Theorem ismeannd 38421

Description: Sufficient condition to prove that M is a measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismeannd.sal	|- ( ph -> S e. SAlg )
ismeannd.mf	|- ( ph -> M : S --> ( 0 [,] +oo ) )
ismeannd.m0	|- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )
ismeannd.iun	|- ( ( ph /\ e : NN --> S /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> ( M ` U_ n e. NN ( e ` n ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( M ` ( e ` n ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ismeannd	|- ( ph -> M e. Meas )

Distinct variable groups:   e, M, n   ph, e, n

Allowed substitution hints:   S( e, n)

Proof of Theorem ismeannd

Dummy variables x y w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismeannd.mf	. . . . 5 |- ( ph -> M : S --> ( 0 [,] +oo ) )
2		fdm 5745	. . . . . . 7 |- ( M : S --> ( 0 [,] +oo ) -> dom M = S )
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> dom M = S )
4	3	feq2d 5725	. . . . 5 |- ( ph -> ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) <-> M : S --> ( 0 [,] +oo ) ) )
5	1, 4	mpbird 240	. . . 4 |- ( ph -> M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) )
6		ismeannd.sal	. . . . 5 |- ( ph -> S e. SAlg )
7	3, 6	eqeltrd 2549	. . . 4 |- ( ph -> dom M e. SAlg )
8	5, 7	jca 541	. . 3 |- ( ph -> ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom M e. SAlg ) )
9		ismeannd.m0	. . 3 |- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )
10		unieq 4198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> U. x = U. (/) )
11		uni0 4217	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. (/) = (/)
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> U. (/) = (/) )
13	10, 12	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> U. x = (/) )
14	13	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( M ` U. x ) = ( M ` (/) ) )
15	14, 9	sylan9eqr 2527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x = (/) ) -> ( M ` U. x ) = 0 )
16		reseq2 5106	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> ( M |` x ) = ( M |` (/) ) )
17		res0 5115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M |` (/) ) = (/)
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> ( M |` (/) ) = (/) )
19	16, 18	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> ( M |` x ) = (/) )
20	19	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> (Σ^ ` ( M |` x ) ) = (Σ^ ` (/) ) )
21	20	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x = (/) ) -> (Σ^ ` ( M |` x ) ) = (Σ^ ` (/) ) )
22		sge00 38332	. . . . . . . . . . 11 |- (Σ^ ` (/) ) = 0
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x = (/) ) -> (Σ^ ` (/) ) = 0 )
24	21, 23	eqtrd 2505	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x = (/) ) -> (Σ^ ` ( M |` x ) ) = 0 )
25	15, 24	eqtr4d 2508	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = (/) ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
26	25	adantlr 729	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ x = (/) ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
27	26	adantlr 729	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ x = (/) ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
28		simpll 768	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ -. x = (/) ) -> ( ph /\ x e. ~P dom M ) )
29		simplrr 779	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ -. x = (/) ) -> Disj y e. x y )
30	28, 29	jca 541	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ -. x = (/) ) -> ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) )
31		simplrl 778	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ -. x = (/) ) -> x ~<_ om )
32		neqne 2651	. . . . . . . . 9 |- ( -. x = (/) -> x =/= (/) )
33	32	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ -. x = (/) ) -> x =/= (/) )
34		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> y = w )
35	34	cbvdisjv 4377	. . . . . . . . . . 11 |- (Disj y e. x y <-> Disj w e. x w )
36	35	biimpi 199	. . . . . . . . . 10 |- (Disj y e. x y -> Disj w e. x w )
37	36	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> Disj w e. x w )
38	37	ad2antlr 741	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ -. x = (/) ) -> Disj w e. x w )
39	31, 33, 38	nnfoctbdj 38410	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ -. x = (/) ) -> E. e ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) )
40		simpl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) /\ ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) ) -> ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) )
41		simprl 772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) /\ ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) ) -> e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) )
42		simprr 774	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) /\ ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) ) -> Disj n e. NN ( e ` n ) )
43		founiiun0 37536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) -> U. x = U_ n e. NN ( e ` n ) )
44	43	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) -> ( M ` U. x ) = ( M ` U_ n e. NN ( e ` n ) ) )
45	44	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> ( M ` U. x ) = ( M ` U_ n e. NN ( e ` n ) ) )
46		simplll 776	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> ph )
47		fof 5806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) -> e : NN --> ( x u. { (/) } ) )
48	47	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) -> e : NN --> ( x u. { (/) } ) )
49		elpwi 3951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ~P dom M -> x C_ dom M )
50	49	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> x C_ dom M )
51	3	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> dom M = S )
52	50, 51	sseqtrd 3454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> x C_ S )
53		0sal 38293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( S e. SAlg -> (/) e. S )
54	6, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> (/) e. S )
55		snssi 4107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( (/) e. S -> { (/) } C_ S )
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> { (/) } C_ S )
