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Theorem ismeannd 38421
Description: Sufficient condition to prove that  M is a measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ismeannd.sal  |-  ( ph  ->  S  e. SAlg )
ismeannd.mf  |-  ( ph  ->  M : S --> ( 0 [,] +oo ) )
ismeannd.m0  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
ismeannd.iun  |-  ( (
ph  /\  e : NN
--> S  /\ Disj  n  e.  NN  ( e `  n
) )  ->  ( M `  U_ n  e.  NN  ( e `  n ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( M `  ( e `
 n ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ismeannd  |-  ( ph  ->  M  e. Meas )
Distinct variable groups:    e, M, n    ph, e, n
Allowed substitution hints:    S( e, n)

Proof of Theorem ismeannd
Dummy variables  x  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismeannd.mf . . . . 5  |-  ( ph  ->  M : S --> ( 0 [,] +oo ) )
2 fdm 5745 . . . . . . 7  |-  ( M : S --> ( 0 [,] +oo )  ->  dom  M  =  S )
31, 2syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  M  =  S )
43feq2d 5725 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M : dom  M --> ( 0 [,] +oo ) 
<->  M : S --> ( 0 [,] +oo ) ) )
51, 4mpbird 240 . . . 4  |-  ( ph  ->  M : dom  M --> ( 0 [,] +oo ) )
6 ismeannd.sal . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e. SAlg )
73, 6eqeltrd 2549 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  M  e. SAlg )
85, 7jca 541 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M : dom  M --> ( 0 [,] +oo )  /\  dom  M  e. SAlg
) )
9 ismeannd.m0 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
10 unieq 4198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  U. x  =  U. (/) )
11 uni0 4217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. (/)  =  (/)
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  U. (/)  =  (/) )
1310, 12eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  U. x  =  (/) )
1413fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( M `
 U. x )  =  ( M `  (/) ) )
1514, 9sylan9eqr 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  =  (/) )  ->  ( M `  U. x )  =  0 )
16 reseq2 5106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  ( M  |`  x )  =  ( M  |`  (/) ) )
17 res0 5115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  |`  (/) )  =  (/)
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  ( M  |`  (/) )  =  (/) )
1916, 18eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( M  |`  x )  =  (/) )
2019fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  (Σ^ `  ( M  |`  x
) )  =  (Σ^ `  (/) ) )
2120adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  =  (/) )  ->  (Σ^ `  ( M  |`  x
) )  =  (Σ^ `  (/) ) )
22 sge00 38332 . . . . . . . . . . 11  |-  (Σ^ `  (/) )  =  0
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  =  (/) )  ->  (Σ^ `  (/) )  =  0
)
2421, 23eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  =  (/) )  ->  (Σ^ `  ( M  |`  x
) )  =  0 )
2515, 24eqtr4d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  =  (/) )  ->  ( M `  U. x )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x
) ) )
2625adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  x  =  (/) )  ->  ( M `  U. x )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x ) ) )
2726adantlr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  =  (/) )  -> 
( M `  U. x )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x ) ) )
28 simpll 768 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  -.  x  =  (/) )  -> 
( ph  /\  x  e.  ~P dom  M ) )
29 simplrr 779 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  -.  x  =  (/) )  -> Disj  y  e.  x  y )
3028, 29jca 541 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  -.  x  =  (/) )  -> 
( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\ Disj  y  e.  x  y ) )
31 simplrl 778 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  -.  x  =  (/) )  ->  x  ~<_  om )
32 neqne 2651 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  =  (/)  ->  x  =/=  (/) )
3332adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  -.  x  =  (/) )  ->  x  =/=  (/) )
34 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  y  =  w )
3534cbvdisjv 4377 . . . . . . . . . . 11  |-  (Disj  y  e.  x  y  <-> Disj  w  e.  x  w )
3635biimpi 199 . . . . . . . . . 10  |-  (Disj  y  e.  x  y  -> Disj  w  e.  x  w )
3736adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> Disj  w  e.  x  w )
3837ad2antlr 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  -.  x  =  (/) )  -> Disj  w  e.  x  w )
3931, 33, 38nnfoctbdj 38410 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  -.  x  =  (/) )  ->  E. e ( e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } )  /\ Disj  n  e.  NN  ( e `
 n ) ) )
