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Theorem ismndo2 25489
Description: The predicate "is a monoid". (Contributed by FL, 2-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ismndo2.1  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
ismndo2  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e. MndOp  <->  ( G :
( X  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, G, y, z    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem ismndo2
StepHypRef Expression
1 ismndo2.1 . . . 4  |-  X  =  ran  G
2 mndomgmid 25486 . . . . 5  |-  ( G  e. MndOp  ->  G  e.  (
Magma  i^i  ExId  ) )
3 rngopidOLD 25467 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( Magma  i^i  ExId  )  ->  ran  G  =  dom  dom  G )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( G  e. MndOp  ->  ran  G  =  dom  dom  G )
51, 4syl5eq 2449 . . 3  |-  ( G  e. MndOp  ->  X  =  dom  dom 
G )
65a1i 11 . 2  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e. MndOp  ->  X  =  dom  dom  G )
)
7 fdm 5660 . . . . . 6  |-  ( G : ( X  X.  X ) --> X  ->  dom  G  =  ( X  X.  X ) )
87dmeqd 5135 . . . . 5  |-  ( G : ( X  X.  X ) --> X  ->  dom  dom  G  =  dom  ( X  X.  X
) )
9 dmxpid 5152 . . . . 5  |-  dom  ( X  X.  X )  =  X
108, 9syl6req 2454 . . . 4  |-  ( G : ( X  X.  X ) --> X  ->  X  =  dom  dom  G
)
11103ad2ant1 1015 . . 3  |-  ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) )  ->  X  =  dom  dom  G
)
1211a1i 11 . 2  |-  ( G  e.  A  ->  (
( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x G y )  =  y  /\  (
y G x )  =  y ) )  ->  X  =  dom  dom 
G ) )
13 eqid 2396 . . . 4  |-  dom  dom  G  =  dom  dom  G
1413ismndo1 25488 . . 3  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e. MndOp  <->  ( G :
( dom  dom  G  X.  dom  dom  G ) --> dom 
dom  G  /\  A. x  e.  dom  dom  G A. y  e.  dom  dom  G A. z  e.  dom  dom 
G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e. 
dom  dom  G A. y  e.  dom  dom  G (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) )
15 xpid11 5154 . . . . . . 7  |-  ( ( X  X.  X )  =  ( dom  dom  G  X.  dom  dom  G
)  <->  X  =  dom  dom 
G )
1615biimpri 206 . . . . . 6  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( X  X.  X
)  =  ( dom 
dom  G  X.  dom  dom  G ) )
17 feq23 5641 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  X.  X
)  =  ( dom 
dom  G  X.  dom  dom  G )  /\  X  =  dom  dom  G )  ->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  <->  G : ( dom 
dom  G  X.  dom  dom  G ) --> dom  dom  G ) )
1816, 17mpancom 667 . . . . 5  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  <->  G : ( dom 
dom  G  X.  dom  dom  G ) --> dom  dom  G ) )
19 raleq 2996 . . . . . . 7  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. z  e.  dom  dom 
G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
2019raleqbi1dv 3004 . . . . . 6  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. y  e.  dom  dom 
G A. z  e. 
dom  dom  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
2120raleqbi1dv 3004 . . . . 5  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. x  e.  dom  dom 
G A. y  e. 
dom  dom  G A. z  e.  dom  dom  G (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
22 raleq 2996 . . . . . 6  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y )  <->  A. y  e.  dom  dom  G (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )
2322rexeqbi1dv 3005 . . . . 5  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y )  <->  E. x  e.  dom  dom  G A. y  e.  dom  dom  G
( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )
2418, 21, 233anbi123d 1297 . . . 4  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( ( G :
( X  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) )  <->  ( G :
( dom  dom  G  X.  dom  dom  G ) --> dom 
dom  G  /\  A. x  e.  dom  dom  G A. y  e.  dom  dom  G A. z  e.  dom  dom 
G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e. 
dom  dom  G A. y  e.  dom  dom  G (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) )
2524bibi2d 316 . . 3  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( ( G  e. MndOp  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )  <-> 
( G  e. MndOp  <->  ( G : ( dom  dom  G  X.  dom  dom  G
) --> dom  dom  G  /\  A. x  e.  dom  dom  G A. y  e.  dom  dom 
G A. z  e. 
dom  dom  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  dom  dom  G A. y  e.  dom  dom  G
( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) ) )
2614, 25syl5ibrcom 222 . 2  |-  ( G  e.  A  ->  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( G  e. MndOp  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) ) )
276, 12, 26pm5.21ndd 352 1  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e. MndOp  <->  ( G :
( X  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1836   A.wral 2746   E.wrex 2747    i^i cin 3405    X. cxp 4928   dom cdm 4930   ran crn 4931   -->wf 5509  (class class class)co 6218    ExId cexid 25458   Magmacmagm 25462  MndOpcmndo 25481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pr 4618  ax-un 6513
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-ral 2751  df-rex 2752  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3729  df-if 3875  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-id 4726  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-fo 5519  df-fv 5521  df-ov 6221  df-ass 25457  df-exid 25459  df-mgmOLD 25463  df-sgrOLD 25475  df-mndo 25482
This theorem is referenced by:  grpomndo  25490
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