57	56	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> { (/) } C_ S )
58	52, 57	unssd 3601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> ( x u. { (/) } ) C_ S )
59	58	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) -> ( x u. { (/) } ) C_ S )
60	48, 59	fssd 5750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) -> e : NN --> S )
61	60	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> e : NN --> S )
62		simpr 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> Disj n e. NN ( e ` n ) )
63		ismeannd.iun	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ e : NN --> S /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> ( M ` U_ n e. NN ( e ` n ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( M ` ( e ` n ) ) ) ) )
64	46, 61, 62, 63	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> ( M ` U_ n e. NN ( e ` n ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( M ` ( e ` n ) ) ) ) )
65	64	adantllr 733	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> ( M ` U_ n e. NN ( e ` n ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( M ` ( e ` n ) ) ) ) )
66	1	feqmptd 5932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> M = ( y e. S |-> ( M ` y ) ) )
67	66	reseq1d 5110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( M |` x ) = ( ( y e. S |-> ( M ` y ) ) |` x ) )
68	67	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> ( M |` x ) = ( ( y e. S |-> ( M ` y ) ) |` x ) )
69	68	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ (/) e. x ) -> ( M |` x ) = ( ( y e. S |-> ( M ` y ) ) |` x ) )
70	52	resmptd 5162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> ( ( y e. S |-> ( M ` y ) ) |` x ) = ( y e. x |-> ( M ` y ) ) )
71	70	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ (/) e. x ) -> ( ( y e. S |-> ( M ` y ) ) |` x ) = ( y e. x |-> ( M ` y ) ) )
72		snssi 4107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( (/) e. x -> { (/) } C_ x )
73		ssequn2 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( { (/) } C_ x <-> ( x u. { (/) } ) = x )
74	72, 73	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( (/) e. x -> ( x u. { (/) } ) = x )
75	74	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( (/) e. x -> x = ( x u. { (/) } ) )
76	75	mpteq1d 4477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( (/) e. x -> ( y e. x |-> ( M ` y ) ) = ( y e. ( x u. { (/) } ) |-> ( M ` y ) ) )
77	76	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ (/) e. x ) -> ( y e. x |-> ( M ` y ) ) = ( y e. ( x u. { (/) } ) |-> ( M ` y ) ) )
78	69, 71, 77	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ (/) e. x ) -> ( M |` x ) = ( y e. ( x u. { (/) } ) |-> ( M ` y ) ) )
79	78	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ (/) e. x ) -> (Σ^ ` ( M |` x ) ) = (Σ^ ` ( y e. ( x u. { (/) } ) |-> ( M ` y ) ) ) )
80		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ y ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x )
81		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x ) -> x e. ~P dom M )
82		p0ex 4588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { (/) } e. _V
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x ) -> { (/) } e. _V )
84		disjsn 4023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x i^i { (/) } ) = (/) <-> -. (/) e. x )
85	84	biimpri 211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. (/) e. x -> ( x i^i { (/) } ) = (/) )
86	85	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x ) -> ( x i^i { (/) } ) = (/) )
87	1	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ y e. x ) -> M : S --> ( 0 [,] +oo ) )
88	52	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ y e. x ) -> y e. S )
89	87, 88	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ y e. x ) -> ( M ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
90	89	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x ) /\ y e. x ) -> ( M ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
91		elsni 3985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. { (/) } -> y = (/) )
92	91	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. { (/) } -> ( M ` y ) = ( M ` (/) ) )
93	92	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. { (/) } ) -> ( M ` y ) = ( M ` (/) ) )
94	1, 54	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( M ` (/) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
95	94	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. { (/) } ) -> ( M ` (/) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
96	93, 95	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. { (/) } ) -> ( M ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
97	96	ad4ant14 1259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x ) /\ y e. { (/) } ) -> ( M ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
98	80, 81, 83, 86, 90, 97	sge0splitmpt 38367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x ) -> (Σ^ ` ( y e. ( x u. { (/) } ) |-> ( M ` y ) ) ) = ( (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) +e (Σ^ ` ( y e. { (/) } |-> ( M ` y ) ) ) ) )
99		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y = (/) -> ( M ` y ) = ( M ` (/) ) )
100	99	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( M ` y ) = ( M ` (/) ) )
101	9	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( M ` (/) ) = 0 )
102	100, 101	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( M ` y ) = 0 )
103	91, 102	sylan2 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ y e. { (/) } ) -> ( M ` y ) = 0 )
104	103	mpteq2dva 4482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( y e. { (/) } |-> ( M ` y ) ) = ( y e. { (/) } |-> 0 ) )
105	104	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> (Σ^ ` ( y e. { (/) } |-> ( M ` y ) ) ) = (Σ^ ` ( y e. { (/) } |-> 0 ) ) )
106		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ y ph
107	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> { (/) } e. _V )
108	106, 107	sge0z 38331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> (Σ^ ` ( y e. { (/) } |-> 0 ) ) = 0 )
109	105, 108	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> (Σ^ ` ( y e. { (/) } |-> ( M ` y ) ) ) = 0 )
