Theorem ismndOLD 16144

Description: Obsolete version of ismnd 16141 as of 6-Feb-2020. The predicate "is a monoid." (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismndOLD.b	|- B = ( Base ` G )
ismndOLD.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
ismndOLD	|- ( G e. MndOLD <-> ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( ( a .+ b ) e. B /\ ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) ) /\ E. e e. B A. a e. B ( ( e .+ a ) = a /\ ( a .+ e ) = a ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, c, e, B   G, a, b, c, e   .+ , a, b, c, e

Proof of Theorem ismndOLD

Dummy variables g p v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mndOLD 16143	. . 3 |- MndOLD = { g | [. ( Base ` g ) / v ]. [. ( +g ` g ) / p ]. ( A. a e. v A. b e. v A. c e. v ( ( a p b ) e. v /\ ( ( a p b ) p c ) = ( a p ( b p c ) ) ) /\ E. e e. v A. a e. v ( ( e p a ) = a /\ ( a p e ) = a ) ) }
2	1	eleq2i 2535	. 2 |- ( G e. MndOLD <-> G e. { g | [. ( Base ` g ) / v ]. [. ( +g ` g ) / p ]. ( A. a e. v A. b e. v A. c e. v ( ( a p b ) e. v /\ ( ( a p b ) p c ) = ( a p ( b p c ) ) ) /\ E. e e. v A. a e. v ( ( e p a ) = a /\ ( a p e ) = a ) ) } )
3		rexn0 3935	. . . . 5 |- ( E. e e. B A. a e. B ( ( e .+ a ) = a /\ ( a .+ e ) = a ) -> B =/= (/) )
4		ismndOLD.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
5		fvprc 5866	. . . . . . 7 |- ( -. G e. _V -> ( Base ` G ) = (/) )
6	4, 5	syl5eq 2510	. . . . . 6 |- ( -. G e. _V -> B = (/) )
7	6	necon1ai 2688	. . . . 5 |- ( B =/= (/) -> G e. _V )
8	3, 7	syl 16	. . . 4 |- ( E. e e. B A. a e. B ( ( e .+ a ) = a /\ ( a .+ e ) = a ) -> G e. _V )
9	8	adantl 466	. . 3 |- ( ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( ( a .+ b ) e. B /\ ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) ) /\ E. e e. B A. a e. B ( ( e .+ a ) = a /\ ( a .+ e ) = a ) ) -> G e. _V )
10		fvex 5882	. . . . 5 |- ( Base ` g ) e. _V
11	10	a1i 11	. . . 4 |- ( g = G -> ( Base ` g ) e. _V )
12		fveq2 5872	. . . . 5 |- ( g = G -> ( Base ` g ) = ( Base ` G ) )
13	12, 4	syl6eqr 2516	. . . 4 |- ( g = G -> ( Base ` g ) = B )
14		fvex 5882	. . . . . 6 |- ( +g ` g ) e. _V
15	14	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( g = G /\ v = B ) -> ( +g ` g ) e. _V )
16		simpl 457	. . . . . . 7 |- ( ( g = G /\ v = B ) -> g = G )
17	16	fveq2d 5876	. . . . . 6 |- ( ( g = G /\ v = B ) -> ( +g ` g ) = ( +g ` G ) )
18		ismndOLD.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
19	17, 18	syl6eqr 2516	. . . . 5 |- ( ( g = G /\ v = B ) -> ( +g ` g ) = .+ )
20		simplr 755	. . . . . . 7 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> v = B )
21		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> p = .+ )
22	21	oveqd 6313	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( a p b ) = ( a .+ b ) )
23	22, 20	eleq12d 2539	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( ( a p b ) e. v <-> ( a .+ b ) e. B ) )
24		eqidd 2458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> c = c )
25	21, 22, 24	oveq123d 6317	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( ( a p b ) p c ) = ( ( a .+ b ) .+ c ) )
26		eqidd 2458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> a = a )
27	21	oveqd 6313	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( b p c ) = ( b .+ c ) )
28	21, 26, 27	oveq123d 6317	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( a p ( b p c ) ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) )
29	25, 28	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( ( ( a p b ) p c ) = ( a p ( b p c ) ) <-> ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) ) )
30	23, 29	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( ( ( a p b ) e. v /\ ( ( a p b ) p c ) = ( a p ( b p c ) ) ) <-> ( ( a .+ b ) e. B /\ ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) ) ) )
31	20, 30	raleqbidv 3068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( A. c e. v ( ( a p b ) e. v /\ ( ( a p b ) p c ) = ( a p ( b p c ) ) ) <-> A. c e. B ( ( a .+ b ) e. B /\ ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) ) ) )
