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Theorem ismhm 15464
Description: Property of a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismhm.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
ismhm.c  |-  C  =  ( Base `  T
)
ismhm.p  |-  .+  =  ( +g  `  S )
ismhm.q  |-  .+^  =  ( +g  `  T )
ismhm.z  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
ismhm.y  |-  Y  =  ( 0g `  T
)
Assertion
Ref Expression
ismhm  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  <->  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd )  /\  ( F : B --> C  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( F `  x )  .+^  ( F `
 y ) )  /\  ( F `  .0.  )  =  Y
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, S, y    x, T, y    x, F, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)    .+ ( x, y)    .+^ ( x, y)    Y( x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem ismhm
Dummy variables  f 
s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-mhm 15462 . . 3  |- MndHom  =  ( s  e.  Mnd , 
t  e.  Mnd  |->  { f  e.  ( (
Base `  t )  ^m  ( Base `  s
) )  |  ( A. x  e.  (
Base `  s ) A. y  e.  ( Base `  s ) ( f `  ( x ( +g  `  s
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  t ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 0g `  s ) )  =  ( 0g `  t
) ) } )
21elmpt2cl 6302 . 2  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  ->  ( S  e.  Mnd  /\  T  e. 
Mnd ) )
3 fveq2 5689 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  T  ->  ( Base `  t )  =  ( Base `  T
) )
4 ismhm.c . . . . . . . 8  |-  C  =  ( Base `  T
)
53, 4syl6eqr 2491 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  ( Base `  t )  =  C )
6 fveq2 5689 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ( Base `  s )  =  ( Base `  S
) )
7 ismhm.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  S
)
86, 7syl6eqr 2491 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( Base `  s )  =  B )
95, 8oveqan12rd 6109 . . . . . 6  |-  ( ( s  =  S  /\  t  =  T )  ->  ( ( Base `  t
)  ^m  ( Base `  s ) )  =  ( C  ^m  B
) )
108adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  =  S  /\  t  =  T )  ->  ( Base `  s
)  =  B )
11 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  S  ->  ( +g  `  s )  =  ( +g  `  S
) )
12 ismhm.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  .+  =  ( +g  `  S )
1311, 12syl6eqr 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  ( +g  `  s )  = 
.+  )
1413oveqd 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
x ( +g  `  s
) y )  =  ( x  .+  y
) )
1514fveq2d 5693 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  (
f `  ( x
( +g  `  s ) y ) )  =  ( f `  (
x  .+  y )
) )
16 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  T  ->  ( +g  `  t )  =  ( +g  `  T
) )
17 ismhm.q . . . . . . . . . . . 12  |-  .+^  =  ( +g  `  T )
1816, 17syl6eqr 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  T  ->  ( +g  `  t )  = 
.+^  )
1918oveqd 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  T  ->  (
( f `  x
) ( +g  `  t
) ( f `  y ) )  =  ( ( f `  x )  .+^  ( f `
 y ) ) )
2015, 19eqeqan12d 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  =  S  /\  t  =  T )  ->  ( ( f `  ( x ( +g  `  s ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  t
) ( f `  y ) )  <->  ( f `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( f `  x
)  .+^  ( f `  y ) ) ) )
2110, 20raleqbidv 2929 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  =  S  /\  t  =  T )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  s
) ( f `  ( x ( +g  `  s ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  t
) ( f `  y ) )  <->  A. y  e.  B  ( f `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( f `  x
)  .+^  ( f `  y ) ) ) )
2210, 21raleqbidv 2929 . . . . . . 7  |-  ( ( s  =  S  /\  t  =  T )  ->  ( A. x  e.  ( Base `  s
) A. y  e.  ( Base `  s
) ( f `  ( x ( +g  `  s ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  t
) ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( f `  x
)  .+^  ( f `  y ) ) ) )
23 fveq2 5689 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( 0g `  s )  =  ( 0g `  S
) )
24 ismhm.z . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
2523, 24syl6eqr 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  ( 0g `  s )  =  .0.  )
2625fveq2d 5693 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
f `  ( 0g `  s ) )  =  ( f `  .0.  ) )
27 fveq2 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  T  ->  ( 0g `  t )  =  ( 0g `  T
) )
28 ismhm.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( 0g `  T
)
2927, 28syl6eqr 2491 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  T  ->  ( 0g `  t )  =  Y )
3026, 29eqeqan12d 2456 . . . . . . 7  |-  ( ( s  =  S  /\  t  =  T )  ->  ( ( f `  ( 0g `  s ) )  =  ( 0g
`  t )  <->  ( f `  .0.  )  =  Y ) )
3122, 30anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( ( s  =  S  /\  t  =  T )  ->  ( ( A. x  e.  ( Base `  s
) A. y  e.  ( Base `  s
) ( f `  ( x ( +g  `  s ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  t
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  s ) )  =  ( 0g `  t ) )  <->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
f `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( f `  x )  .+^  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  .0.  )  =  Y
) ) )
329, 31rabeqbidv 2965 . . . . 5  |-  ( ( s  =  S  /\  t  =  T )  ->  { f  e.  ( ( Base `  t
)  ^m  ( Base `  s ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  s
) A. y  e.  ( Base `  s
) ( f `  ( x ( +g  `  s ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  t
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  s ) )  =  ( 0g `  t ) ) }  =  { f  e.  ( C  ^m  B
)  |  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
f `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( f `  x )  .+^  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  .0.  )  =  Y
) } )
33 ovex 6114 . . . . . 6  |-  ( C  ^m  B )  e. 
