Theorem ismndOLD 16542

Description: Obsolete version of ismnd 16539 as of 6-Feb-2020. The predicate "is a monoid." (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismndOLD.b	|- B = ( Base ` G )
ismndOLD.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
ismndOLD	|- ( G e. MndOLD <-> ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( ( a .+ b ) e. B /\ ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) ) /\ E. e e. B A. a e. B ( ( e .+ a ) = a /\ ( a .+ e ) = a ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, c, e, B   G, a, b, c, e   .+ , a, b, c, e

Proof of Theorem ismndOLD

Dummy variables g p v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mndOLD 16541	. . 3 |- MndOLD = { g | [. ( Base ` g ) / v ]. [. ( +g ` g ) / p ]. ( A. a e. v A. b e. v A. c e. v ( ( a p b ) e. v /\ ( ( a p b ) p c ) = ( a p ( b p c ) ) ) /\ E. e e. v A. a e. v ( ( e p a ) = a /\ ( a p e ) = a ) ) }
2	1	eleq2i 2521	. 2 |- ( G e. MndOLD <-> G e. { g | [. ( Base ` g ) / v ]. [. ( +g ` g ) / p ]. ( A. a e. v A. b e. v A. c e. v ( ( a p b ) e. v /\ ( ( a p b ) p c ) = ( a p ( b p c ) ) ) /\ E. e e. v A. a e. v ( ( e p a ) = a /\ ( a p e ) = a ) ) } )
3		rexn0 3872	. . . . 5 |- ( E. e e. B A. a e. B ( ( e .+ a ) = a /\ ( a .+ e ) = a ) -> B =/= (/) )
4		ismndOLD.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
5		fvprc 5859	. . . . . . 7 |- ( -. G e. _V -> ( Base ` G ) = (/) )
6	4, 5	syl5eq 2497	. . . . . 6 |- ( -. G e. _V -> B = (/) )
7	6	necon1ai 2651	. . . . 5 |- ( B =/= (/) -> G e. _V )
8	3, 7	syl 17	. . . 4 |- ( E. e e. B A. a e. B ( ( e .+ a ) = a /\ ( a .+ e ) = a ) -> G e. _V )
9	8	adantl 468	. . 3 |- ( ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( ( a .+ b ) e. B /\ ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) ) /\ E. e e. B A. a e. B ( ( e .+ a ) = a /\ ( a .+ e ) = a ) ) -> G e. _V )
10		fvex 5875	. . . . 5 |- ( Base ` g ) e. _V
11	10	a1i 11	. . . 4 |- ( g = G -> ( Base ` g ) e. _V )
12		fveq2 5865	. . . . 5 |- ( g = G -> ( Base ` g ) = ( Base ` G ) )
13	12, 4	syl6eqr 2503	. . . 4 |- ( g = G -> ( Base ` g ) = B )
14		fvex 5875	. . . . . 6 |- ( +g ` g ) e. _V
15	14	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( g = G /\ v = B ) -> ( +g ` g ) e. _V )
16		simpl 459	. . . . . . 7 |- ( ( g = G /\ v = B ) -> g = G )
17	16	fveq2d 5869	. . . . . 6 |- ( ( g = G /\ v = B ) -> ( +g ` g ) = ( +g ` G ) )
18		ismndOLD.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
19	17, 18	syl6eqr 2503	. . . . 5 |- ( ( g = G /\ v = B ) -> ( +g ` g ) = .+ )
20		simplr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> v = B )
21		simpr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> p = .+ )
22	21	oveqd 6307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( a p b ) = ( a .+ b ) )
23	22, 20	eleq12d 2523	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( ( a p b ) e. v <-> ( a .+ b ) e. B ) )
24		eqidd 2452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> c = c )
25	21, 22, 24	oveq123d 6311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( ( a p b ) p c ) = ( ( a .+ b ) .+ c ) )
26		eqidd 2452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> a = a )
27	21	oveqd 6307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( b p c ) = ( b .+ c ) )
28	21, 26, 27	oveq123d 6311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( a p ( b p c ) ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) )
29	25, 28	eqeq12d 2466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( ( ( a p b ) p c ) = ( a p ( b p c ) ) <-> ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) ) )
30	23, 29	anbi12d 717	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( ( ( a p b ) e. v /\ ( ( a p b ) p c ) = ( a p ( b p c ) ) ) <-> ( ( a .+ b ) e. B /\ ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) ) ) )
31	20, 30	raleqbidv 3001	. . . . . . . 8 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( A. c e. v ( ( a p b ) e. v /\ ( ( a p b ) p c ) = ( a p ( b p c ) ) ) <-> A. c e. B ( ( a .+ b ) e. B /\ ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) ) ) )
