Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismidb Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ismidb 24820
 Description: Property of the midpoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p
ismid.d
ismid.i Itv
ismid.g TarskiG
ismid.1 DimTarskiG
midcl.1
midcl.2
ismidb.s pInvG
ismidb.m
Assertion
Ref Expression
ismidb midG

Proof of Theorem ismidb
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismidb.m . . 3
2 ismid.p . . . 4
3 ismid.d . . . 4
4 ismid.i . . . 4 Itv
5 eqid 2451 . . . 4 LineG LineG
6 ismid.g . . . 4 TarskiG
7 ismidb.s . . . 4 pInvG
8 midcl.1 . . . 4
9 midcl.2 . . . 4
10 ismid.1 . . . 4 DimTarskiG
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10mideu 24780 . . 3
12 fveq2 5865 . . . . . 6
1312fveq1d 5867 . . . . 5
1413eqeq2d 2461 . . . 4
1514riota2 6274 . . 3
161, 11, 15syl2anc 667 . 2
17 df-mid 24816 . . . . . 6 midG pInvG
1817a1i 11 . . . . 5 midG pInvG
19 fveq2 5865 . . . . . . . 8
2019, 2syl6eqr 2503 . . . . . . 7
21 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . 12 pInvG pInvG
2221, 7syl6eqr 2503 . . . . . . . . . . 11 pInvG
2322fveq1d 5867 . . . . . . . . . 10 pInvG
2423fveq1d 5867 . . . . . . . . 9 pInvG
2524eqeq2d 2461 . . . . . . . 8 pInvG
2620, 25riotaeqbidv 6255 . . . . . . 7 pInvG
2720, 20, 26mpt2eq123dv 6353 . . . . . 6 pInvG
2827adantl 468 . . . . 5 pInvG
29 elex 3054 . . . . . 6 TarskiG
306, 29syl 17 . . . . 5
31 fvex 5875 . . . . . . . 8
322, 31eqeltri 2525 . . . . . . 7
3332, 32mpt2ex 6870 . . . . . 6
3433a1i 11 . . . . 5
3518, 28, 30, 34fvmptd 5954 . . . 4 midG
36 simprr 766 . . . . . 6
37 simprl 764 . . . . . . 7
3837fveq2d 5869 . . . . . 6
3936, 38eqeq12d 2466 . . . . 5
4039riotabidv 6254 . . . 4
41 riotacl 6266 . . . . 5
4211, 41syl 17 . . . 4
4335, 40, 8, 9, 42ovmpt2d 6424 . . 3 midG
4443eqeq1d 2453 . 2 midG
4516, 44bitr4d 260 1 midG
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887  wreu 2739  cvv 3045   class class class wbr 4402   cmpt 4461  cfv 5582  crio 6251  (class class class)co 6290   cmpt2 6292  c2 10659  cbs 15121  cds 15199  TarskiGcstrkg 24478  DimTarskiG≥cstrkgld 24482  Itvcitv 24484  LineGclng 24485  pInvGcmir 24697  midGcmid 24814 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-hash 12516  df-word 12664  df-concat 12666  df-s1 12667  df-s2 12944  df-s3 12945  df-trkgc 24496  df-trkgb 24497  df-trkgcb 24498  df-trkgld 24500  df-trkg 24501  df-cgrg 24556  df-leg 24628  df-mir 24698  df-rag 24739  df-perpg 24741  df-mid 24816 This theorem is referenced by:  midbtwn  24821  midcgr  24822  midcom  24824  mirmid  24825  lmieu  24826  lmimid  24836  lmiisolem  24838  hypcgrlem1  24841  hypcgrlem2  24842  hypcgr  24843  trgcopyeulem  24847
 Copyright terms: Public domain W3C validator