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Theorem ismeannd 38299
Description: Sufficient condition to prove that  M is a measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ismeannd.sal  |-  ( ph  ->  S  e. SAlg )
ismeannd.mf  |-  ( ph  ->  M : S --> ( 0 [,] +oo ) )
ismeannd.m0  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
ismeannd.iun  |-  ( (
ph  /\  e : NN
--> S  /\ Disj  n  e.  NN  ( e `  n
) )  ->  ( M `  U_ n  e.  NN  ( e `  n ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( M `  ( e `
 n ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ismeannd  |-  ( ph  ->  M  e. Meas )
Distinct variable groups:    e, M, n    ph, e, n
Allowed substitution hints:    S( e, n)

Proof of Theorem ismeannd
Dummy variables  x  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismeannd.mf . . . . 5  |-  ( ph  ->  M : S --> ( 0 [,] +oo ) )
2 fdm 5731 . . . . . . 7  |-  ( M : S --> ( 0 [,] +oo )  ->  dom  M  =  S )
31, 2syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  M  =  S )
43feq2d 5713 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M : dom  M --> ( 0 [,] +oo ) 
<->  M : S --> ( 0 [,] +oo ) ) )
51, 4mpbird 236 . . . 4  |-  ( ph  ->  M : dom  M --> ( 0 [,] +oo ) )
6 ismeannd.sal . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e. SAlg )
73, 6eqeltrd 2528 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  M  e. SAlg )
85, 7jca 535 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M : dom  M --> ( 0 [,] +oo )  /\  dom  M  e. SAlg
) )
9 ismeannd.m0 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
10 unieq 4205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  U. x  =  U. (/) )
11 uni0 4224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. (/)  =  (/)
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  U. (/)  =  (/) )
1310, 12eqtrd 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  U. x  =  (/) )
1413fveq2d 5867 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( M `
 U. x )  =  ( M `  (/) ) )
1514, 9sylan9eqr 2506 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  =  (/) )  ->  ( M `  U. x )  =  0 )
16 reseq2 5099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  ( M  |`  x )  =  ( M  |`  (/) ) )
17 res0 5108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  |`  (/) )  =  (/)
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  ( M  |`  (/) )  =  (/) )
1916, 18eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( M  |`  x )  =  (/) )
2019fveq2d 5867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  (Σ^ `  ( M  |`  x
) )  =  (Σ^ `  (/) ) )
2120adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  =  (/) )  ->  (Σ^ `  ( M  |`  x
) )  =  (Σ^ `  (/) ) )
22 sge00 38212 . . . . . . . . . . 11  |-  (Σ^ `  (/) )  =  0
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  =  (/) )  ->  (Σ^ `  (/) )  =  0
)
2421, 23eqtrd 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  =  (/) )  ->  (Σ^ `  ( M  |`  x
) )  =  0 )
2515, 24eqtr4d 2487 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  =  (/) )  ->  ( M `  U. x )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x
) ) )
2625adantlr 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  x  =  (/) )  ->  ( M `  U. x )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x ) ) )
2726adantlr 720 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  =  (/) )  -> 
( M `  U. x )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x ) ) )
28 simpll 759 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  -.  x  =  (/) )  -> 
( ph  /\  x  e.  ~P dom  M ) )
29 simplrr 770 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  -.  x  =  (/) )  -> Disj  y  e.  x  y )
3028, 29jca 535 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  -.  x  =  (/) )  -> 
( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\ Disj  y  e.  x  y ) )
31 simplrl 769 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  -.  x  =  (/) )  ->  x  ~<_  om )
32 neqne 37368 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  =  (/)  ->  x  =/=  (/) )
3332adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  -.  x  =  (/) )  ->  x  =/=  (/) )
34 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  y  =  w )
