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Theorem ismndo1 25472
Description: The predicate "is a monoid". (Contributed by FL, 2-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ismndo1.1  |-  X  =  dom  dom  G
Assertion
Ref Expression
ismndo1  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e. MndOp  <->  ( G :
( X  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, G, y, z    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem ismndo1
StepHypRef Expression
1 ismndo1.1 . . 3  |-  X  =  dom  dom  G
21ismndo 25471 . 2  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e. MndOp  <->  ( G  e.  SemiGrp 
/\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) )
31smgrpmgm 25463 . . . . 5  |-  ( G  e.  SemiGrp  ->  G : ( X  X.  X ) --> X )
43ad2antrl 727 . . . 4  |-  ( ( G  e.  A  /\  ( G  e.  SemiGrp  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )  ->  G : ( X  X.  X ) --> X )
51smgrpassOLD 25464 . . . . 5  |-  ( G  e.  SemiGrp  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
65ad2antrl 727 . . . 4  |-  ( ( G  e.  A  /\  ( G  e.  SemiGrp  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
7 simprr 757 . . . 4  |-  ( ( G  e.  A  /\  ( G  e.  SemiGrp  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x G y )  =  y  /\  (
y G x )  =  y ) )
84, 6, 73jca 1176 . . 3  |-  ( ( G  e.  A  /\  ( G  e.  SemiGrp  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )  ->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )
9 3simpa 993 . . . . . 6  |-  ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) )  -> 
( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
101issmgrpOLD 25462 . . . . . 6  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e.  SemiGrp  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) ) )
119, 10syl5ibr 221 . . . . 5  |-  ( G  e.  A  ->  (
( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x G y )  =  y  /\  (
y G x )  =  y ) )  ->  G  e.  SemiGrp ) )
1211imp 429 . . . 4  |-  ( ( G  e.  A  /\  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )  ->  G  e.  SemiGrp )
13 simpr3 1004 . . . 4  |-  ( ( G  e.  A  /\  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) )
1412, 13jca 532 . . 3  |-  ( ( G  e.  A  /\  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )  ->  ( G  e.  SemiGrp 
/\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )
158, 14impbida 832 . 2  |-  ( G  e.  A  ->  (
( G  e.  SemiGrp  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) )  <->  ( G :
( X  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) )
162, 15bitrd 253 1  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e. MndOp  <->  ( G :
( X  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808    X. cxp 5006   dom cdm 5008   -->wf 5590  (class class class)co 6296   SemiGrpcsem 25458  MndOpcmndo 25465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-ov 6299  df-ass 25441  df-exid 25443  df-mgmOLD 25447  df-sgrOLD 25459  df-mndo 25466
This theorem is referenced by:  ismndo2  25473  rngomndo  25549
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