Theorem ismeannd 38299

Description: Sufficient condition to prove that M is a measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismeannd.sal	|- ( ph -> S e. SAlg )
ismeannd.mf	|- ( ph -> M : S --> ( 0 [,] +oo ) )
ismeannd.m0	|- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )
ismeannd.iun	|- ( ( ph /\ e : NN --> S /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> ( M ` U_ n e. NN ( e ` n ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( M ` ( e ` n ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ismeannd	|- ( ph -> M e. Meas )

Distinct variable groups:   e, M, n   ph, e, n

Allowed substitution hints:   S( e, n)

Proof of Theorem ismeannd

Dummy variables x y w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismeannd.mf	. . . . 5 |- ( ph -> M : S --> ( 0 [,] +oo ) )
2		fdm 5731	. . . . . . 7 |- ( M : S --> ( 0 [,] +oo ) -> dom M = S )
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> dom M = S )
4	3	feq2d 5713	. . . . 5 |- ( ph -> ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) <-> M : S --> ( 0 [,] +oo ) ) )
5	1, 4	mpbird 236	. . . 4 |- ( ph -> M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) )
6		ismeannd.sal	. . . . 5 |- ( ph -> S e. SAlg )
7	3, 6	eqeltrd 2528	. . . 4 |- ( ph -> dom M e. SAlg )
8	5, 7	jca 535	. . 3 |- ( ph -> ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom M e. SAlg ) )
9		ismeannd.m0	. . 3 |- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )
10		unieq 4205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> U. x = U. (/) )
11		uni0 4224	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. (/) = (/)
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> U. (/) = (/) )
13	10, 12	eqtrd 2484	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> U. x = (/) )
14	13	fveq2d 5867	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( M ` U. x ) = ( M ` (/) ) )
15	14, 9	sylan9eqr 2506	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x = (/) ) -> ( M ` U. x ) = 0 )
16		reseq2 5099	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> ( M |` x ) = ( M |` (/) ) )
17		res0 5108	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M |` (/) ) = (/)
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> ( M |` (/) ) = (/) )
19	16, 18	eqtrd 2484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> ( M |` x ) = (/) )
20	19	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> (Σ^ ` ( M |` x ) ) = (Σ^ ` (/) ) )
21	20	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x = (/) ) -> (Σ^ ` ( M |` x ) ) = (Σ^ ` (/) ) )
22		sge00 38212	. . . . . . . . . . 11 |- (Σ^ ` (/) ) = 0
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x = (/) ) -> (Σ^ ` (/) ) = 0 )
24	21, 23	eqtrd 2484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x = (/) ) -> (Σ^ ` ( M |` x ) ) = 0 )
25	15, 24	eqtr4d 2487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = (/) ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
26	25	adantlr 720	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ x = (/) ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
27	26	adantlr 720	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ x = (/) ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
28		simpll 759	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ -. x = (/) ) -> ( ph /\ x e. ~P dom M ) )
29		simplrr 770	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ -. x = (/) ) -> Disj y e. x y )
30	28, 29	jca 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ -. x = (/) ) -> ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) )
31		simplrl 769	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ -. x = (/) ) -> x ~<_ om )
32		neqne 37368	. . . . . . . . 9 |- ( -. x = (/) -> x =/= (/) )
33	32	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ -. x = (/) ) -> x =/= (/) )
34		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> y = w )
35	34	cbvdisjv 4383	. . . . . . . . . . 11 |- (Disj y e. x y <-> Disj w e. x w )
36	35	biimpi 198	. . . . . . . . . 10 |- (Disj y e. x y -> Disj w e. x w )
37	36	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> Disj w e. x w )
38	37	ad2antlr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ -. x = (/) ) -> Disj w e. x w )
39	31, 33, 38	nnfoctbdj 38288	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ -. x = (/) ) -> E. e ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) )
40		simpl 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) /\ ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) ) -> ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) )
41		simprl 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) /\ ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) ) -> e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) )
42		simprr 765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) /\ ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) ) -> Disj n e. NN ( e ` n ) )
43		founiiun0 37459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) -> U. x = U_ n e. NN ( e ` n ) )
44	43	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) -> ( M ` U. x ) = ( M ` U_ n e. NN ( e ` n ) ) )
45	44	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> ( M ` U. x ) = ( M ` U_ n e. NN ( e ` n ) ) )
46		simplll 767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> ph )
47		fof 5791	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) -> e : NN --> ( x u. { (/) } ) )
48	47	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) -> e : NN --> ( x u. { (/) } ) )
49		elpwi 3959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ~P dom M -> x C_ dom M )
50	49	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> x C_ dom M )
51	3	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> dom M = S )
52	50, 51	sseqtrd 3467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> x C_ S )
53		0sal 38175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( S e. SAlg -> (/) e. S )
54	6, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> (/) e. S )
55		snssi 4115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( (/) e. S -> { (/) } C_ S )
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> { (/) } C_ S )
57	56	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> { (/) } C_ S )
58	52, 57	unssd 3609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> ( x u. { (/) } ) C_ S )
