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Theorem ismhm 16520
Description: Property of a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismhm.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
ismhm.c  |-  C  =  ( Base `  T
)
ismhm.p  |-  .+  =  ( +g  `  S )
ismhm.q  |-  .+^  =  ( +g  `  T )
ismhm.z  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
ismhm.y  |-  Y  =  ( 0g `  T
)
Assertion
Ref Expression
ismhm  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  <->  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd )  /\  ( F : B --> C  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( F `  x )  .+^  ( F `
 y ) )  /\  ( F `  .0.  )  =  Y
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, S, y    x, T, y    x, F, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)    .+ ( x, y)    .+^ ( x, y)    Y( x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem ismhm
Dummy variables  f 
s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-mhm 16518 . . 3  |- MndHom  =  ( s  e.  Mnd , 
t  e.  Mnd  |->  { f  e.  ( (
Base `  t )  ^m  ( Base `  s
) )  |  ( A. x  e.  (
Base `  s ) A. y  e.  ( Base `  s ) ( f `  ( x ( +g  `  s
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  t ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 0g `  s ) )  =  ( 0g `  t
) ) } )
21elmpt2cl 6462 . 2  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  ->  ( S  e.  Mnd  /\  T  e. 
Mnd ) )
3 fveq2 5818 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  T  ->  ( Base `  t )  =  ( Base `  T
) )
4 ismhm.c . . . . . . . 8  |-  C  =  ( Base `  T
)
53, 4syl6eqr 2474 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  ( Base `  t )  =  C )
6 fveq2 5818 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ( Base `  s )  =  ( Base `  S
) )
7 ismhm.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  S
)
86, 7syl6eqr 2474 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( Base `  s )  =  B )
95, 8oveqan12rd 6262 . . . . . 6  |-  ( ( s  =  S  /\  t  =  T )  ->  ( ( Base `  t
)  ^m  ( Base `  s ) )  =  ( C  ^m  B
) )
108adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  =  S  /\  t  =  T )  ->  ( Base `  s
)  =  B )
11 fveq2 5818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  S  ->  ( +g  `  s )  =  ( +g  `  S
) )
12 ismhm.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  .+  =  ( +g  `  S )
1311, 12syl6eqr 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  ( +g  `  s )  = 
.+  )
1413oveqd 6259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
x ( +g  `  s
) y )  =  ( x  .+  y
) )
1514fveq2d 5822 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  (
f `  ( x
( +g  `  s ) y ) )  =  ( f `  (
x  .+  y )
) )
16 fveq2 5818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  T  ->  ( +g  `  t )  =  ( +g  `  T
) )
17 ismhm.q . . . . . . . . . . . 12  |-  .+^  =  ( +g  `  T )
1816, 17syl6eqr 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  T  ->  ( +g  `  t )  = 
.+^  )
1918oveqd 6259 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  T  ->  (
( f `  x
) ( +g  `  t
) ( f `  y ) )  =  ( ( f `  x )  .+^  ( f `
 y ) ) )
2015, 19eqeqan12d 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  =  S  /\  t  =  T )  ->  ( ( f `  ( x ( +g  `  s ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  t
) ( f `  y ) )  <->  ( f `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( f `  x
)  .+^  ( f `  y ) ) ) )
2110, 20raleqbidv 2972 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  =  S  /\  t  =  T )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  s
) ( f `  ( x ( +g  `  s ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  t
) ( f `  y ) )  <->  A. y  e.  B  ( f `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( f `  x
)  .+^  ( f `  y ) ) ) )
2210, 21raleqbidv 2972 . . . . . . 7  |-  ( ( s  =  S  /\  t  =  T )  ->  ( A. x  e.  ( Base `  s
) A. y  e.  ( Base `  s
) ( f `  ( x ( +g  `  s ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  t
) ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( f `  x
)  .+^  ( f `  y ) ) ) )
23 fveq2 5818 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( 0g `  s )  =  ( 0g `  S
) )
24 ismhm.z . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
2523, 24syl6eqr 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  ( 0g `  s )  =  .0.  )
2625fveq2d 5822 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
f `  ( 0g `  s ) )  =  ( f `  .0.  ) )
27 fveq2 5818 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  T  ->  ( 0g `  t )  =  ( 0g `  T
) )
28 ismhm.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( 0g `  T
)
2927, 28syl6eqr 2474 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  T  ->  ( 0g `  t )  =  Y )
3026, 29eqeqan12d 2438 . . . . . . 7  |-  ( ( s  =  S  /\  t  =  T )  ->  ( ( f `  ( 0g `  s ) )  =  ( 0g
`  t )  <->  ( f `  .0.  )  =  Y ) )
3122, 30anbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( ( s  =  S  /\  t  =  T )  ->  ( ( A. x  e.  ( Base `  s
) A. y  e.  ( Base `  s
) ( f `  ( x ( +g  `  s ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  t
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  s ) )  =  ( 0g `  t ) )  <->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
f `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( f `  x )  .+^  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  .0.  )  =  Y
) ) )
329, 31rabeqbidv 3011 . . . . 5  |-  ( ( s  =  S  /\  t  =  T )  ->  { f  e.  ( ( Base `  t
)  ^m  ( Base `  s ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  s
) A. y  e.  ( Base `  s
) ( f `  ( x ( +g  `  s ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  t
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  ( 0g `  s ) )  =  ( 0g `  t ) ) }  =  { f  e.  ( C  ^m  B
)  |  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
f `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( f `  x )  .+^  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  .0.  )  =  Y
) } )
33 ovex 6270 . . . . . 6  |-  ( C  ^m  B )  e. 