40 simpl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  (
e : NN -onto-> (
x  u.  { (/) } )  /\ Disj  n  e.  NN  ( e `  n
) ) )  -> 
( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\ Disj  y  e.  x  y ) )
41 simprl 772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  (
e : NN -onto-> (
x  u.  { (/) } )  /\ Disj  n  e.  NN  ( e `  n
) ) )  -> 
e : NN -onto-> (
x  u.  { (/) } ) )
42 simprr 774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  (
e : NN -onto-> (
x  u.  { (/) } )  /\ Disj  n  e.  NN  ( e `  n
) ) )  -> Disj  n  e.  NN  ( e `
 n ) )
43 founiiun0 37536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e : NN -onto-> ( x  u.  { (/) } )  ->  U. x  =  U_ n  e.  NN  (
e `  n )
)
4443fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e : NN -onto-> ( x  u.  { (/) } )  ->  ( M `  U. x )  =  ( M `  U_ n  e.  NN  ( e `  n ) ) )
4544ad2antlr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  ->  ( M `  U. x )  =  ( M `  U_ n  e.  NN  ( e `  n ) ) )
46 simplll 776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  ->  ph )
47 fof 5806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( e : NN -onto-> ( x  u.  { (/) } )  ->  e : NN --> ( x  u.  { (/) } ) )
4847adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto->
( x  u.  { (/)
} ) )  -> 
e : NN --> ( x  u.  { (/) } ) )
49 elpwi 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ~P dom  M  ->  x  C_  dom  M )
5049adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  ->  x  C_  dom  M )
513adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  ->  dom  M  =  S )
5250, 51sseqtrd 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  ->  x  C_  S )
53 0sal 38293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( S  e. SAlg  ->  (/)  e.  S )
546, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  S )
55 snssi 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (/)  e.  S  ->  { (/) } 
C_  S )
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  { (/) }  C_  S
)
5756adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  ->  { (/) }  C_  S
)
5852, 57unssd 3601 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  -> 
( x  u.  { (/)
} )  C_  S
)
5958adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto->
( x  u.  { (/)
} ) )  -> 
( x  u.  { (/)
} )  C_  S
)
6048, 59fssd 5750 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto->
( x  u.  { (/)
} ) )  -> 
e : NN --> S )
6160adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  ->  e : NN
--> S )
62 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  -> Disj  n  e.  NN  ( e `  n
) )
63 ismeannd.iun . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  e : NN
--> S  /\ Disj  n  e.  NN  ( e `  n
) )  ->  ( M `  U_ n  e.  NN  ( e `  n ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( M `  ( e `
 n ) ) ) ) )
6446, 61, 62, 63syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  ->  ( M `  U_ n  e.  NN  ( e `  n
) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  NN  |->  ( M `  ( e `
 n ) ) ) ) )
6564adantllr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  ->  ( M `  U_ n  e.  NN  ( e `  n
) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  NN  |->  ( M `  ( e `
 n ) ) ) ) )
661feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  M  =  ( y  e.  S  |->  ( M `
 y ) ) )
6766reseq1d 5110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( M  |`  x
)  =  ( ( y  e.  S  |->  ( M `  y ) )  |`  x )
)
6867adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  -> 
( M  |`  x
)  =  ( ( y  e.  S  |->  ( M `  y ) )  |`  x )
)
6968adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  (/)  e.  x )  ->  ( M  |`  x )  =  ( ( y  e.  S  |->  ( M `  y
) )  |`  x
) )
7052resmptd 5162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  -> 
( ( y  e.  S  |->  ( M `  y ) )  |`  x )  =  ( y  e.  x  |->  ( M `  y ) ) )
7170adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  (/)  e.  x )  ->  ( ( y  e.  S  |->  ( M `
 y ) )  |`  x )  =  ( y  e.  x  |->  ( M `  y ) ) )
72 snssi 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (/)  e.  x  ->  { (/) } 
C_  x )
73 ssequn2 3598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( {
(/) }  C_  x  <->  ( x  u.  { (/) } )  =  x )
7472, 73sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (/)  e.  x  ->  ( x  u.  { (/) } )  =  x )
7574eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (/)  e.  x  ->  x  =  ( x  u.  { (/)
} ) )
7675mpteq1d 4477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (/)  e.  x  ->  ( y  e.  x  |->  ( M `
 y ) )  =  ( y  e.  ( x  u.  { (/)
} )  |->  ( M `
 y ) ) )
7776adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  (/)  e.  x )  ->  ( y  e.  x  |->  ( M `  y ) )  =  ( y  e.  ( x  u.  { (/) } )  |->  ( M `  y ) ) )