110	109	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) +e (Σ^ ` ( y e. { (/) } |-> ( M ` y ) ) ) ) = ( (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) +e 0 ) )
111	110	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x ) -> ( (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) +e (Σ^ ` ( y e. { (/) } |-> ( M ` y ) ) ) ) = ( (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) +e 0 ) )
112		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> x e. ~P dom M )
113	68, 70	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> ( M |` x ) = ( y e. x |-> ( M ` y ) ) )
114	1	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> M : S --> ( 0 [,] +oo ) )
115	114, 52	fssresd 5762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> ( M |` x ) : x --> ( 0 [,] +oo ) )
116	113, 115	feq1dd 37503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> ( y e. x |-> ( M ` y ) ) : x --> ( 0 [,] +oo ) )
117	112, 116	sge0xrcl 38341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) e. RR* )
118	117	xaddid1d 11558	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> ( (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) +e 0 ) = (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) )
119	113	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> (Σ^ ` ( M |` x ) ) = (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) )
120	119	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
121	118, 120	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> ( (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) +e 0 ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
122	121	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x ) -> ( (Σ^ ` ( y e. x |-> ( M ` y ) ) ) +e 0 ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
123	98, 111, 122	3eqtrrd 2510	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ -. (/) e. x ) -> (Σ^ ` ( M |` x ) ) = (Σ^ ` ( y e. ( x u. { (/) } ) |-> ( M ` y ) ) ) )
124	79, 123	pm2.61dan 808	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> (Σ^ ` ( M |` x ) ) = (Σ^ ` ( y e. ( x u. { (/) } ) |-> ( M ` y ) ) ) )
125	124	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> (Σ^ ` ( M |` x ) ) = (Σ^ ` ( y e. ( x u. { (/) } ) |-> ( M ` y ) ) ) )
126		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) )
127		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) )
128		nfdisj1 4379	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ nDisj n e. NN ( e ` n )
129	127, 128	nfan 2031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) )
130		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( e ` n ) -> ( M ` y ) = ( M ` ( e ` n ) ) )
131		nnex 10637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN e. _V
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> NN e. _V )
133		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) )
134		eqidd 2472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) /\ n e. NN ) -> ( e ` n ) = ( e ` n ) )
135	1	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ y e. ( x u. { (/) } ) ) -> M : S --> ( 0 [,] +oo ) )
136	58	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ y e. ( x u. { (/) } ) ) -> y e. S )
137	135, 136	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ y e. ( x u. { (/) } ) ) -> ( M ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
138	137	ad4ant14 1259	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) /\ y e. ( x u. { (/) } ) ) -> ( M ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
139	46, 102	sylan 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) /\ y = (/) ) -> ( M ` y ) = 0 )
140	126, 129, 130, 132, 133, 62, 134, 138, 139	sge0fodjrn 38373	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> (Σ^ ` ( y e. ( x u. { (/) } ) |-> ( M ` y ) ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( M ` ( e ` n ) ) ) ) )
141	125, 140	eqtr2d 2506	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( M ` ( e ` n ) ) ) ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
142	141	adantllr 733	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( M ` ( e ` n ) ) ) ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
143	45, 65, 142	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) /\ e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
144	40, 41, 42, 143	syl21anc 1291	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) /\ ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
145	144	ex 441	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) -> ( ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) )
146	145	exlimdv 1787	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ Disj y e. x y ) -> ( E. e ( e : NN -onto-> ( x u. { (/) } ) /\ Disj n e. NN ( e ` n ) ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) )
147	30, 39, 146	sylc 61	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) /\ -. x = (/) ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
148	27, 147	pm2.61dan 808	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) /\ ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) )
149	148	ex 441	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ~P dom M ) -> ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) )
150	149	ralrimiva 2809	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) )
151	8, 9, 150	jca31 543	. 2 |- ( ph -> ( ( ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom M e. SAlg ) /\ ( M ` (/) ) = 0 ) /\ A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) ) )
152		ismea 38405	. 2 |- ( M e. Meas <-> ( ( ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom M e. SAlg ) /\ ( M ` (/) ) = 0 ) /\ A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = (Σ^ ` ( M |` x ) ) ) ) )
153	151, 152	sylibr 217	1 |- ( ph -> M e. Meas )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190   U_ciun 4269  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   |` cres 4841   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   omcom 6711   ~<_ cdom 7585   0cc0 9557   +oocpnf 9690   NNcn 10631   +ecxad 11430   [,]cicc 11663  SAlgcsalg 38281  Σ^{^}csumge0 38318  Meascmea 38403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-salg 38282  df-sumge0 38319  df-mea 38404

This theorem is referenced by:  volmea  38428  caratheodory  38468