcocl 13865 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( z H X ) ) )  ->  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g )  e.  ( z H Y ) )
1615anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  z  e.  B )  /\  g  e.  (
z H X ) )  ->  ( F
( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  e.  ( z H Y ) )
1716ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  z  e.  B )  ->  A. g  e.  ( z H X ) ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g )  e.  ( z H Y ) )
18 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g ) )  =  ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g ) )
1918fmpt 5849 . . . . . . 7  |-  ( A. g  e.  ( z H X ) ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  e.  ( z H Y )  <->  ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g ) ) : ( z H X ) --> ( z H Y ) )
20 df-f1 5418 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g ) ) : ( z H X ) -1-1-> ( z H Y )  <->  ( (
g  e.  ( z H X )  |->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g ) ) : ( z H X ) --> ( z H Y )  /\  Fun  `' ( g  e.  ( z H X ) 
|->  ( F ( <.
z ,  X >.  .x. 
Y ) g ) ) ) )
2120baib 872 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g ) ) : ( z H X ) --> ( z H Y )  ->  (
( g  e.  ( z H X ) 
|->  ( F ( <.
z ,  X >.  .x. 
Y ) g ) ) : ( z H X ) -1-1-> ( z H Y )  <->  Fun  `' ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g ) ) ) )
2219, 21sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( A. g  e.  ( z H X ) ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  e.  ( z H Y )  -> 
( ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g ) ) : ( z H X ) -1-1-> ( z H Y )  <->  Fun  `' ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g ) ) ) )
23 oveq2 6048 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  h  ->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) h ) )
2418, 23f1mpt 5966 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g ) ) : ( z H X ) -1-1-> ( z H Y )  <->  ( A. g  e.  ( z H X ) ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  e.  ( z H Y )  /\  A. g  e.  ( z H X ) A. h  e.  ( z H X ) ( ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) h )  ->  g  =  h ) ) )
2524baib 872 . . . . . 6  |-  ( A. g  e.  ( z H X ) ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  e.  ( z H Y )  -> 
( ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g ) ) : ( z H X ) -1-1-> ( z H Y )  <->  A. g  e.  (
z H X ) A. h  e.  ( z H X ) ( ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g )  =  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) h )  ->  g  =  h ) ) )
2622, 25bitr3d 247 . . . . 5  |-  ( A. g  e.  ( z H X ) ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  e.  ( z H Y )  -> 
( Fun  `' (
g  e.  ( z H X )  |->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g ) )  <->  A. g  e.  ( z H X ) A. h  e.  ( z H X ) ( ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) h )  ->  g  =  h ) ) )
2717, 26syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  z  e.  B )  ->  ( Fun  `' ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g ) )  <->  A. g  e.  ( z H X ) A. h  e.  ( z H X ) ( ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g )  =  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) h )  ->  g  =  h ) ) )
2827ralbidva 2682 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  ->  ( A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( z H X ) 
|->  ( F ( <.
z ,  X >.  .x. 
Y ) g ) )  <->  A. z  e.  B  A. g  e.  (
z H X ) A. h  e.  ( z H X ) ( ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g )  =  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) h )  ->  g  =  h ) ) )
2928pm5.32da 623 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g ) ) )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  A. g  e.  ( z H X ) A. h  e.  ( z H X ) ( ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) h )  ->  g  =  h ) ) ) )
308, 29bitrd 245 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X M Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  A. g  e.  ( z H X ) A. h  e.  ( z H X ) ( ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) h )  ->  g  =  h ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   <.cop 3777    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   Fun wfun 5407   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424    Hom chom 13495  compcco 13496   Catccat 13844  Monocmon 13909
This theorem is referenced by:  moni  13917  sectmon  13958  fthmon  14079  setcmon  14197
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-cat 13848  df-mon 13911
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