7869, 71, 773eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  (/)  e.  x )  ->  ( M  |`  x )  =  ( y  e.  ( x  u.  { (/) } ) 
|->  ( M `  y
) ) )
7978fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  (/)  e.  x )  ->  (Σ^ `  ( M  |`  x
) )  =  (Σ^ `  (
y  e.  ( x  u.  { (/) } ) 
|->  ( M `  y
) ) ) )
80 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  -.  (/)  e.  x
)
81 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  -.  (/)  e.  x
)  ->  x  e.  ~P dom  M )
82 p0ex 4588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { (/) }  e.  _V
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  -.  (/)  e.  x
)  ->  { (/) }  e.  _V )
84 disjsn 4023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  -.  (/)  e.  x
)
8584biimpri 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  (/)  e.  x  ->  (
x  i^i  { (/) } )  =  (/) )
8685adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  -.  (/)  e.  x
)  ->  ( x  i^i  { (/) } )  =  (/) )
871ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  y  e.  x
)  ->  M : S
--> ( 0 [,] +oo ) )
8852sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  S )
8987, 88ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  y  e.  x
)  ->  ( M `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
9089adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  -.  (/)  e.  x
)  /\  y  e.  x )  ->  ( M `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
91 elsni 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  { (/) }  ->  y  =  (/) )
9291fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  { (/) }  ->  ( M `  y )  =  ( M `  (/) ) )
9392adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  {
(/) } )  ->  ( M `  y )  =  ( M `  (/) ) )
941, 54ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9594adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  {
(/) } )  ->  ( M `  (/) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9693, 95eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  {
(/) } )  ->  ( M `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9796ad4ant14 1259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  -.  (/)  e.  x
)  /\  y  e.  {
(/) } )  ->  ( M `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9880, 81, 83, 86, 90, 97sge0splitmpt 38367 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  -.  (/)  e.  x
)  ->  (Σ^ `  ( y  e.  ( x  u.  { (/) } )  |->  ( M `  y ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( y  e.  x  |->  ( M `  y
) ) ) +e (Σ^ `  ( y  e.  { (/)
}  |->  ( M `  y ) ) ) ) )
99 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  (/)  ->  ( M `
 y )  =  ( M `  (/) ) )
10099adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( M `  y )  =  ( M `  (/) ) )
1019adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
102100, 101eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( M `  y )  =  0 )
10391, 102sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  y  e.  {
(/) } )  ->  ( M `  y )  =  0 )
104103mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( y  e.  { (/)
}  |->  ( M `  y ) )  =  ( y  e.  { (/)
}  |->  0 ) )
105104fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( y  e.  { (/)
}  |->  ( M `  y ) ) )  =  (Σ^ `  ( y  e.  { (/)
}  |->  0 ) ) )
106 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ y
ph
10782a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  { (/) }  e.  _V )
108106, 107sge0z 38331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( y  e.  { (/)
}  |->  0 ) )  =  0 )
109105, 108eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( y  e.  { (/)
}  |->  ( M `  y ) ) )  =  0 )
110109oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( y  e.  x  |->  ( M `  y
) ) ) +e (Σ^ `  ( y  e.  { (/)
}  |->  ( M `  y ) ) ) )  =  ( (Σ^ `  (
y  e.  x  |->  ( M `  y ) ) ) +e 0 ) )
111110ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  -.  (/)  e.  x
)  ->  ( (Σ^ `  (
y  e.  x  |->  ( M `  y ) ) ) +e
(Σ^ `  ( y  e.  { (/)
}  |->  ( M `  y ) ) ) )  =  ( (Σ^ `  (
y  e.  x  |->  ( M `  y ) ) ) +e 0 ) )
112 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  ->  x  e.  ~P dom  M )
11368, 70eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  -> 
( M  |`  x
)  =  ( y  e.  x  |->  ( M `
 y ) ) )
1141adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  ->  M : S --> ( 0 [,] +oo ) )
115114, 52fssresd 5762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  -> 
( M  |`  x
) : x --> ( 0 [,] +oo ) )
116113, 115feq1dd 37503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  -> 
( y  e.  x  |->  ( M `  y
) ) : x --> ( 0 [,] +oo ) )
117112, 116sge0xrcl 38341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  -> 
(Σ^ `  ( y  e.  x  |->  ( M `  y
) ) )  e. 