_V
3433rabex 4441 . . . . 5  |-  { f  e.  ( C  ^m  B )  |  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( f `  x ) 
.+^  ( f `  y ) )  /\  ( f `  .0.  )  =  Y ) }  e.  _V
3532, 1, 34ovmpt2a 6219 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd )  ->  ( S MndHom  T )  =  { f  e.  ( C  ^m  B
)  |  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
f `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( f `  x )  .+^  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  .0.  )  =  Y
) } )
3635eleq2d 2508 . . 3  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd )  ->  ( F  e.  ( S MndHom  T )  <->  F  e.  { f  e.  ( C  ^m  B )  |  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( f `  x ) 
.+^  ( f `  y ) )  /\  ( f `  .0.  )  =  Y ) } ) )
37 fvex 5699 . . . . . . 7  |-  ( Base `  T )  e.  _V
384, 37eqeltri 2511 . . . . . 6  |-  C  e. 
_V
39 fvex 5699 . . . . . . 7  |-  ( Base `  S )  e.  _V
407, 39eqeltri 2511 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
4138, 40elmap 7239 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( C  ^m  B )  <->  F : B
--> C )
4241anbi1i 695 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  B )  /\  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x 
.+  y ) )  =  ( ( F `
 x )  .+^  ( F `  y ) )  /\  ( F `
 .0.  )  =  Y ) )  <->  ( F : B --> C  /\  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x 
.+  y ) )  =  ( ( F `
 x )  .+^  ( F `  y ) )  /\  ( F `
 .0.  )  =  Y ) ) )
43 fveq1 5688 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  ( x  .+  y ) )  =  ( F `  (
x  .+  y )
) )
44 fveq1 5688 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
45 fveq1 5688 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
4644, 45oveq12d 6107 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  .+^  ( f `  y ) )  =  ( ( F `  x )  .+^  ( F `
 y ) ) )
4743, 46eqeq12d 2455 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( f `  x ) 
.+^  ( f `  y ) )  <->  ( F `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( F `  x
)  .+^  ( F `  y ) ) ) )
48472ralbidv 2755 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( f `  x ) 
.+^  ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( F `  x
)  .+^  ( F `  y ) ) ) )
49 fveq1 5688 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  .0.  )  =  ( F `  .0.  ) )
5049eqeq1d 2449 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  .0.  )  =  Y  <->  ( F `  .0.  )  =  Y ) )
5148, 50anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( f `  x ) 
.+^  ( f `  y ) )  /\  ( f `  .0.  )  =  Y )  <->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x 
.+  y ) )  =  ( ( F `
 x )  .+^  ( F `  y ) )  /\  ( F `
 .0.  )  =  Y ) ) )
5251elrab 3115 . . . 4  |-  ( F  e.  { f  e.  ( C  ^m  B
)  |  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
f `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( f `  x )  .+^  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  .0.  )  =  Y
) }  <->  ( F  e.  ( C  ^m  B
)  /\  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( F `  x )  .+^  ( F `
 y ) )  /\  ( F `  .0.  )  =  Y
) ) )
53 3anass 969 . . . 4  |-  ( ( F : B --> C  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( F `  x )  .+^  ( F `
 y ) )  /\  ( F `  .0.  )  =  Y
)  <->  ( F : B
--> C  /\  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( F `  x )  .+^  ( F `
 y ) )  /\  ( F `  .0.  )  =  Y
) ) )
5442, 52, 533bitr4i 277 . . 3  |-  ( F  e.  { f  e.  ( C  ^m  B
)  |  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
f `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( f `  x )  .+^  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  .0.  )  =  Y
) }  <->  ( F : B --> C  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( F `  x )  .+^  ( F `
 y ) )  /\  ( F `  .0.  )  =  Y
) )
5536, 54syl6bb 261 . 2  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd )  ->  ( F  e.  ( S MndHom  T )  <->  ( F : B --> C  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( F `  x )  .+^  ( F `
 y ) )  /\  ( F `  .0.  )  =  Y
) ) )
562, 55biadan2 642 1  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  <->  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd )  /\  ( F : B --> C  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( F `  x )  .+^  ( F `
 y ) )  /\  ( F `  .0.  )  =  Y
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   {crab 2717   _Vcvv 2970   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    ^m cmap 7212   Basecbs 14172   +g cplusg 14236   0gc0g 14376   Mndcmnd 15407   MndHom cmhm 15460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-br 4291  df-opab 4349  df-id 4634  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-fv 5424  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-map 7214  df-mhm 15462
This theorem is referenced by:  mhmf  15467  mhmpropd  15468  mhmlin  15469  mhm0  15470  mhmf1o  15471  0mhm  15484  resmhm  15485  resmhm2  15486  resmhm2b  15487  mhmco  15488  prdspjmhm  15493  pwsdiagmhm  15495  pwsco1mhm  15496  pwsco2mhm  15497  frmdup1  15540  ghmmhm  15755  frgpmhm  16260  mulgmhm  16313  srglmhm  16632  srgrmhm  16633  dfrhm2  16806  isrhm2d  16816  expmhm  17878  dchrelbas3  22575  xrge0iifmhm  26367  esumcocn  26527  deg1mhm  29572  pmattomply1mhm  30927
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