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Theorem ismntop 28825
Description: Property of being a manifold. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
ismntop  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  J  e.  V )  ->  ( NManTop J  <->  ( J  e.  2ndc  /\  J  e.  Haus  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  ~=  ( TopOpen
`  (𝔼hil `  N ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    u, J, x, y    u, N, x, y
Allowed substitution hints:    V( x, y, u)

Proof of Theorem ismntop
StepHypRef Expression
1 ismntoplly 28824 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  J  e.  V )  ->  ( NManTop J  <->  ( J  e.  2ndc  /\  J  e.  Haus  /\  J  e. Locally  [ (
TopOpen `  (𝔼hil `  N ) ) ]  ~=  ) ) )
2 haustop 20333 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Top )
32adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  J  e.  Haus )  ->  J  e.  Top )
43biantrurd 510 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  J  e.  Haus )  -> 
( A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  [
( TopOpen `  (𝔼hil `  N ) ) ]  ~=  )  <->  ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  [
( TopOpen `  (𝔼hil `  N ) ) ]  ~=  ) ) ) )
5 hmpher 20785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~=  Er  Top
6 errel 7376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  ~=  Er  Top  ->  Rel  ~=  )
7 relelec 7408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Rel 
~=  ->  ( ( Jt  u )  e.  [ (
TopOpen `  (𝔼hil `  N ) ) ]  ~=  <->  ( TopOpen `  (𝔼hil `  N
) )  ~=  ( Jt  u ) ) )
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Jt  u )  e.  [
( TopOpen `  (𝔼hil `  N ) ) ]  ~=  <->  ( TopOpen `  (𝔼hil `  N
) )  ~=  ( Jt  u ) )
9 hmphsymb 20787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen `  (𝔼hil `  N ) )  ~=  ( Jt  u )  <->  ( Jt  u
)  ~=  ( TopOpen `  (𝔼hil `  N ) ) )
108, 9bitr2i 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Jt  u )  ~=  ( TopOpen
`  (𝔼hil `  N ) )  <->  ( Jt  u
)  e.  [ (
TopOpen `  (𝔼hil `  N ) ) ]  ~=  )
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  J  e.  Haus )  -> 
( ( Jt  u )  ~=  ( TopOpen `  (𝔼hil `  N
) )  <->  ( Jt  u
)  e.  [ (
TopOpen `  (𝔼hil `  N ) ) ]  ~=  ) )
1211anbi2d 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  J  e.  Haus )  -> 
( ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  ~=  ( TopOpen `  (𝔼hil `  N ) ) )  <-> 
( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  [
( TopOpen `  (𝔼hil `  N ) ) ]  ~=  ) ) )
1312rexbidv 2939 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  J  e.  Haus )  -> 
( E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  ~=  ( TopOpen
`  (𝔼hil `  N ) ) )  <->  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  [
( TopOpen `  (𝔼hil `  N ) ) ]  ~=  ) ) )
14132ralbidv 2869 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  J  e.  Haus )  -> 
( A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  ~=  ( TopOpen
`  (𝔼hil `  N ) ) )  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  [
( TopOpen `  (𝔼hil `  N ) ) ]  ~=  ) ) )
15 islly 20469 . . . . . . . 8  |-  ( J  e. Locally  [ ( TopOpen `  (𝔼hil `  N
) ) ]  ~=  <->  ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  [
( TopOpen `  (𝔼hil `  N ) ) ]  ~=  ) ) )
1615a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  J  e.  Haus )  -> 
( J  e. Locally  [ (
TopOpen `  (𝔼hil `  N ) ) ]  ~=  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  [
( TopOpen `  (𝔼hil `  N ) ) ]  ~=  ) ) ) )
174, 14, 163bitr4rd 289 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  J  e.  Haus )  -> 
( J  e. Locally  [ (
TopOpen `  (𝔼hil `  N ) ) ]  ~=  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  ~=  ( TopOpen
`  (𝔼hil `  N ) ) ) ) )
1817pm5.32da 645 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( J  e.  Haus  /\  J  e. Locally  [ ( TopOpen `  (𝔼hil `  N
) ) ]  ~=  ) 
<->  ( J  e.  Haus  /\ 
A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  ~=  ( TopOpen
`  (𝔼hil `  N ) ) ) ) ) )
1918anbi2d 708 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( J  e.  2ndc  /\  ( J  e.  Haus  /\  J  e. Locally  [ ( TopOpen `  (𝔼hil `  N
) ) ]  ~=  ) )  <->  ( J  e.  2ndc  /\  ( J  e.  Haus  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  ~=  ( TopOpen
`  (𝔼hil `  N ) ) ) ) ) ) )
20 3anass 986 . . . 4  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  J  e.  Haus  /\  J  e. Locally  [ ( TopOpen `  (𝔼hil `  N ) ) ]  ~=  )  <->  ( J  e.  2ndc  /\  ( J  e.  Haus  /\  J  e. Locally  [ ( TopOpen `  (𝔼hil `  N ) ) ]  ~=  ) ) )
21 3anass 986 . . . 4  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  J  e.  Haus  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  ~=  ( TopOpen
`  (𝔼hil `  N ) ) ) )  <->  ( J  e. 
2ndc  /\  ( J  e. 
Haus  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  ~=  ( TopOpen
`  (𝔼hil `  N ) ) ) ) ) )
2219, 20, 213bitr4g 291 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( J  e.  2ndc  /\  J  e.  Haus  /\  J  e. Locally  [ ( TopOpen `  (𝔼hil `  N ) ) ]  ~=  )  <->  ( J  e.  2ndc  /\  J  e.  Haus  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  ~=  ( TopOpen
`  (𝔼hil `  N ) ) ) ) ) )
2322adantr 466 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  J  e.  V )  ->  ( ( J  e. 
2ndc  /\  J  e.  Haus  /\  J  e. Locally  [ ( TopOpen
`  (𝔼hil `  N ) ) ]  ~=  )  <->  ( J  e.  2ndc  /\  J  e.  Haus  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  ~=  ( TopOpen
`  (𝔼hil `  N ) ) ) ) ) )
241, 23bitrd 256 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  J  e.  V )  ->  ( NManTop J  <->  ( J  e.  2ndc  /\  J  e.  Haus  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  ~=  ( TopOpen
`  (𝔼hil `  N ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776    i^i cin 3435   ~Pcpw 3979   class class class wbr 4420   Rel wrel 4854   ` cfv 5597  (class class class)co 6301    Er wer 7364   [cec 7365   NN0cn0 10869   ↾t crest 15306   TopOpenctopn 15307   Topctop 19903   Hauscha 20310   2ndcc2ndc 20439  Locally clly 20465    ~= chmph 20755  𝔼hilcehl 22329  ManTopcmntop 28821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4764  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-1o 7186  df-er 7367  df-ec 7369  df-map 7478  df-top 19907  df-topon 19909  df-cn 20229  df-haus 20317  df-lly 20467  df-hmeo 20756  df-hmph 20757  df-mntop 28822
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