RR* )
118117xaddid1d 11558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  -> 
( (Σ^ `  ( y  e.  x  |->  ( M `  y
) ) ) +e 0 )  =  (Σ^ `  ( y  e.  x  |->  ( M `  y
) ) ) )
119113fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  -> 
(Σ^ `  ( M  |`  x
) )  =  (Σ^ `  (
y  e.  x  |->  ( M `  y ) ) ) )
120119eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  -> 
(Σ^ `  ( y  e.  x  |->  ( M `  y
) ) )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x
) ) )
121118, 120eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  -> 
( (Σ^ `  ( y  e.  x  |->  ( M `  y
) ) ) +e 0 )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x
) ) )
122121adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  -.  (/)  e.  x
)  ->  ( (Σ^ `  (
y  e.  x  |->  ( M `  y ) ) ) +e 0 )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x ) ) )
12398, 111, 1223eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  -.  (/)  e.  x
)  ->  (Σ^ `  ( M  |`  x
) )  =  (Σ^ `  (
y  e.  ( x  u.  { (/) } ) 
|->  ( M `  y
) ) ) )
12479, 123pm2.61dan 808 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  -> 
(Σ^ `  ( M  |`  x
) )  =  (Σ^ `  (
y  e.  ( x  u.  { (/) } ) 
|->  ( M `  y
) ) ) )
125124ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  ->  (Σ^ `  ( M  |`  x
) )  =  (Σ^ `  (
y  e.  ( x  u.  { (/) } ) 
|->  ( M `  y
) ) ) )
126 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)
127 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ n
( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )
128 nfdisj1 4379 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ nDisj  n  e.  NN  ( e `
 n )
129127, 128nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n
( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)
130 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( e `  n )  ->  ( M `  y )  =  ( M `  ( e `  n
) ) )
131 nnex 10637 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  e.  _V
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  ->  NN  e.  _V )
133 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  ->  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )
134 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( e `
 n )  =  ( e `  n
) )
1351ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  y  e.  ( x  u.  { (/) } ) )  ->  M : S --> ( 0 [,] +oo ) )
13658sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  y  e.  ( x  u.  { (/) } ) )  ->  y  e.  S )
137135, 136ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  y  e.  ( x  u.  { (/) } ) )  ->  ( M `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
138137ad4ant14 1259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  /\  y  e.  ( x  u.  { (/) } ) )  ->  ( M `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
13946, 102sylan 479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  /\  y  =  (/) )  ->  ( M `  y )  =  0 )
140126, 129, 130, 132, 133, 62, 134, 138, 139sge0fodjrn 38373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  ->  (Σ^ `  ( y  e.  ( x  u.  { (/) } )  |->  ( M `  y ) ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( M `  ( e `
 n ) ) ) ) )
141125, 140eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  ->  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( M `  ( e `
 n ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x ) ) )
142141adantllr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  ->  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( M `  ( e `
 n ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x ) ) )
14345, 65, 1423eqtrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  ->  ( M `  U. x )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x
) ) )
14440, 41, 42, 143syl21anc 1291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  (
e : NN -onto-> (
x  u.  { (/) } )  /\ Disj  n  e.  NN  ( e `  n
) ) )  -> 
( M `  U. x )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x ) ) )
145144ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  (
( e : NN -onto->
( x  u.  { (/)
} )  /\ Disj  n  e.  NN  ( e `  n ) )  -> 
( M `  U. x )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x ) ) ) )
146145exlimdv 1787 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( E. e ( e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } )  /\ Disj  n  e.  NN  ( e `
 n ) )  ->  ( M `  U. x )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x ) ) ) )
14730, 39, 146sylc 61 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  -.  x  =  (/) )  -> 
( M `  U. x )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x ) ) )
14827, 147pm2.61dan 808 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  ( M `  U. x )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x
) ) )
149148ex 441 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  -> 
( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x
) ) ) )
150149ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ~P  dom  M ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x
) ) ) )
1518, 9, 150jca31 543 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( M : dom  M --> ( 0 [,] +oo )  /\  dom  M  e. SAlg )  /\  ( M `  (/) )  =  0 )  /\  A. x  e.  ~P  dom  M
( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x
) ) ) ) )
152 ismea 38405 . 2  |-  ( M  e. Meas 
<->  ( ( ( M : dom  M --> ( 0 [,] +oo )  /\  dom  M  e. SAlg )  /\  ( M `  (/) )  =  0 )  /\  A. x  e.  ~P  dom  M
( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x
) ) ) ) )
153151, 152sylibr 217 1  |-  ( ph  ->  M  e. Meas )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190   U_ciun 4269  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839    |` cres 4841   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   omcom 6711    ~<_ cdom 7585   0cc0 9557   +oocpnf 9690   NNcn 10631   +ecxad 11430   [,]cicc 11663  SAlgcsalg 38281  Σ^csumge0 38318  Meascmea 38403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-salg 38282  df-sumge0 38319  df-mea 38404
This theorem is referenced by:  volmea  38428  caratheodory  38468
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