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Theorem ismet2 19930
Description: An extended metric is a metric exactly when it takes real values for all values of the arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ismet2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR ) )

Proof of Theorem ismet2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5738 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  X  e.  _V )
2 elfvex 5738 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  _V )
32adantr 465 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  ->  X  e.  _V )
4 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR )
5 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
6 simplrl 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  x  e.  X )
74, 5, 6fovrnd 6256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
z D x )  e.  RR )
8 simplrr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  y  e.  X )
94, 5, 8fovrnd 6256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
z D y )  e.  RR )
10 rexadd 11223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR )  ->  ( ( z D x ) +e ( z D y ) )  =  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
117, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( z D x ) +e ( z D y ) )  =  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
1211breq2d 4325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) )  <-> 
( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) ) )
1312ralbidva 2752 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) )  <->  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) ) )
1413anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )  <-> 
( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) )
15142ralbidva 2776 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) )
16 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  _V  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR )
17 ressxr 9448 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  RR*
18 fss 5588 . . . . . . . 8  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR 
/\  RR  C_  RR* )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
1916, 17, 18sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  _V  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  ->  D : ( X  X.  X ) -->
RR* )
2019biantrurd 508 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )  <-> 
( D : ( X  X.  X ) -->
RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
2115, 20bitr3d 255 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
2221pm5.32da 641 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) )  <-> 
( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) ) )
23 ancom 450 . . . 4  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR 
/\  ( D :
( X  X.  X
) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )  <->  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR ) )
2422, 23syl6bb 261 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) )  <-> 
( ( D :
( X  X.  X
) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR ) ) )
25 ismet 19920 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( D  e.  ( Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) ) )
26 isxmet 19921 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  ->  ( D  e.  ( *Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
2726anbi1d 704 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  <->  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR ) ) )
2824, 25, 273bitr4d 285 . 2  |-  ( X  e.  _V  ->  ( D  e.  ( Met `  X )  <->  ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR ) ) )
291, 3, 28pm5.21nii 353 1  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   _Vcvv 2993    C_ wss 3349   class class class wbr 4313    X. cxp 4859   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   RRcr 9302   0cc0 9303    + caddc 9306   RR*cxr 9438    <_ cle 9440   +ecxad 11108   *Metcxmt 17823   Metcme 17824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-mulcl 9365  ax-i2m1 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-xadd 11111  df-xmet 17832  df-met 17833
This theorem is referenced by:  metxmet  19931  metres2  19960  prdsmet  19967  imasf1omet  19973  xmetresbl  20034  stdbdmet  20113  isbndx  28707
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