Theorem ismgra 15057

Description: The predicate "is a directed multi graph".

Assertion

Ref	Expression
ismgra	|- ((D e. A /\ C e. B /\ U e. F) -> (<.<.D, C>., U>. e. Dgra <-> (D:dom D-->U /\ C:dom D-->U)))

Proof of Theorem ismgra

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq1 4551	. . . . 5 |- (d = D -> (d:dom d-->u <-> D:dom d-->u))
2		dmeq 4157	. . . . . 6 |- (d = D -> dom d = dom D)
3	2	feq2d 4557	. . . . 5 |- (d = D -> (D:dom d-->u <-> D:dom D-->u))
4	1, 3	bitrd 587	. . . 4 |- (d = D -> (d:dom d-->u <-> D:dom D-->u))
5	2	feq2d 4557	. . . 4 |- (d = D -> (c:dom d-->u <-> c:dom D-->u))
6	4, 5	anbi12d 690	. . 3 |- (d = D -> ((d:dom d-->u /\ c:dom d-->u) <-> (D:dom D-->u /\ c:dom D-->u)))
7		feq1 4551	. . . 4 |- (c = C -> (c:dom D-->u <-> C:dom D-->u))
8	7	anbi2d 678	. . 3 |- (c = C -> ((D:dom D-->u /\ c:dom D-->u) <-> (D:dom D-->u /\ C:dom D-->u)))
9		feq3 4553	. . . 4 |- (u = U -> (D:dom D-->u <-> D:dom D-->U))
10		feq3 4553	. . . 4 |- (u = U -> (C:dom D-->u <-> C:dom D-->U))
11	9, 10	anbi12d 690	. . 3 |- (u = U -> ((D:dom D-->u /\ C:dom D-->u) <-> (D:dom D-->U /\ C:dom D-->U)))
12	6, 8, 11	eloprabg 4936	. 2 |- ((D e. A /\ C e. B /\ U e. F) -> (<.<.D, C>., U>. e. {<.<.d, c>., u>. | (d:dom d-->u /\ c:dom d-->u)} <-> (D:dom D-->U /\ C:dom D-->U)))
13		df-mgra 15056	. . 3 |- Dgra = {<.<.d, c>., u>. | (d:dom d-->u /\ c:dom d-->u)}
14	13	eleq2i 1961	. 2 |- (<.<.D, C>., U>. e. Dgra <-> <.<.D, C>., U>. e. {<.<.d, c>., u>. | (d:dom d-->u /\ c:dom d-->u)})
15	12, 14	syl5bb 591	1 |- ((D e. A /\ C e. B /\ U e. F) -> (<.<.D, C>., U>. e. Dgra <-> (D:dom D-->U /\ C:dom D-->U)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  <.cop 3046  dom cdm 3986  -->wf 3994  {copab2 4885   Dgra cmgra 15055

This theorem is referenced by:  aidm2 15097

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-oprab 4887  df-mgra 15056

Copyright terms: Public domain