59	58	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) -> ( x u. { (/) } ) C_ S )
60	48, 59	fssd 5736	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) -> e : NN --> S )
61	60	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> e : NN --> S )
62		simpr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> Disj n e. NN ( e ` n ) )
63		ismeannd.iun	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ e : NN --> S /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> ( M ` U_ n e. NN ( e ` n ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( M ` ( e ` n ) ) ) ) )
64	46, 61, 62, 63	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> ( M ` U_ n e. NN ( e ` n ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( M ` ( e ` n ) ) ) ) )
65	64	adantllr 724	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> ( M ` U_ n e. NN ( e ` n ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( M ` ( e ` n ) ) ) ) )
66	1	feqmptd 5916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> M = ( y e. S |-> ( M ` y ) ) )
67	66	reseq1d 5103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( M |` x ) = ( ( y e. S |-> ( M ` y ) ) |` x ) )
68	67	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> ( M |` x ) = ( ( y e. S |-> ( M ` y ) ) |` x ) )
69	68	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ (/) e. x ) -> ( M |` x ) = ( ( y e. S |-> ( M ` y ) ) |` x ) )
70	52	resmptd 5155	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> ( ( y e. S |-> ( M ` y ) ) |` x ) = ( y e. x |-> ( M ` y ) ) )
71	70	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ (/) e. x ) -> ( ( y e. S |-> ( M ` y ) ) |` x ) = ( y e. x |-> ( M ` y ) ) )
72		snssi 4115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( (/) e. x -> { (/) } C_ x )
73		ssequn2 3606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( { (/) } C_ x <-> ( x u. { (/) } ) = x )
74	72, 73	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( (/) e. x -> ( x u. { (/) } ) = x )
75	74	eqcomd 2456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( (/) e. x -> x = ( x u. { (/) } ) )
76	75	mpteq1d 4483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( (/) e. x -> ( y e. x |-> ( M ` y ) ) = ( y e. ( x u. { (/) } ) |-> ( M ` y ) ) )
77	76	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ (/) e. x ) -> ( y e. x |-> ( M ` y ) ) = ( y e. ( x u. { (/) } ) |-> ( M ` y ) ) )
78	69, 71, 77	3eqtrd 2488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ (/) e. x ) -> ( M |` x ) = ( y e. ( x u. { (/) } ) |-> ( M ` y ) ) )
79	78	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ (/) e. x ) -> (Σ^ ` ( M |` x ) ) = (Σ^ ` ( y e. ( x u. { (/) } ) |-> ( M ` y ) ) ) )
80		nfv 1760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ y ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x )
81		simplr 761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x ) -> x e. ~P dom M )
82		p0ex 4589	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { (/) } e. _V
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x ) -> { (/) } e. _V )
84		disjsn 4031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x i^i { (/) } ) = (/) <-> -. (/) e. x )
85	84	biimpri 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. (/) e. x -> ( x i^i { (/) } ) = (/) )
86	85	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x ) -> ( x i^i { (/) } ) = (/) )
87	1	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ y e. x ) -> M : S --> ( 0 [,] +oo ) )
88	52	sselda 3431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ y e. x ) -> y e. S )
89	87, 88	ffvelrnd 6021	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ y e. x ) -> ( M ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
90	89	adantlr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x ) /\ y e. x ) -> ( M ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
91		elsni 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. { (/) } -> y = (/) )
92	91	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. { (/) } -> ( M ` y ) = ( M ` (/) ) )
93	92	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. { (/) } ) -> ( M ` y ) = ( M ` (/) ) )
94	1, 54	ffvelrnd 6021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( M ` (/) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
95	94	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. { (/) } ) -> ( M ` (/) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
96	93, 95	eqeltrd 2528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. { (/) } ) -> ( M ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
97	96	ad4ant14 1234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x ) /\ y e. { (/) } ) -> ( M ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
98	80, 81, 83, 86, 90, 97	sge0splitmpt 38247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x ) -> (Σ^ ` ( y e. ( x u. { (/) } ) |-> ( M ` y ) ) ) = ( (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) +e (Σ^ ` ( y e. { (/) } |-> ( M ` y ) ) ) ) )
99		fveq2 5863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y = (/) -> ( M ` y ) = ( M ` (/) ) )
100	99	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( M ` y ) = ( M ` (/) ) )
101	9	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( M ` (/) ) = 0 )
102	100, 101	eqtrd 2484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( M ` y ) = 0 )
103	91, 102	sylan2 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ y e. { (/) } ) -> ( M ` y ) = 0 )
104	103	mpteq2dva 4488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( y e. { (/) } |-> ( M ` y ) ) = ( y e. { (/) } |-> 0 ) )
105	104	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> (Σ^ ` ( y e. { (/) } |-> ( M ` y ) ) ) = (Σ^ ` ( y e. { (/) } |-> 0 ) ) )
106		nfv 1760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ y ph
107	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> { (/) } e. _V )
108	106, 107	sge0z 38211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> (Σ^ ` ( y e. { (/) } |-> 0 ) ) = 0 )
109	105, 108	eqtrd 2484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> (Σ^ ` ( y e. { (/) } |-> ( M ` y ) ) ) = 0 )
110	109	oveq2d 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) +e (Σ^ ` ( y e. { (/) } |-> ( M ` y ) ) ) ) = ( (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) +e 0 ) )
