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Theorem ismet 20558
Description: Express the predicate " D is a metric." (Contributed by NM, 25-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ismet  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, D    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem ismet
Dummy variables  d 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3122 . . . . 5  |-  ( X  e.  A  ->  X  e.  _V )
2 xpeq12 5018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  X  /\  t  =  X )  ->  ( t  X.  t
)  =  ( X  X.  X ) )
32anidms 645 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  X  ->  (
t  X.  t )  =  ( X  X.  X ) )
43oveq2d 6298 . . . . . . 7  |-  ( t  =  X  ->  ( RR  ^m  ( t  X.  t ) )  =  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) ) )
5 raleq 3058 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  X  ->  ( A. z  e.  t 
( x d y )  <_  ( (
z d x )  +  ( z d y ) )  <->  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) )
65anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  X  ->  (
( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  t  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) )  <->  ( (
( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) ) )
76raleqbi1dv 3066 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  X  ->  ( A. y  e.  t 
( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  t  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) )  <->  A. y  e.  X  ( (
( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) ) )
87raleqbi1dv 3066 . . . . . . 7  |-  ( t  =  X  ->  ( A. x  e.  t  A. y  e.  t 
( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  t  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) ) )
94, 8rabeqbidv 3108 . . . . . 6  |-  ( t  =  X  ->  { d  e.  ( RR  ^m  ( t  X.  t
) )  |  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
( ( x d y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  t  ( x d y )  <_  (
( z d x )  +  ( z d y ) ) ) }  =  {
d  e.  ( RR 
^m  ( X  X.  X ) )  | 
A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) } )
10 df-met 18181 . . . . . 6  |-  Met  =  ( t  e.  _V  |->  { d  e.  ( RR  ^m  ( t  X.  t ) )  |  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  t  (
x d y )  <_  ( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) } )
11 ovex 6307 . . . . . . 7  |-  ( RR 
^m  ( X  X.  X ) )  e. 
_V
1211rabex 4598 . . . . . 6  |-  { d  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X
) )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x d y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  (
( z d x )  +  ( z d y ) ) ) }  e.  _V
139, 10, 12fvmpt 5948 . . . . 5  |-  ( X  e.  _V  ->  ( Met `  X )  =  { d  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x d y )  <_  ( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) } )
141, 13syl 16 . . . 4  |-  ( X  e.  A  ->  ( Met `  X )  =  { d  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x d y )  <_  ( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) } )
1514eleq2d 2537 . . 3  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( Met `  X )  <->  D  e.  { d  e.  ( RR 
^m  ( X  X.  X ) )  | 
A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) } ) )
16 oveq 6288 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
x d y )  =  ( x D y ) )
1716eqeq1d 2469 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (
( x d y )  =  0  <->  (
x D y )  =  0 ) )
1817bibi1d 319 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( x d y )  =  0  <-> 
x  =  y )  <-> 
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y ) ) )
19 oveq 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
z d x )  =  ( z D x ) )
20 oveq 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
z d y )  =  ( z D y ) )
2119, 20oveq12d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
( z d x )  +  ( z d y ) )  =  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
2216, 21breq12d 4460 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (
( x d y )  <_  ( (
z d x )  +  ( z d y ) )  <->  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) )
2322ralbidv 2903 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  ( A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( (
z d x )  +  ( z d y ) )  <->  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) )
2418, 23anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) )  <->  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) )
25242ralbidv 2908 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) )
2625elrab 3261 . . 3  |-  ( D  e.  { d  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x d y )  <_  ( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) }  <-> 
( D  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) )
2715, 26syl6bb 261 . 2  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( Met `  X )  <->  ( D  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) ) )
28 reex 9579 . . . 4  |-  RR  e.  _V
29 xpexg 6709 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  X  e.  A )  ->  ( X  X.  X
)  e.  _V )
3029anidms 645 . . . 4  |-  ( X  e.  A  ->  ( X  X.  X )  e. 
_V )
31 elmapg 7430 . . . 4  |-  ( ( RR  e.  _V  /\  ( X  X.  X
)  e.  _V )  ->  ( D  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  <-> 
D : ( X  X.  X ) --> RR ) )
3228, 30, 31sylancr 663 . . 3  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X
) )  <->  D :
( X  X.  X
) --> RR ) )
3332anbi1d 704 . 2  |-  ( X  e.  A  ->  (
( D  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) )  <-> 
( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) ) )
3427, 33bitrd 253 1  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    ^m cmap 7417   RRcr 9487   0cc0 9488    + caddc 9491    <_ cle 9625   Metcme 18172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-map 7419  df-met 18181
This theorem is referenced by:  ismeti  20560  metflem  20563  ismet2  20568  dscmet  20825  nrmmetd  20827  rrxmet  21567  metf1o  29849  rrnmet  29926
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