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Theorem ismgmhm 39402
Description: Property of a magma homomorphism. (Contributed by AV, 25-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ismgmhm.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
ismgmhm.c  |-  C  =  ( Base `  T
)
ismgmhm.p  |-  .+  =  ( +g  `  S )
ismgmhm.q  |-  .+^  =  ( +g  `  T )
Assertion
Ref Expression
ismgmhm  |-  ( F  e.  ( S MgmHom  T
)  <->  ( ( S  e. Mgm  /\  T  e. Mgm )  /\  ( F : B
--> C  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( F `  x
)  .+^  ( F `  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, S, y    x, T, y    x, F, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)    .+ ( x, y)    .+^ ( x, y)

Proof of Theorem ismgmhm
Dummy variables  f 
s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mgmhmrcl 39400 . 2  |-  ( F  e.  ( S MgmHom  T
)  ->  ( S  e. Mgm  /\  T  e. Mgm )
)
2 fveq2 5881 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  T  ->  ( Base `  t )  =  ( Base `  T
) )
3 ismgmhm.c . . . . . . . 8  |-  C  =  ( Base `  T
)
42, 3syl6eqr 2481 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  ( Base `  t )  =  C )
5 fveq2 5881 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ( Base `  s )  =  ( Base `  S
) )
6 ismgmhm.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  S
)
75, 6syl6eqr 2481 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( Base `  s )  =  B )
84, 7oveqan12rd 6325 . . . . . 6  |-  ( ( s  =  S  /\  t  =  T )  ->  ( ( Base `  t
)  ^m  ( Base `  s ) )  =  ( C  ^m  B
) )
97adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( s  =  S  /\  t  =  T )  ->  ( Base `  s
)  =  B )
10 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  ( +g  `  s )  =  ( +g  `  S
) )
11 ismgmhm.p . . . . . . . . . . . 12  |-  .+  =  ( +g  `  S )
1210, 11syl6eqr 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  ( +g  `  s )  = 
.+  )
1312oveqd 6322 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  (
x ( +g  `  s
) y )  =  ( x  .+  y
) )
1413fveq2d 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
f `  ( x
( +g  `  s ) y ) )  =  ( f `  (
x  .+  y )
) )
15 fveq2 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  T  ->  ( +g  `  t )  =  ( +g  `  T
) )
16 ismgmhm.q . . . . . . . . . . 11  |-  .+^  =  ( +g  `  T )
1715, 16syl6eqr 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  T  ->  ( +g  `  t )  = 
.+^  )
1817oveqd 6322 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  T  ->  (
( f `  x
) ( +g  `  t
) ( f `  y ) )  =  ( ( f `  x )  .+^  ( f `
 y ) ) )
1914, 18eqeqan12d 2445 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  =  S  /\  t  =  T )  ->  ( ( f `  ( x ( +g  `  s ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  t
) ( f `  y ) )  <->  ( f `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( f `  x
)  .+^  ( f `  y ) ) ) )
209, 19raleqbidv 3036 . . . . . . 7  |-  ( ( s  =  S  /\  t  =  T )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  s
) ( f `  ( x ( +g  `  s ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  t
) ( f `  y ) )  <->  A. y  e.  B  ( f `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( f `  x
)  .+^  ( f `  y ) ) ) )
219, 20raleqbidv 3036 . . . . . 6  |-  ( ( s  =  S  /\  t  =  T )  ->  ( A. x  e.  ( Base `  s
) A. y  e.  ( Base `  s
) ( f `  ( x ( +g  `  s ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  t
) ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( f `  x
)  .+^  ( f `  y ) ) ) )
228, 21rabeqbidv 3075 . . . . 5  |-  ( ( s  =  S  /\  t  =  T )  ->  { f  e.  ( ( Base `  t
)  ^m  ( Base `  s ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  s ) A. y  e.  ( Base `  s ) ( f `  ( x ( +g  `  s
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  t ) ( f `  y
) ) }  =  { f  e.  ( C  ^m  B )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( f `  x ) 
.+^  ( f `  y ) ) } )
23 df-mgmhm 39398 . . . . 5  |- MgmHom  =  ( s  e. Mgm ,  t  e. Mgm  |->  { f  e.  ( ( Base `  t
)  ^m  ( Base `  s ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  s ) A. y  e.  ( Base `  s ) ( f `  ( x ( +g  `  s
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  t ) ( f `  y
) ) } )
24 ovex 6333 . . . . . 6  |-  ( C  ^m  B )  e. 
