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Theorem ismndd 16069
Description: Deduce a monoid from its properties. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismndd.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
ismndd.p  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  G ) )
ismndd.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( x  .+  y )  e.  B
)
ismndd.a  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
ismndd.z  |-  ( ph  ->  .0.  e.  B )
ismndd.i  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  .+  x )  =  x )
ismndd.j  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  .+  .0.  )  =  x )
Assertion
Ref Expression
ismndd  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
Distinct variable groups:    x, y,
z, B    x, G, y, z    ph, x, y, z    x,  .0.
Allowed substitution hints:    .+ ( x, y, z)    .0. ( y, z)

Proof of Theorem ismndd
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismndd.c . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( x  .+  y )  e.  B
)
213expb 1197 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  B )
3 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  B )  ->  ph )
4 simplrl 761 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  B )  ->  x  e.  B )
5 simplrr 762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  B )  ->  y  e.  B )
6 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  B )
7 ismndd.a . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
83, 4, 5, 6, 7syl13anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  B )  ->  (
( x  .+  y
)  .+  z )  =  ( x  .+  ( y  .+  z
) ) )
98ralrimiva 2871 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  A. z  e.  B  ( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
102, 9jca 532 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( x  .+  y )  e.  B  /\  A. z  e.  B  ( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) ) )
1110ralrimivva 2878 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x  .+  y )  e.  B  /\  A. z  e.  B  ( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) ) )
12 ismndd.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
13 ismndd.p . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  G ) )
1413oveqd 6313 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  .+  y
)  =  ( x ( +g  `  G
) y ) )
1514, 12eleq12d 2539 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  .+  y )  e.  B  <->  ( x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
) ) )
16 eqidd 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  z  =  z )
1713, 14, 16oveq123d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( ( x ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z ) )
18 eqidd 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  x  =  x )
1913oveqd 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  .+  z
)  =  ( y ( +g  `  G
) z ) )
2013, 18, 19oveq123d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  .+  (
y  .+  z )
)  =  ( x ( +g  `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
2117, 20eqeq12d 2479 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( x 
.+  y )  .+  z )  =  ( x  .+  ( y 
.+  z ) )  <-> 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( x ( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) z ) ) ) )
2212, 21raleqbidv 3068 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  B  ( ( x 
.+  y )  .+  z )  =  ( x  .+  ( y 
.+  z ) )  <->  A. z  e.  ( Base `  G ) ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( +g  `  G
) z )  =  ( x ( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G
) z ) ) ) )
2315, 22anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( x 
.+  y )  e.  B  /\  A. z  e.  B  ( (
x  .+  y )  .+  z )  =  ( x  .+  ( y 
.+  z ) ) )  <->  ( ( x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
)  /\  A. z  e.  ( Base `  G
) ( ( x ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( x ( +g  `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) ) ) ) )
2412, 23raleqbidv 3068 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( ( x 
.+  y )  e.  B  /\  A. z  e.  B  ( (
x  .+  y )  .+  z )  =  ( x  .+  ( y 
.+  z ) ) )  <->  A. y  e.  (
Base `  G )
( ( x ( +g  `  G ) y )  e.  (
Base `  G )  /\  A. z  e.  (
Base `  G )
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( x ( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) z ) ) ) ) )
2512, 24raleqbidv 3068 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x 
.+  y )  e.  B  /\  A. z  e.  B  ( (
x  .+  y )  .+  z )  =  ( x  .+  ( y 
.+  z ) ) )  <->  A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( Base `  G
