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Theorem ismndOLD 16144
Description: Obsolete version of ismnd 16141 as of 6-Feb-2020. The predicate "is a monoid." (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ismndOLD.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ismndOLD.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
ismndOLD  |-  ( G  e. MndOLD 
<->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( ( a 
.+  b )  e.  B  /\  ( ( a  .+  b ) 
.+  c )  =  ( a  .+  (
b  .+  c )
) )  /\  E. e  e.  B  A. a  e.  B  (
( e  .+  a
)  =  a  /\  ( a  .+  e
)  =  a ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
c, e, B    G, a, b, c, e    .+ , a,
b, c, e

Proof of Theorem ismndOLD
Dummy variables  g  p  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-mndOLD 16143 . . 3  |- MndOLD  =  {
g  |  [. ( Base `  g )  / 
v ]. [. ( +g  `  g )  /  p ]. ( A. a  e.  v  A. b  e.  v  A. c  e.  v  ( ( a p b )  e.  v  /\  ( ( a p b ) p c )  =  ( a p ( b p c ) ) )  /\  E. e  e.  v  A. a  e.  v  (
( e p a )  =  a  /\  ( a p e )  =  a ) ) }
21eleq2i 2535 . 2  |-  ( G  e. MndOLD 
<->  G  e.  { g  |  [. ( Base `  g )  /  v ]. [. ( +g  `  g
)  /  p ]. ( A. a  e.  v 
A. b  e.  v 
A. c  e.  v  ( ( a p b )  e.  v  /\  ( ( a p b ) p c )  =  ( a p ( b p c ) ) )  /\  E. e  e.  v  A. a  e.  v  ( (
e p a )  =  a  /\  (
a p e )  =  a ) ) } )
3 rexn0 3935 . . . . 5  |-  ( E. e  e.  B  A. a  e.  B  (
( e  .+  a
)  =  a  /\  ( a  .+  e
)  =  a )  ->  B  =/=  (/) )
4 ismndOLD.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 fvprc 5866 . . . . . . 7  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (
Base `  G )  =  (/) )
64, 5syl5eq 2510 . . . . . 6  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  B  =  (/) )
76necon1ai 2688 . . . . 5  |-  ( B  =/=  (/)  ->  G  e.  _V )
83, 7syl 16 . . . 4  |-  ( E. e  e.  B  A. a  e.  B  (
( e  .+  a
)  =  a  /\  ( a  .+  e
)  =  a )  ->  G  e.  _V )
98adantl 466 . . 3  |-  ( ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( ( a  .+  b )  e.  B  /\  ( ( a  .+  b )  .+  c
)  =  ( a 
.+  ( b  .+  c ) ) )  /\  E. e  e.  B  A. a  e.  B  ( ( e 
.+  a )  =  a  /\  ( a 
.+  e )  =  a ) )  ->  G  e.  _V )
10 fvex 5882 . . . . 5  |-  ( Base `  g )  e.  _V
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  ( Base `  g )  e. 