3534cbvdisjv 4383 . . . . . . . . . . 11  |-  (Disj  y  e.  x  y  <-> Disj  w  e.  x  w )
3635biimpi 198 . . . . . . . . . 10  |-  (Disj  y  e.  x  y  -> Disj  w  e.  x  w )
3736adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> Disj  w  e.  x  w )
3837ad2antlr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  -.  x  =  (/) )  -> Disj  w  e.  x  w )
3931, 33, 38nnfoctbdj 38288 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  -.  x  =  (/) )  ->  E. e ( e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } )  /\ Disj  n  e.  NN  ( e `
 n ) ) )
40 simpl 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  (
e : NN -onto-> (
x  u.  { (/) } )  /\ Disj  n  e.  NN  ( e `  n
) ) )  -> 
( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\ Disj  y  e.  x  y ) )
41 simprl 763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  (
e : NN -onto-> (
x  u.  { (/) } )  /\ Disj  n  e.  NN  ( e `  n
) ) )  -> 
e : NN -onto-> (
x  u.  { (/) } ) )
42 simprr 765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  (
e : NN -onto-> (
x  u.  { (/) } )  /\ Disj  n  e.  NN  ( e `  n
) ) )  -> Disj  n  e.  NN  ( e `
 n ) )
43 founiiun0 37459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e : NN -onto-> ( x  u.  { (/) } )  ->  U. x  =  U_ n  e.  NN  (
e `  n )
)
4443fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e : NN -onto-> ( x  u.  { (/) } )  ->  ( M `  U. x )  =  ( M `  U_ n  e.  NN  ( e `  n ) ) )
4544ad2antlr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  ->  ( M `  U. x )  =  ( M `  U_ n  e.  NN  ( e `  n ) ) )
46 simplll 767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  ->  ph )
47 fof 5791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( e : NN -onto-> ( x  u.  { (/) } )  ->  e : NN --> ( x  u.  { (/) } ) )
4847adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto->
( x  u.  { (/)
} ) )  -> 
e : NN --> ( x  u.  { (/) } ) )
49 elpwi 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ~P dom  M  ->  x  C_  dom  M )
5049adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  ->  x  C_  dom  M )
513adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  ->  dom  M  =  S )
5250, 51sseqtrd 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  ->  x  C_  S )
53 0sal 38175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( S  e. SAlg  ->  (/)  e.  S )
546, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  S )
55 snssi 4115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (/)  e.  S  ->  { (/) } 
C_  S )
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  { (/) }  C_  S
)
5756adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  ->  { (/) }  C_  S
)
5852, 57unssd 3609 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  -> 
( x  u.  { (/)
} )  C_  S
)
5958adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto->
( x  u.  { (/)
} ) )  -> 
( x  u.  { (/)
} )  C_  S
)
6048, 59fssd 5736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto->
( x  u.  { (/)
} ) )  -> 
e : NN --> S )
6160adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  ->  e : NN
--> S )
62 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  -> Disj  n  e.  NN  ( e `  n
) )
63 ismeannd.iun . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  e : NN
--> S  /\ Disj  n  e.  NN  ( e `  n
) )  ->  ( M `  U_ n  e.  NN  ( e `  n ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( M `  ( e `
 n ) ) ) ) )
6446, 61, 62, 63syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  ->  ( M `  U_ n  e.  NN  ( e `  n
) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  NN  |->  ( M `  ( e `
 n ) ) ) ) )
6564adantllr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  ->  ( M `  U_ n  e.  NN  ( e `  n
) )  =  (Σ^ `  (
n  e.  NN  |->  ( M `  ( e `
 n ) ) ) ) )
661feqmptd 5916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  M  =  ( y  e.  S  |->  ( M `
 y ) ) )
6766reseq1d 5103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( M  |`  x
)  =  ( ( y  e.  S  |->  ( M `  y ) )  |`  x )
)
6867adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  -> 
( M  |`  x
)  =  ( ( y  e.  S  |->  ( M `  y ) )  |`  x )
)
6968adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  (/)  e.  x )  ->  ( M  |`  x )  =  ( ( y  e.  S  |->  ( M `  y