)  /\  A. z  e.  ( Base `  G
) ( ( x ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( x ( +g  `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) ) ) ) )
2611, 25mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( Base `  G
)  /\  A. z  e.  ( Base `  G
) ( ( x ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( x ( +g  `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) ) ) )
27 ismndd.z . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  B )
2827, 12eleqtrd 2547 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( Base `  G ) )
2912eleq2d 2527 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  ( Base `  G
) ) )
3029biimpar 485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  G )
)  ->  x  e.  B )
3113adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  .+  =  ( +g  `  G ) )
3231oveqd 6313 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  .+  x )  =  (  .0.  ( +g  `  G ) x ) )
33 ismndd.i . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  .+  x )  =  x )
3432, 33eqtr3d 2500 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  ( +g  `  G
) x )  =  x )
3531oveqd 6313 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  .+  .0.  )  =  ( x ( +g  `  G )  .0.  ) )
36 ismndd.j . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  .+  .0.  )  =  x )
3735, 36eqtr3d 2500 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x ( +g  `  G
)  .0.  )  =  x )
3834, 37jca 532 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
(  .0.  ( +g  `  G ) x )  =  x  /\  (
x ( +g  `  G
)  .0.  )  =  x ) )
3930, 38syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( (  .0.  ( +g  `  G
) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  G
)  .0.  )  =  x ) )
4039ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  G )
( (  .0.  ( +g  `  G ) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  G )  .0.  )  =  x ) )
41 oveq1 6303 . . . . . . 7  |-  ( u  =  .0.  ->  (
u ( +g  `  G
) x )  =  (  .0.  ( +g  `  G ) x ) )
4241eqeq1d 2459 . . . . . 6  |-  ( u  =  .0.  ->  (
( u ( +g  `  G ) x )  =  x  <->  (  .0.  ( +g  `  G ) x )  =  x ) )
43 oveq2 6304 . . . . . . 7  |-  ( u  =  .0.  ->  (
x ( +g  `  G
) u )  =  ( x ( +g  `  G )  .0.  )
)
4443eqeq1d 2459 . . . . . 6  |-  ( u  =  .0.  ->  (
( x ( +g  `  G ) u )  =  x  <->  ( x
( +g  `  G )  .0.  )  =  x ) )
4542, 44anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( u  =  .0.  ->  (
( ( u ( +g  `  G ) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  G ) u )  =  x )  <->  ( (  .0.  ( +g  `  G
) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  G
)  .0.  )  =  x ) ) )
4645ralbidv 2896 . . . 4  |-  ( u  =  .0.  ->  ( A. x  e.  ( Base `  G ) ( ( u ( +g  `  G ) x )  =  x  /\  (
x ( +g  `  G
) u )  =  x )  <->  A. x  e.  ( Base `  G
) ( (  .0.  ( +g  `  G
) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  G
)  .0.  )  =  x ) ) )
4746rspcev 3210 . . 3  |-  ( (  .0.  e.  ( Base `  G )  /\  A. x  e.  ( Base `  G ) ( (  .0.  ( +g  `  G
) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  G
)  .0.  )  =  x ) )  ->  E. u  e.  ( Base `  G ) A. x  e.  ( Base `  G ) ( ( u ( +g  `  G
) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  G
) u )  =  x ) )
4828, 40, 47syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  E. u  e.  (
Base `  G ) A. x  e.  ( Base `  G ) ( ( u ( +g  `  G ) x )  =  x  /\  (
x ( +g  `  G
) u )  =  x ) )
49 eqid 2457 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
50 eqid 2457 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
5149, 50ismnd 16049 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  <->  ( A. x  e.  ( Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G
) ( ( x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
)  /\  A. z  e.  ( Base `  G
) ( ( x ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( x ( +g  `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) ) )  /\  E. u  e.  ( Base `  G
) A. x  e.  ( Base `  G
) ( ( u ( +g  `  G
) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  G
) u )  =  x ) ) )
5226, 48, 51sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14643   +g cplusg 14711   Mndcmnd 16045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-nul 4586  ax-pow 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-iota 5557  df-fv 5602  df-ov 6299  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047
This theorem is referenced by:  issubmnd  16074  prdsmndd  16079  imasmnd2  16083  frmdmnd  16153  isgrpde  16200  oppgmnd  16515  isringd  17359  iscrngd  17360  xrsmcmn  18567  xrs1mnd  18582
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