32	20, 31	raleqbidv 3001	. . . . . . 7 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( A. b e. v A. c e. v ( ( a p b ) e. v /\ ( ( a p b ) p c ) = ( a p ( b p c ) ) ) <-> A. b e. B A. c e. B ( ( a .+ b ) e. B /\ ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) ) ) )
33	20, 32	raleqbidv 3001	. . . . . 6 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( A. a e. v A. b e. v A. c e. v ( ( a p b ) e. v /\ ( ( a p b ) p c ) = ( a p ( b p c ) ) ) <-> A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( ( a .+ b ) e. B /\ ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) ) ) )
34	21	oveqd 6307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( e p a ) = ( e .+ a ) )
35	34	eqeq1d 2453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( ( e p a ) = a <-> ( e .+ a ) = a ) )
36	21	oveqd 6307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( a p e ) = ( a .+ e ) )
37	36	eqeq1d 2453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( ( a p e ) = a <-> ( a .+ e ) = a ) )
38	35, 37	anbi12d 717	. . . . . . . 8 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( ( ( e p a ) = a /\ ( a p e ) = a ) <-> ( ( e .+ a ) = a /\ ( a .+ e ) = a ) ) )
39	20, 38	raleqbidv 3001	. . . . . . 7 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( A. a e. v ( ( e p a ) = a /\ ( a p e ) = a ) <-> A. a e. B ( ( e .+ a ) = a /\ ( a .+ e ) = a ) ) )
40	20, 39	rexeqbidv 3002	. . . . . 6 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( E. e e. v A. a e. v ( ( e p a ) = a /\ ( a p e ) = a ) <-> E. e e. B A. a e. B ( ( e .+ a ) = a /\ ( a .+ e ) = a ) ) )
41	33, 40	anbi12d 717	. . . . 5 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( ( A. a e. v A. b e. v A. c e. v ( ( a p b ) e. v /\ ( ( a p b ) p c ) = ( a p ( b p c ) ) ) /\ E. e e. v A. a e. v ( ( e p a ) = a /\ ( a p e ) = a ) ) <-> ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( ( a .+ b ) e. B /\ ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) ) /\ E. e e. B A. a e. B ( ( e .+ a ) = a /\ ( a .+ e ) = a ) ) ) )
42	15, 19, 41	sbcied2 3305	. . . 4 |- ( ( g = G /\ v = B ) -> ( [. ( +g ` g ) / p ]. ( A. a e. v A. b e. v A. c e. v ( ( a p b ) e. v /\ ( ( a p b ) p c ) = ( a p ( b p c ) ) ) /\ E. e e. v A. a e. v ( ( e p a ) = a /\ ( a p e ) = a ) ) <-> ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( ( a .+ b ) e. B /\ ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) ) /\ E. e e. B A. a e. B ( ( e .+ a ) = a /\ ( a .+ e ) = a ) ) ) )
43	11, 13, 42	sbcied2 3305	. . 3 |- ( g = G -> ( [. ( Base ` g ) / v ]. [. ( +g ` g ) / p ]. ( A. a e. v A. b e. v A. c e. v ( ( a p b ) e. v /\ ( ( a p b ) p c ) = ( a p ( b p c ) ) ) /\ E. e e. v A. a e. v ( ( e p a ) = a /\ ( a p e ) = a ) ) <-> ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( ( a .+ b ) e. B /\ ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) ) /\ E. e e. B A. a e. B ( ( e .+ a ) = a /\ ( a .+ e ) = a ) ) ) )
44	9, 43	elab3 3192	. 2 |- ( G e. { g | [. ( Base ` g ) / v ]. [. ( +g ` g ) / p ]. ( A. a e. v A. b e. v A. c e. v ( ( a p b ) e. v /\ ( ( a p b ) p c ) = ( a p ( b p c ) ) ) /\ E. e e. v A. a e. v ( ( e p a ) = a /\ ( a p e ) = a ) ) } <-> ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( ( a .+ b ) e. B /\ ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) ) /\ E. e e. B A. a e. B ( ( e .+ a ) = a /\ ( a .+ e ) = a ) ) )
45	2, 44	bitri 253	1 |- ( G e. MndOLD <-> ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( ( a .+ b ) e. B /\ ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) ) /\ E. e e. B A. a e. B ( ( e .+ a ) = a /\ ( a .+ e ) = a ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   {cab 2437   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   [.wsbc 3267   (/)c0 3731   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   +g cplusg 15190  MndOLDcmndOLD 16536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-nul 4534  ax-pow 4581

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-iota 5546  df-fv 5590  df-ov 6293  df-mndOLD 16541

This theorem is referenced by: (None)