) )  |`  x
) )
7052resmptd 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  -> 
( ( y  e.  S  |->  ( M `  y ) )  |`  x )  =  ( y  e.  x  |->  ( M `  y ) ) )
7170adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  (/)  e.  x )  ->  ( ( y  e.  S  |->  ( M `
 y ) )  |`  x )  =  ( y  e.  x  |->  ( M `  y ) ) )
72 snssi 4115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (/)  e.  x  ->  { (/) } 
C_  x )
73 ssequn2 3606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( {
(/) }  C_  x  <->  ( x  u.  { (/) } )  =  x )
7472, 73sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (/)  e.  x  ->  ( x  u.  { (/) } )  =  x )
7574eqcomd 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (/)  e.  x  ->  x  =  ( x  u.  { (/)
} ) )
7675mpteq1d 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (/)  e.  x  ->  ( y  e.  x  |->  ( M `
 y ) )  =  ( y  e.  ( x  u.  { (/)
} )  |->  ( M `
 y ) ) )
7776adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  (/)  e.  x )  ->  ( y  e.  x  |->  ( M `  y ) )  =  ( y  e.  ( x  u.  { (/) } )  |->  ( M `  y ) ) )
7869, 71, 773eqtrd 2488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  (/)  e.  x )  ->  ( M  |`  x )  =  ( y  e.  ( x  u.  { (/) } ) 
|->  ( M `  y
) ) )
7978fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  (/)  e.  x )  ->  (Σ^ `  ( M  |`  x
) )  =  (Σ^ `  (
y  e.  ( x  u.  { (/) } ) 
|->  ( M `  y
) ) ) )
80 nfv 1760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  -.  (/)  e.  x
)
81 simplr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  -.  (/)  e.  x
)  ->  x  e.  ~P dom  M )
82 p0ex 4589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { (/) }  e.  _V
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  -.  (/)  e.  x
)  ->  { (/) }  e.  _V )
84 disjsn 4031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  -.  (/)  e.  x
)
8584biimpri 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  (/)  e.  x  ->  (
x  i^i  { (/) } )  =  (/) )
8685adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  -.  (/)  e.  x
)  ->  ( x  i^i  { (/) } )  =  (/) )
871ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  y  e.  x
)  ->  M : S
--> ( 0 [,] +oo ) )
8852sselda 3431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  S )
8987, 88ffvelrnd 6021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  y  e.  x
)  ->  ( M `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
9089adantlr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  -.  (/)  e.  x
)  /\  y  e.  x )  ->  ( M `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
91 elsni 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  { (/) }  ->  y  =  (/) )
9291fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  { (/) }  ->  ( M `  y )  =  ( M `  (/) ) )
9392adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  {
(/) } )  ->  ( M `  y )  =  ( M `  (/) ) )
941, 54ffvelrnd 6021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9594adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  {
(/) } )  ->  ( M `  (/) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9693, 95eqeltrd 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  {
(/) } )  ->  ( M `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9796ad4ant14 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  -.  (/)  e.  x
)  /\  y  e.  {
(/) } )  ->  ( M `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9880, 81, 83, 86, 90, 97sge0splitmpt 38247 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  -.  (/)  e.  x
)  ->  (Σ^ `  ( y  e.  ( x  u.  { (/) } )  |->  ( M `  y ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( y  e.  x  |->  ( M `  y
) ) ) +e (Σ^ `  ( y  e.  { (/)
}  |->  ( M `  y ) ) ) ) )
99 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  (/)  ->  ( M `
 y )  =  ( M `  (/) ) )
10099adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( M `  y )  =  ( M `  (/) ) )
1019adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
102100, 101eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( M `  y )  =  0 )
10391, 102sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  y  e.  {
(/) } )  ->  ( M `  y )  =  0 )
