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Theorem ismon2 15222
Description: Write out the monomorphism property directly. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ismon.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
ismon.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
ismon.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
ismon.s  |-  M  =  (Mono `  C )
ismon.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
ismon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
ismon.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
ismon2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X M Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  A. g  e.  ( z H X ) A. h  e.  ( z H X ) ( ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) h )  ->  g  =  h ) ) ) )
Distinct variable groups:    g, h, z, B    ph, g, h, z    C, g, h, z   
g, H, h, z    .x. , g, h, z    g, F, h, z    g, X, h, z    g, Y, h, z
Allowed substitution hints:    M( z, g, h)

Proof of Theorem ismon2
StepHypRef Expression
1 ismon.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 ismon.h . . 3  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
3 ismon.o . . 3  |-  .x.  =  (comp `  C )
4 ismon.s . . 3  |-  M  =  (Mono `  C )
5 ismon.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
6 ismon.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
7 ismon.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ismon 15221 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X M Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g ) ) ) ) )
95ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( z H X ) ) )  ->  C  e.  Cat )
10 simprl 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( z H X ) ) )  ->  z  e.  B
)
116ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( z H X ) ) )  ->  X  e.  B
)
127ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( z H X ) ) )  ->  Y  e.  B
)
13 simprr 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( z H X ) ) )  ->  g  e.  ( z H X ) )
14 simplr 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( z H X ) ) )  ->  F  e.  ( X H Y ) )
151, 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14catcocl 15174 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( z H X ) ) )  ->  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g )  e.  ( z H Y ) )
1615anassrs 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  z  e.  B )  /\  g  e.  (
z H X ) )  ->  ( F
( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  e.  ( z H Y ) )
1716ralrimiva 2868 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  z  e.  B )  ->  A. g  e.  ( z H X ) ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g )  e.  ( z H Y ) )
18 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g ) )  =  ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g ) )
1918fmpt 6028 . . . . . . 7  |-  ( A. g  e.  ( z H X ) ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  e.  ( z H Y )  <->  ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g ) ) : ( z H X ) --> ( z H Y ) )
20 df-f1 5575 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g ) ) : ( z H X ) -1-1-> ( z H Y )  <->  ( (
g  e.  ( z H X )  |->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g ) ) : ( z H X ) --> ( z H Y )  /\  Fun  `' ( g  e.  ( z H X ) 
|->  ( F ( <.
z ,  X >.  .x. 
Y ) g ) ) ) )
2120baib 901 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g ) ) : ( z H X ) --> ( z H Y )  ->  (
( g  e.  ( z H X ) 
|->  ( F ( <.
z ,  X >.  .x. 
Y ) g ) ) : ( z H X ) -1-1-> ( z H Y )  <->  Fun  `' ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g ) ) ) )
2219, 21sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( A. g  e.  ( z H X ) ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  e.  ( z H Y )  -> 
( ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g ) ) : ( z H X ) -1-1-> ( z H Y )  <->  Fun  `' ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g ) ) ) )
23 oveq2 6278 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  h  ->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) h ) )
2418, 23f1mpt 6144 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g ) ) : ( z H X ) -1-1-> ( z H Y )  <->  ( A. g  e.  ( z H X ) ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  e.  ( z H Y )  /\  A. g  e.  ( z H X ) A. h  e.  ( z H X ) ( ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) h )  ->  g  =  h ) ) )
2524baib 901 . . . . . 6  |-  ( A. g  e.  ( z H X ) ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  e.  ( z H Y )  -> 
( ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g ) ) : ( z H X ) -1-1-> ( z H Y )  <->  A. g  e.  (
z H X ) A. h  e.  ( z H X ) ( ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g )  =  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) h )  ->  g  =  h ) ) )
2622, 25bitr3d 255 . . . . 5  |-  ( A. g  e.  ( z H X ) ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  e.  ( z H Y )  -> 
( Fun  `' (
g  e.  ( z H X )  |->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g ) )  <->  A. g  e.  ( z H X ) A. h  e.  ( z H X ) ( ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) h )  ->  g  =  h ) ) )
2717, 26syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  z  e.  B )  ->  ( Fun  `' ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g ) )  <->  A. g  e.  ( z H X ) A. h  e.  ( z H X ) ( ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g )  =  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) h )  ->  g  =  h ) ) )
2827ralbidva 2890 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  ->  ( A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( z H X ) 
|->  ( F ( <.
z ,  X >.  .x. 
Y ) g ) )  <->  A. z  e.  B  A. g  e.  (
z H X ) A. h  e.  ( z H X ) ( ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g )  =  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) h )  ->  g  =  h ) ) )
2928pm5.32da 639 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g ) ) )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  A. g  e.  ( z H X ) A. h  e.  ( z H X ) ( ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) h )  ->  g  =  h ) ) ) )
308, 29bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X M Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  A. g  e.  ( z H X ) A. h  e.  ( z H X ) ( ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) h )  ->  g  =  h ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   <.cop 4022    |-> cmpt 4497   `'ccnv 4987   Fun wfun 5564   -->wf 5566   -1-1->wf1 5567   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   Hom chom 14795  compcco 14796   Catccat 15153  Monocmon 15216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-cat 15157  df-mon 15218
This theorem is referenced by:  moni  15224  sectmon  15270  fthmon  15415  setcmon  15565
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