_V
2524rabex 4575 . . . . 5  |-  { f  e.  ( C  ^m  B )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
f `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( f `  x )  .+^  ( f `
 y ) ) }  e.  _V
2622, 23, 25ovmpt2a 6441 . . . 4  |-  ( ( S  e. Mgm  /\  T  e. Mgm )  ->  ( S MgmHom  T )  =  { f  e.  ( C  ^m  B )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
f `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( f `  x )  .+^  ( f `
 y ) ) } )
2726eleq2d 2492 . . 3  |-  ( ( S  e. Mgm  /\  T  e. Mgm )  ->  ( F  e.  ( S MgmHom  T )  <-> 
F  e.  { f  e.  ( C  ^m  B )  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
f `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( f `  x )  .+^  ( f `
 y ) ) } ) )
28 fveq1 5880 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  ( x  .+  y ) )  =  ( F `  (
x  .+  y )
) )
29 fveq1 5880 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
30 fveq1 5880 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
3129, 30oveq12d 6323 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  .+^  ( f `  y ) )  =  ( ( F `  x )  .+^  ( F `
 y ) ) )
3228, 31eqeq12d 2444 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( f `  x ) 
.+^  ( f `  y ) )  <->  ( F `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( F `  x
)  .+^  ( F `  y ) ) ) )
33322ralbidv 2866 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( f `  x ) 
.+^  ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( F `  x
)  .+^  ( F `  y ) ) ) )
3433elrab 3228 . . . 4  |-  ( F  e.  { f  e.  ( C  ^m  B
)  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( f `  x
)  .+^  ( f `  y ) ) }  <-> 
( F  e.  ( C  ^m  B )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( F `  x ) 
.+^  ( F `  y ) ) ) )
35 fvex 5891 . . . . . . 7  |-  ( Base `  T )  e.  _V
363, 35eqeltri 2503 . . . . . 6  |-  C  e. 
_V
37 fvex 5891 . . . . . . 7  |-  ( Base `  S )  e.  _V
386, 37eqeltri 2503 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
3936, 38elmap 7511 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( C  ^m  B )  <->  F : B
--> C )
4039anbi1i 699 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  B )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( F `  x )  .+^  ( F `
 y ) ) )  <->  ( F : B
--> C  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( F `  x
)  .+^  ( F `  y ) ) ) )
4134, 40bitri 252 . . 3  |-  ( F  e.  { f  e.  ( C  ^m  B
)  |  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( f `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( f `  x
)  .+^  ( f `  y ) ) }  <-> 
( F : B --> C  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( F `  x ) 
.+^  ( F `  y ) ) ) )
4227, 41syl6bb 264 . 2  |-  ( ( S  e. Mgm  /\  T  e. Mgm )  ->  ( F  e.  ( S MgmHom  T )  <-> 
( F : B --> C  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( F `  x ) 
.+^  ( F `  y ) ) ) ) )
431, 42biadan2 646 1  |-  ( F  e.  ( S MgmHom  T
)  <->  ( ( S  e. Mgm  /\  T  e. Mgm )  /\  ( F : B
--> C  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( F `  x
)  .+^  ( F `  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   {crab 2775   _Vcvv 3080   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^m cmap 7483   Basecbs 15120   +g cplusg 15189  Mgmcmgm 16485   MgmHom cmgmhm 39396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-map 7485  df-mgmhm 39398
This theorem is referenced by:  mgmhmf  39403  mgmhmpropd  39404  mgmhmlin  39405  mgmhmf1o  39406  idmgmhm  39407  resmgmhm  39417  resmgmhm2  39418  resmgmhm2b  39419  mgmhmco  39420  ismhm0  39424  mhmismgmhm  39425  isrnghmmul  39512  c0mgm  39528  c0snmgmhm  39533
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