104103mpteq2dva 4488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( y  e.  { (/)
}  |->  ( M `  y ) )  =  ( y  e.  { (/)
}  |->  0 ) )
105104fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( y  e.  { (/)
}  |->  ( M `  y ) ) )  =  (Σ^ `  ( y  e.  { (/)
}  |->  0 ) ) )
106 nfv 1760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ y
ph
10782a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  { (/) }  e.  _V )
108106, 107sge0z 38211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( y  e.  { (/)
}  |->  0 ) )  =  0 )
109105, 108eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( y  e.  { (/)
}  |->  ( M `  y ) ) )  =  0 )
110109oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( y  e.  x  |->  ( M `  y
) ) ) +e (Σ^ `  ( y  e.  { (/)
}  |->  ( M `  y ) ) ) )  =  ( (Σ^ `  (
y  e.  x  |->  ( M `  y ) ) ) +e 0 ) )
111110ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  -.  (/)  e.  x
)  ->  ( (Σ^ `  (
y  e.  x  |->  ( M `  y ) ) ) +e
(Σ^ `  ( y  e.  { (/)
}  |->  ( M `  y ) ) ) )  =  ( (Σ^ `  (
y  e.  x  |->  ( M `  y ) ) ) +e 0 ) )
112 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  ->  x  e.  ~P dom  M )
11368, 70eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  -> 
( M  |`  x
)  =  ( y  e.  x  |->  ( M `
 y ) ) )
1141adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  ->  M : S --> ( 0 [,] +oo ) )
115114, 52fssresd 5748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  -> 
( M  |`  x
) : x --> ( 0 [,] +oo ) )
116113, 115feq1dd 37424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  -> 
( y  e.  x  |->  ( M `  y
) ) : x --> ( 0 [,] +oo ) )
117112, 116sge0xrcl 38221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  -> 
(Σ^ `  ( y  e.  x  |->  ( M `  y
) ) )  e. 
RR* )
118117xaddid1d 37537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  -> 
( (Σ^ `  ( y  e.  x  |->  ( M `  y
) ) ) +e 0 )  =  (Σ^ `  ( y  e.  x  |->  ( M `  y
) ) ) )
119113fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  -> 
(Σ^ `  ( M  |`  x
) )  =  (Σ^ `  (
y  e.  x  |->  ( M `  y ) ) ) )
120119eqcomd 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  -> 
(Σ^ `  ( y  e.  x  |->  ( M `  y
) ) )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x
) ) )
121118, 120eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  -> 
( (Σ^ `  ( y  e.  x  |->  ( M `  y
) ) ) +e 0 )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x
) ) )
122121adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  -.  (/)  e.  x
)  ->  ( (Σ^ `  (
y  e.  x  |->  ( M `  y ) ) ) +e 0 )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x ) ) )
12398, 111, 1223eqtrrd 2489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  -.  (/)  e.  x
)  ->  (Σ^ `  ( M  |`  x
) )  =  (Σ^ `  (
y  e.  ( x  u.  { (/) } ) 
|->  ( M `  y
) ) ) )
12479, 123pm2.61dan 799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  -> 
(Σ^ `  ( M  |`  x
) )  =  (Σ^ `  (
y  e.  ( x  u.  { (/) } ) 
|->  ( M `  y
) ) ) )
125124ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  ->  (Σ^ `  ( M  |`  x
) )  =  (Σ^ `  (
y  e.  ( x  u.  { (/) } ) 
|->  ( M `  y
) ) ) )
126 nfv 1760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)
127 nfv 1760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ n
( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )
128 nfdisj1 4385 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ nDisj  n  e.  NN  ( e `
 n )
129127, 128nfan 2010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n
( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)
130 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( e `  n )  ->  ( M `  y )  =  ( M `  ( e `  n
) ) )
131 nnex 10612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  e.  _V
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  ->  NN  e.  _V )
133 simplr 761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  ->  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )
134 eqidd 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( e `
 n )  =  ( e `  n
) )
1351ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  y  e.  ( x  u.  { (/) } ) )  ->  M : S --> ( 0 [,] +oo ) )
13658sselda 3431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  y  e.  ( x  u.  { (/) } ) )  ->  y  e.  S )
