MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismgmn0 Structured version   Unicode version

Theorem ismgmn0 15852
Description: The predicate "is a magma" for a structure with a nonempty base set. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ismgmn0.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
ismgmn0.o  |-  .o.  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
ismgmn0  |-  ( A  e.  B  ->  ( M  e. Mgm  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .o.  y
)  e.  B ) )
Distinct variable groups:    x, B, y    x, M, y    x,  .o. , y
Allowed substitution hints:    A( x, y)

Proof of Theorem ismgmn0
StepHypRef Expression
1 ismgmn0.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  M
)
21eleq2i 2521 . . . 4  |-  ( A  e.  B  <->  A  e.  ( Base `  M )
)
32biimpi 194 . . 3  |-  ( A  e.  B  ->  A  e.  ( Base `  M
) )
43elfvexd 5884 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  M  e.  _V )
5 ismgmn0.o . . 3  |-  .o.  =  ( +g  `  M )
61, 5ismgm 15851 . 2  |-  ( M  e.  _V  ->  ( M  e. Mgm  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .o.  y
)  e.  B ) )
74, 6syl 16 1  |-  ( A  e.  B  ->  ( M  e. Mgm  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .o.  y
)  e.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   _Vcvv 3095   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14613   +g cplusg 14678  Mgmcmgm 15848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-nul 4566  ax-pow 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-dm 4999  df-iota 5541  df-fv 5586  df-ov 6284  df-mgm 15850
This theorem is referenced by:  mgm1  15862  opifismgm  15863  issgrpn0  15892  xrsmgm  18431  mgmpropd  32301  opmpt2ismgm  32332  nnsgrpmgm  32341  2zrngamgm  32455  2zrngmmgm  32462
  Copyright terms: Public domain W3C validator