_V )
12 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  ( Base `  g )  =  ( Base `  G
) )
1312, 4syl6eqr 2516 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  ( Base `  g )  =  B )
14 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( +g  `  g )  e.  _V
1514a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( g  =  G  /\  v  =  B )  ->  ( +g  `  g
)  e.  _V )
16 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  G  /\  v  =  B )  ->  g  =  G )
1716fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( ( g  =  G  /\  v  =  B )  ->  ( +g  `  g
)  =  ( +g  `  G ) )
18 ismndOLD.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  G )
1917, 18syl6eqr 2516 . . . . 5  |-  ( ( g  =  G  /\  v  =  B )  ->  ( +g  `  g
)  =  .+  )
20 simplr 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( g  =  G  /\  v  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  v  =  B )
21 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g  =  G  /\  v  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  p  =  .+  )
2221oveqd 6313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g  =  G  /\  v  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
a p b )  =  ( a  .+  b ) )
2322, 20eleq12d 2539 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g  =  G  /\  v  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
( a p b )  e.  v  <->  ( a  .+  b )  e.  B
) )
24 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g  =  G  /\  v  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  c  =  c )
2521, 22, 24oveq123d 6317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g  =  G  /\  v  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
( a p b ) p c )  =  ( ( a 
.+  b )  .+  c ) )
26 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g  =  G  /\  v  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  a  =  a )
2721oveqd 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g  =  G  /\  v  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
b p c )  =  ( b  .+  c ) )
2821, 26, 27oveq123d 6317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g  =  G  /\  v  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
a p ( b p c ) )  =  ( a  .+  ( b  .+  c
) ) )
2925, 28eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g  =  G  /\  v  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
( ( a p b ) p c )  =  ( a p ( b p c ) )  <->  ( (
a  .+  b )  .+  c )  =  ( a  .+  ( b 
.+  c ) ) ) )
3023, 29anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g  =  G  /\  v  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
( ( a p b )  e.  v  /\  ( ( a p b ) p c )  =  ( a p ( b p c ) ) )  <->  ( ( a 
.+  b )  e.  B  /\  ( ( a  .+  b ) 
.+  c )  =  ( a  .+  (
b  .+  c )
) ) ) )
3120, 30raleqbidv 3068 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g  =  G  /\  v  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  ( A. c  e.  v 
( ( a p b )  e.  v  /\  ( ( a p b ) p c )  =  ( a p ( b p c ) ) )  <->  A. c  e.  B  ( ( a  .+  b )  e.  B  /\  ( ( a  .+  b )  .+  c
)  =  ( a 
.+  ( b  .+  c ) ) ) ) )
3220, 31raleqbidv 3068 . . . . . . 7  |-  ( ( ( g  =  G  /\  v  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  ( A. b  e.  v  A. c  e.  v 
( ( a p b )  e.  v  /\  ( ( a p b ) p c )  =  ( a p ( b p c ) ) )  <->  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( ( a  .+  b )  e.  B  /\  ( ( a  .+  b )  .+  c
)  =  ( a 
.+  ( b  .+  c ) ) ) ) )
3320, 32raleqbidv 3068 . . . . . 6  |-  ( ( ( g  =  G  /\  v  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  ( A. a  e.  v  A. b  e.  v  A. c  e.  v 
( ( a p b )  e.  v  /\  ( ( a p b ) p c )  =  ( a p ( b p c ) ) )  <->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( ( a  .+  b )  e.  B  /\  ( ( a  .+  b )  .+  c
)  =  ( a 
.+  ( b  .+  c ) ) ) ) )
3421oveqd 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g  =  G  /\  v  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
e p a )  =  ( e  .+  a ) )