_V
3433rabex 4511 . . . . 5  |-  { f  e.  ( C  ^m  B )  |  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( f `  x ) 
.+^  ( f `  y ) )  /\  ( f `  .0.  )  =  Y ) }  e.  _V
3532, 1, 34ovmpt2a 6378 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd )  ->  ( S MndHom  T )  =  { f  e.  ( C  ^m  B
)  |  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
f `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( f `  x )  .+^  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  .0.  )  =  Y
) } )
3635eleq2d 2485 . . 3  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd )  ->  ( F  e.  ( S MndHom  T )  <->  F  e.  { f  e.  ( C  ^m  B )  |  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( f `  x ) 
.+^  ( f `  y ) )  /\  ( f `  .0.  )  =  Y ) } ) )
37 fvex 5828 . . . . . . 7  |-  ( Base `  T )  e.  _V
384, 37eqeltri 2496 . . . . . 6  |-  C  e. 
_V
39 fvex 5828 . . . . . . 7  |-  ( Base `  S )  e.  _V
407, 39eqeltri 2496 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
4138, 40elmap 7448 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( C  ^m  B )  <->  F : B
--> C )
4241anbi1i 699 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  B )  /\  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x 
.+  y ) )  =  ( ( F `
 x )  .+^  ( F `  y ) )  /\  ( F `
 .0.  )  =  Y ) )  <->  ( F : B --> C  /\  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x 
.+  y ) )  =  ( ( F `
 x )  .+^  ( F `  y ) )  /\  ( F `
 .0.  )  =  Y ) ) )
43 fveq1 5817 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  ( x  .+  y ) )  =  ( F `  (
x  .+  y )
) )
44 fveq1 5817 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
45 fveq1 5817 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
4644, 45oveq12d 6260 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  .+^  ( f `  y ) )  =  ( ( F `  x )  .+^  ( F `
 y ) ) )
4743, 46eqeq12d 2437 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( f `  x ) 
.+^  ( f `  y ) )  <->  ( F `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( F `  x
)  .+^  ( F `  y ) ) ) )
48472ralbidv 2803 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( f `  x ) 
.+^  ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( F `  x
)  .+^  ( F `  y ) ) ) )
49 fveq1 5817 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  .0.  )  =  ( F `  .0.  ) )
5049eqeq1d 2424 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  .0.  )  =  Y  <->  ( F `  .0.  )  =  Y ) )
5148, 50anbi12d 715 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( f `  x ) 
.+^  ( f `  y ) )  /\  ( f `  .0.  )  =  Y )  <->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x 
.+  y ) )  =  ( ( F `
 x )  .+^  ( F `  y ) )  /\  ( F `
 .0.  )  =  Y ) ) )
5251elrab 3164 . . . 4  |-  ( F  e.  { f  e.  ( C  ^m  B
)  |  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
f `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( f `  x )  .+^  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  .0.  )  =  Y
) }  <->  ( F  e.  ( C  ^m  B
)  /\  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( F `  x )  .+^  ( F `
 y ) )  /\  ( F `  .0.  )  =  Y
) ) )
53 3anass 986 . . . 4  |-  ( ( F : B --> C  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( F `  x )  .+^  ( F `
 y ) )  /\  ( F `  .0.  )  =  Y
)  <->  ( F : B
--> C  /\  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( F `  x )  .+^  ( F `
 y ) )  /\  ( F `  .0.  )  =  Y
) ) )
5442, 52, 533bitr4i 280 . . 3  |-  ( F  e.  { f  e.  ( C  ^m  B
)  |  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
f `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( f `  x )  .+^  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  .0.  )  =  Y
) }  <->  ( F : B --> C  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( F `  x )  .+^  ( F `
 y ) )  /\  ( F `  .0.  )  =  Y
) )
5536, 54syl6bb 264 . 2  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd )  ->  ( F  e.  ( S MndHom  T )  <->  ( F : B --> C  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( F `  x )  .+^  ( F `
 y ) )  /\  ( F `  .0.  )  =  Y
) ) )
562, 55biadan2 646 1  |-  ( F  e.  ( S MndHom  T
)  <->  ( ( S  e.  Mnd  /\  T  e.  Mnd )  /\  ( F : B --> C  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( F `  x )  .+^  ( F `
 y ) )  /\  ( F `  .0.  )  =  Y
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2708   {crab 2712   _Vcvv 3016   -->wf 5533   ` cfv 5537  (class class class)co 6242    ^m cmap 7420   Basecbs 15057   +g cplusg 15126   0gc0g 15274   Mndcmnd 16471   MndHom cmhm 16516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-ral 2713  df-rex 2714  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-op 3941  df-uni 4156  df-br 4360  df-opab 4419  df-id 4704  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-fv 5545  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-map 7422  df-mhm 16518
This theorem is referenced by:  mhmf  16523  mhmpropd  16524  mhmlin  16525  mhm0  16526  idmhm  16527  mhmf1o  16528  0mhm  16541  resmhm  16542  resmhm2  16543  resmhm2b  16544  mhmco  16545  prdspjmhm  16550  pwsdiagmhm  16552  pwsco1mhm  16553  pwsco2mhm  16554  frmdup1  16584  mhmfmhm  16745  ghmmhm  16829  frgpmhm  17351  mulgmhm  17404  srglmhm  17704  srgrmhm  17705  dfrhm2  17881  isrhm2d  17892  expmhm  18971  mat1mhm  19444  scmatmhm  19494  mat2pmatmhm  19692  pm2mpmhm  19779  dchrelbas3  24101  xrge0iifmhm  28690  esumcocn  28846  elmrsubrn  30103  deg1mhm  35991  ismhm0  39390  mhmismgmhm  39391  c0mhm  39495
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