137135, 136ffvelrnd 6021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  y  e.  ( x  u.  { (/) } ) )  ->  ( M `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
138137ad4ant14 1234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  /\  y  e.  ( x  u.  { (/) } ) )  ->  ( M `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
13946, 102sylan 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  /\  y  =  (/) )  ->  ( M `  y )  =  0 )
140126, 129, 130, 132, 133, 62, 134, 138, 139sge0fodjrn 38253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  ->  (Σ^ `  ( y  e.  ( x  u.  { (/) } )  |->  ( M `  y ) ) )  =  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( M `  ( e `
 n ) ) ) ) )
141125, 140eqtr2d 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  ->  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( M `  ( e `
 n ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x ) ) )
142141adantllr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  ->  (Σ^ `  ( n  e.  NN  |->  ( M `  ( e `
 n ) ) ) )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x ) ) )
14345, 65, 1423eqtrd 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } ) )  /\ Disj  n  e.  NN  (
e `  n )
)  ->  ( M `  U. x )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x
) ) )
14440, 41, 42, 143syl21anc 1266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\ Disj  y  e.  x  y )  /\  (
e : NN -onto-> (
x  u.  { (/) } )  /\ Disj  n  e.  NN  ( e `  n
) ) )  -> 
( M `  U. x )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x ) ) )
145144ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  (
( e : NN -onto->
( x  u.  { (/)
} )  /\ Disj  n  e.  NN  ( e `  n ) )  -> 
( M `  U. x )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x ) ) ) )
146145exlimdv 1778 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( E. e ( e : NN -onto-> ( x  u. 
{ (/) } )  /\ Disj  n  e.  NN  ( e `
 n ) )  ->  ( M `  U. x )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x ) ) ) )
14730, 39, 146sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  -.  x  =  (/) )  -> 
( M `  U. x )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x ) ) )
14827, 147pm2.61dan 799 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  /\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  ( M `  U. x )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x
) ) )
149148ex 436 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ~P dom  M )  -> 
( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x
) ) ) )
150149ralrimiva 2801 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ~P  dom  M ( ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x
) ) ) )
1518, 9, 150jca31 537 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( M : dom  M --> ( 0 [,] +oo )  /\  dom  M  e. SAlg )  /\  ( M `  (/) )  =  0 )  /\  A. x  e.  ~P  dom  M
( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x
) ) ) ) )
152 ismea 38283 . 2  |-  ( M  e. Meas 
<->  ( ( ( M : dom  M --> ( 0 [,] +oo )  /\  dom  M  e. SAlg )  /\  ( M `  (/) )  =  0 )  /\  A. x  e.  ~P  dom  M
( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( M `  U. x )  =  (Σ^ `  ( M  |`  x
) ) ) ) )
153151, 152sylibr 216 1  |-  ( ph  ->  M  e. Meas )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443   E.wex 1662    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   _Vcvv 3044    u. cun 3401    i^i cin 3402    C_ wss 3403   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   {csn 3967   U.cuni 4197   U_ciun 4277  Disj wdisj 4372   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   dom cdm 4833    |` cres 4835   -->wf 5577   -onto->wfo 5579   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   omcom 6689    ~<_ cdom 7564   0cc0 9536   +oocpnf 9669   NNcn 10606   +ecxad 11404   [,]cicc 11635  SAlgcsalg 38163  Σ^csumge0 38198  Meascmea 38281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-disj 4373  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-xadd 11407  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-sum 13746  df-salg 38164  df-sumge0 38199  df-mea 38282
This theorem is referenced by:  caratheodory  38343
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