3534eqeq1d 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g  =  G  /\  v  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
( e p a )  =  a  <->  ( e  .+  a )  =  a ) )
3621oveqd 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g  =  G  /\  v  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
a p e )  =  ( a  .+  e ) )
3736eqeq1d 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g  =  G  /\  v  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
( a p e )  =  a  <->  ( a  .+  e )  =  a ) )
3835, 37anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g  =  G  /\  v  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
( ( e p a )  =  a  /\  ( a p e )  =  a )  <->  ( ( e 
.+  a )  =  a  /\  ( a 
.+  e )  =  a ) ) )
3920, 38raleqbidv 3068 . . . . . . 7  |-  ( ( ( g  =  G  /\  v  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  ( A. a  e.  v 
( ( e p a )  =  a  /\  ( a p e )  =  a )  <->  A. a  e.  B  ( ( e  .+  a )  =  a  /\  ( a  .+  e )  =  a ) ) )
4020, 39rexeqbidv 3069 . . . . . 6  |-  ( ( ( g  =  G  /\  v  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  ( E. e  e.  v  A. a  e.  v 
( ( e p a )  =  a  /\  ( a p e )  =  a )  <->  E. e  e.  B  A. a  e.  B  ( ( e  .+  a )  =  a  /\  ( a  .+  e )  =  a ) ) )
4133, 40anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( ( ( g  =  G  /\  v  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  (
( A. a  e.  v  A. b  e.  v  A. c  e.  v  ( ( a p b )  e.  v  /\  ( ( a p b ) p c )  =  ( a p ( b p c ) ) )  /\  E. e  e.  v  A. a  e.  v  (
( e p a )  =  a  /\  ( a p e )  =  a ) )  <->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( (
a  .+  b )  e.  B  /\  (
( a  .+  b
)  .+  c )  =  ( a  .+  ( b  .+  c
) ) )  /\  E. e  e.  B  A. a  e.  B  (
( e  .+  a
)  =  a  /\  ( a  .+  e
)  =  a ) ) ) )
4215, 19, 41sbcied2 3365 . . . 4  |-  ( ( g  =  G  /\  v  =  B )  ->  ( [. ( +g  `  g )  /  p ]. ( A. a  e.  v  A. b  e.  v  A. c  e.  v  ( ( a p b )  e.  v  /\  ( ( a p b ) p c )  =  ( a p ( b p c ) ) )  /\  E. e  e.  v  A. a  e.  v  (
( e p a )  =  a  /\  ( a p e )  =  a ) )  <->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( (
a  .+  b )  e.  B  /\  (
( a  .+  b
)  .+  c )  =  ( a  .+  ( b  .+  c
) ) )  /\  E. e  e.  B  A. a  e.  B  (
( e  .+  a
)  =  a  /\  ( a  .+  e
)  =  a ) ) ) )
4311, 13, 42sbcied2 3365 . . 3  |-  ( g  =  G  ->  ( [. ( Base `  g
)  /  v ]. [. ( +g  `  g
)  /  p ]. ( A. a  e.  v 
A. b  e.  v 
A. c  e.  v  ( ( a p b )  e.  v  /\  ( ( a p b ) p c )  =  ( a p ( b p c ) ) )  /\  E. e  e.  v  A. a  e.  v  ( (
e p a )  =  a  /\  (
a p e )  =  a ) )  <-> 
( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( ( a 
.+  b )  e.  B  /\  ( ( a  .+  b ) 
.+  c )  =  ( a  .+  (
b  .+  c )
) )  /\  E. e  e.  B  A. a  e.  B  (
( e  .+  a
)  =  a  /\  ( a  .+  e
)  =  a ) ) ) )
449, 43elab3 3253 . 2  |-  ( G  e.  { g  | 
[. ( Base `  g
)  /  v ]. [. ( +g  `  g
)  /  p ]. ( A. a  e.  v 
A. b  e.  v 
A. c  e.  v  ( ( a p b )  e.  v  /\  ( ( a p b ) p c )  =  ( a p ( b p c ) ) )  /\  E. e  e.  v  A. a  e.  v  ( (
e p a )  =  a  /\  (
a p e )  =  a ) ) }  <->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( (
a  .+  b )  e.  B  /\  (
( a  .+  b
)  .+  c )  =  ( a  .+  ( b  .+  c
) ) )  /\  E. e  e.  B  A. a  e.  B  (
( e  .+  a
)  =  a  /\  ( a  .+  e
)  =  a ) ) )
452, 44bitri 249 1  |-  ( G  e. MndOLD 
<->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( ( a 
.+  b )  e.  B  /\  ( ( a  .+  b ) 
.+  c )  =  ( a  .+  (
b  .+  c )
) )  /\  E. e  e.  B  A. a  e.  B  (
( e  .+  a
)  =  a  /\  ( a  .+  e
)  =  a ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {cab 2442    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   [.wsbc 3327   (/)c0 3793   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14735   +g cplusg 14803  MndOLDcmndOLD 16138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-nul 4586  ax-pow 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-iota 5557  df-fv 5602  df-ov 6299  df-mndOLD 16143
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