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Theorem ismet 21118
Description: Express the predicate " D is a metric." (Contributed by NM, 25-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ismet  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, D    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem ismet
Dummy variables  d 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3068 . . . . 5  |-  ( X  e.  A  ->  X  e.  _V )
2 xpeq12 4842 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  X  /\  t  =  X )  ->  ( t  X.  t
)  =  ( X  X.  X ) )
32anidms 643 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  X  ->  (
t  X.  t )  =  ( X  X.  X ) )
43oveq2d 6294 . . . . . . 7  |-  ( t  =  X  ->  ( RR  ^m  ( t  X.  t ) )  =  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) ) )
5 raleq 3004 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  X  ->  ( A. z  e.  t 
( x d y )  <_  ( (
z d x )  +  ( z d y ) )  <->  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) )
65anbi2d 702 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  X  ->  (
( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  t  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) )  <->  ( (
( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) ) )
76raleqbi1dv 3012 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  X  ->  ( A. y  e.  t 
( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  t  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) )  <->  A. y  e.  X  ( (
( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) ) )
87raleqbi1dv 3012 . . . . . . 7  |-  ( t  =  X  ->  ( A. x  e.  t  A. y  e.  t 
( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  t  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) ) )
94, 8rabeqbidv 3054 . . . . . 6  |-  ( t  =  X  ->  { d  e.  ( RR  ^m  ( t  X.  t
) )  |  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
( ( x d y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  t  ( x d y )  <_  (
( z d x )  +  ( z d y ) ) ) }  =  {
d  e.  ( RR 
^m  ( X  X.  X ) )  | 
A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) } )
10 df-met 18733 . . . . . 6  |-  Met  =  ( t  e.  _V  |->  { d  e.  ( RR  ^m  ( t  X.  t ) )  |  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  t  (
x d y )  <_  ( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) } )
11 ovex 6306 . . . . . . 7  |-  ( RR 
^m  ( X  X.  X ) )  e. 
_V
1211rabex 4545 . . . . . 6  |-  { d  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X
) )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x d y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  (
( z d x )  +  ( z d y ) ) ) }  e.  _V
139, 10, 12fvmpt 5932 . . . . 5  |-  ( X  e.  _V  ->  ( Met `  X )  =  { d  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x d y )  <_  ( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) } )
141, 13syl 17 . . . 4  |-  ( X  e.  A  ->  ( Met `  X )  =  { d  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x d y )  <_  ( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) } )
1514eleq2d 2472 . . 3  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( Met `  X )  <->  D  e.  { d  e.  ( RR 
^m  ( X  X.  X ) )  | 
A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) } ) )
16 oveq 6284 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
x d y )  =  ( x D y ) )
1716eqeq1d 2404 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (
( x d y )  =  0  <->  (
x D y )  =  0 ) )
1817bibi1d 317 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( x d y )  =  0  <-> 
x  =  y )  <-> 
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y ) ) )
19 oveq 6284 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
z d x )  =  ( z D x ) )
20 oveq 6284 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
z d y )  =  ( z D y ) )
2119, 20oveq12d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
( z d x )  +  ( z d y ) )  =  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
2216, 21breq12d 4408 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (
( x d y )  <_  ( (
z d x )  +  ( z d y ) )  <->  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) )
2322ralbidv 2843 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  ( A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( (
z d x )  +  ( z d y ) )  <->  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) )
2418, 23anbi12d 709 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) )  <->  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) )
25242ralbidv 2848 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) )
2625elrab 3207 . . 3  |-  ( D  e.  { d  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x d y )  <_  ( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) }  <-> 
( D  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) )
2715, 26syl6bb 261 . 2  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( Met `  X )  <->  ( D  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) ) )
28 reex 9613 . . . 4  |-  RR  e.  _V
29 sqxpexg 6587 . . . 4  |-  ( X  e.  A  ->  ( X  X.  X )  e. 
_V )
30 elmapg 7470 . . . 4  |-  ( ( RR  e.  _V  /\  ( X  X.  X
)  e.  _V )  ->  ( D  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  <-> 
D : ( X  X.  X ) --> RR ) )
3128, 29, 30sylancr 661 . . 3  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X
) )  <->  D :
( X  X.  X
) --> RR ) )
3231anbi1d 703 . 2  |-  ( X  e.  A  ->  (
( D  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) )  <-> 
( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) ) )
3327, 32bitrd 253 1  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   {crab 2758   _Vcvv 3059   class class class wbr 4395    X. cxp 4821   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    ^m cmap 7457   RRcr 9521   0cc0 9522    + caddc 9525    <_ cle 9659   Metcme 18724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-map 7459  df-met 18733
This theorem is referenced by:  ismeti  21120  metflem  21123  ismet2  21128  dscmet  21385  nrmmetd  21387  rrxmet  22127  metf1o  31530  rrnmet  31607
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