111	110	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x ) -> ( (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) +e (Σ^ ` ( y e. { (/) } |-> ( M ` y ) ) ) ) = ( (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) +e 0 ) )
112		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> x e. ~P dom M )
113	68, 70	eqtrd 2484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> ( M |` x ) = ( y e. x |-> ( M ` y ) ) )
114	1	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> M : S --> ( 0 [,] +oo ) )
115	114, 52	fssresd 5748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> ( M |` x ) : x --> ( 0 [,] +oo ) )
116	113, 115	feq1dd 37424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> ( y e. x |-> ( M ` y ) ) : x --> ( 0 [,] +oo ) )
117	112, 116	sge0xrcl 38221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) e. RR* )
118	117	xaddid1d 37537	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> ( (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) +e 0 ) = (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) )
119	113	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> (Σ^ ` ( M |` x ) ) = (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) )
120	119	eqcomd 2456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
121	118, 120	eqtrd 2484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> ( (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) +e 0 ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
122	121	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x ) -> ( (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) +e 0 ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
123	98, 111, 122	3eqtrrd 2489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x ) -> (Σ^ ` ( M |` x ) ) = (Σ^ ` ( y e. ( x u. { (/) } ) |-> ( M ` y ) ) ) )
124	79, 123	pm2.61dan 799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> (Σ^ ` ( M |` x ) ) = (Σ^ ` ( y e. ( x u. { (/) } ) |-> ( M ` y ) ) ) )
125	124	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> (Σ^ ` ( M |` x ) ) = (Σ^ ` ( y e. ( x u. { (/) } ) |-> ( M ` y ) ) ) )
126		nfv 1760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) )
127		nfv 1760	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) )
128		nfdisj1 4385	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ nDisj n e. NN ( e ` n )
129	127, 128	nfan 2010	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) )
130		fveq2 5863	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( e ` n ) -> ( M ` y ) = ( M ` ( e ` n ) ) )
131		nnex 10612	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN e. _V
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> NN e. _V )
133		simplr 761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) )
134		eqidd 2451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) /\ n e. NN ) -> ( e ` n ) = ( e ` n ) )
135	1	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ y e. ( x u. { (/) } ) ) -> M : S --> ( 0 [,] +oo ) )
136	58	sselda 3431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ y e. ( x u. { (/) } ) ) -> y e. S )
137	135, 136	ffvelrnd 6021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ y e. ( x u. { (/) } ) ) -> ( M ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
138	137	ad4ant14 1234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) /\ y e. ( x u. { (/) } ) ) -> ( M ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
139	46, 102	sylan 474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) /\ y = (/) ) -> ( M ` y ) = 0 )
140	126, 129, 130, 132, 133, 62, 134, 138, 139	sge0fodjrn 38253	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> (Σ^ ` ( y e. ( x u. { (/) } ) |-> ( M ` y ) ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( M ` ( e ` n ) ) ) ) )
141	125, 140	eqtr2d 2485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( M ` ( e ` n ) ) ) ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
142	141	adantllr 724	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( M ` ( e ` n ) ) ) ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
143	45, 65, 142	3eqtrd 2488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
144	40, 41, 42, 143	syl21anc 1266	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) /\ ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
145	144	ex 436	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) -> ( ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) )
146	145	exlimdv 1778	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) -> ( E. e ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) )
147	30, 39, 146	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ -. x = (/) ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
148	27, 147	pm2.61dan 799	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
149	148	ex 436	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) )
150	149	ralrimiva 2801	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) )
151	8, 9, 150	jca31 537	. 2 |- ( ph -> ( ( ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom M e. SAlg ) /\ ( M ` (/) ) = 0 ) /\ A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) ) )
152		ismea 38283	. 2 |- ( M e. Meas <-> ( ( ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom M e. SAlg ) /\ ( M ` (/) ) = 0 ) /\ A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) ) )
153	151, 152	sylibr 216	1 |- ( ph -> M e. Meas )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   E.wex 1662   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   _Vcvv 3044   u. cun 3401   i^i cin 3402   C_ wss 3403   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   {csn 3967   U.cuni 4197   U_ciun 4277  Disj wdisj 4372   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   dom cdm 4833   |` cres 4835   -->wf 5577   -onto->wfo 5579   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   omcom 6689   ~<_ cdom 7564   0cc0 9536   +oocpnf 9669   NNcn 10606   +ecxad 11404   [,]cicc 11635  SAlgcsalg 38163  Σ^{^}csumge0 38198  Meascmea 38281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-disj 4373  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-xadd 11407  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-sum 13746  df-salg 38164  df-sumge0 38199  df-mea 38282

This theorem is referenced by:  caratheodory  38343