32	20, 31	raleqbidv 3068	. . . . . . 7 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( A. b e. v A. c e. v ( ( a p b ) e. v /\ ( ( a p b ) p c ) = ( a p ( b p c ) ) ) <-> A. b e. B A. c e. B ( ( a .+ b ) e. B /\ ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) ) ) )
33	20, 32	raleqbidv 3068	. . . . . 6 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( A. a e. v A. b e. v A. c e. v ( ( a p b ) e. v /\ ( ( a p b ) p c ) = ( a p ( b p c ) ) ) <-> A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( ( a .+ b ) e. B /\ ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) ) ) )
34	21	oveqd 6313	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( e p a ) = ( e .+ a ) )
35	34	eqeq1d 2459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( ( e p a ) = a <-> ( e .+ a ) = a ) )
36	21	oveqd 6313	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( a p e ) = ( a .+ e ) )
37	36	eqeq1d 2459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( ( a p e ) = a <-> ( a .+ e ) = a ) )
38	35, 37	anbi12d 710	. . . . . . . 8 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( ( ( e p a ) = a /\ ( a p e ) = a ) <-> ( ( e .+ a ) = a /\ ( a .+ e ) = a ) ) )
39	20, 38	raleqbidv 3068	. . . . . . 7 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( A. a e. v ( ( e p a ) = a /\ ( a p e ) = a ) <-> A. a e. B ( ( e .+ a ) = a /\ ( a .+ e ) = a ) ) )
40	20, 39	rexeqbidv 3069	. . . . . 6 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( E. e e. v A. a e. v ( ( e p a ) = a /\ ( a p e ) = a ) <-> E. e e. B A. a e. B ( ( e .+ a ) = a /\ ( a .+ e ) = a ) ) )
41	33, 40	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( ( ( g = G /\ v = B ) /\ p = .+ ) -> ( ( A. a e. v A. b e. v A. c e. v ( ( a p b ) e. v /\ ( ( a p b ) p c ) = ( a p ( b p c ) ) ) /\ E. e e. v A. a e. v ( ( e p a ) = a /\ ( a p e ) = a ) ) <-> ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( ( a .+ b ) e. B /\ ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) ) /\ E. e e. B A. a e. B ( ( e .+ a ) = a /\ ( a .+ e ) = a ) ) ) )
42	15, 19, 41	sbcied2 3365	. . . 4 |- ( ( g = G /\ v = B ) -> ( [. ( +g ` g ) / p ]. ( A. a e. v A. b e. v A. c e. v ( ( a p b ) e. v /\ ( ( a p b ) p c ) = ( a p ( b p c ) ) ) /\ E. e e. v A. a e. v ( ( e p a ) = a /\ ( a p e ) = a ) ) <-> ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( ( a .+ b ) e. B /\ ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) ) /\ E. e e. B A. a e. B ( ( e .+ a ) = a /\ ( a .+ e ) = a ) ) ) )
43	11, 13, 42	sbcied2 3365	. . 3 |- ( g = G -> ( [. ( Base ` g ) / v ]. [. ( +g ` g ) / p ]. ( A. a e. v A. b e. v A. c e. v ( ( a p b ) e. v /\ ( ( a p b ) p c ) = ( a p ( b p c ) ) ) /\ E. e e. v A. a e. v ( ( e p a ) = a /\ ( a p e ) = a ) ) <-> ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( ( a .+ b ) e. B /\ ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) ) /\ E. e e. B A. a e. B ( ( e .+ a ) = a /\ ( a .+ e ) = a ) ) ) )
44	9, 43	elab3 3253	. 2 |- ( G e. { g | [. ( Base ` g ) / v ]. [. ( +g ` g ) / p ]. ( A. a e. v A. b e. v A. c e. v ( ( a p b ) e. v /\ ( ( a p b ) p c ) = ( a p ( b p c ) ) ) /\ E. e e. v A. a e. v ( ( e p a ) = a /\ ( a p e ) = a ) ) } <-> ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( ( a .+ b ) e. B /\ ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) ) /\ E. e e. B A. a e. B ( ( e .+ a ) = a /\ ( a .+ e ) = a ) ) )
45	2, 44	bitri 249	1 |- ( G e. MndOLD <-> ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( ( a .+ b ) e. B /\ ( ( a .+ b ) .+ c ) = ( a .+ ( b .+ c ) ) ) /\ E. e e. B A. a e. B ( ( e .+ a ) = a /\ ( a .+ e ) = a ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   {cab 2442   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   [.wsbc 3327   (/)c0 3793   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14735   +g cplusg 14803  MndOLDcmndOLD 16138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-nul 4586  ax-pow 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-iota 5557  df-fv 5602  df-ov 6299  df-mndOLD 16143

This theorem is referenced by: (None)