Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | ismeannd.mf |
. . . . 5
          |
2 | | fdm 5731 |
. . . . . . 7
          |
3 | 1, 2 | syl 17 |
. . . . . 6
   |
4 | 3 | feq2d 5713 |
. . . . 5
                   |
5 | 1, 4 | mpbird 236 |
. . . 4
          |
6 | | ismeannd.sal |
. . . . 5
 SAlg |
7 | 3, 6 | eqeltrd 2528 |
. . . 4
 SAlg |
8 | 5, 7 | jca 535 |
. . 3
         SAlg  |
9 | | ismeannd.m0 |
. . 3
       |
10 | | unieq 4205 |
. . . . . . . . . . . 12

    |
11 | | uni0 4224 |
. . . . . . . . . . . . 13
  |
12 | 11 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12

   |
13 | 10, 12 | eqtrd 2484 |
. . . . . . . . . . 11

   |
14 | 13 | fveq2d 5867 |
. . . . . . . . . 10

           |
15 | 14, 9 | sylan9eqr 2506 |
. . . . . . . . 9
 

       |
16 | | reseq2 5099 |
. . . . . . . . . . . . 13

  
   |
17 | | res0 5108 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   |
18 | 17 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13

    |
19 | 16, 18 | eqtrd 2484 |
. . . . . . . . . . . 12

    |
20 | 19 | fveq2d 5867 |
. . . . . . . . . . 11

Σ^    Σ^    |
21 | 20 | adantl 468 |
. . . . . . . . . 10
 

Σ^    Σ^    |
22 | | sge00 38212 |
. . . . . . . . . . 11
Σ^ 
 |
23 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
 

Σ^ 
  |
24 | 21, 23 | eqtrd 2484 |
. . . . . . . . 9
 

Σ^      |
25 | 15, 24 | eqtr4d 2487 |
. . . . . . . 8
 

     Σ^      |
26 | 25 | adantlr 720 |
. . . . . . 7
           Σ^      |
27 | 26 | adantlr 720 |
. . . . . 6
   
  
Disj  
      Σ^      |
28 | | simpll 759 |
. . . . . . . 8
   
  
Disj  
 
    |
29 | | simplrr 770 |
. . . . . . . 8
   
  
Disj  
 Disj   |
30 | 28, 29 | jca 535 |
. . . . . . 7
   
  
Disj  
  
 
Disj    |
31 | | simplrl 769 |
. . . . . . . 8
   
  
Disj  
   |
32 | | neqne 37368 |
. . . . . . . . 9
   |
33 | 32 | adantl 468 |
. . . . . . . 8
   
  
Disj  
   |
34 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . 12
   |
35 | 34 | cbvdisjv 4383 |
. . . . . . . . . . 11
Disj
Disj   |
36 | 35 | biimpi 198 |
. . . . . . . . . 10
Disj
Disj
  |
37 | 36 | adantl 468 |
. . . . . . . . 9
 
Disj  Disj   |
38 | 37 | ad2antlr 732 |
. . . . . . . 8
   
  
Disj  
 Disj   |
39 | 31, 33, 38 | nnfoctbdj 38288 |
. . . . . . 7
   
  
Disj  
            Disj        |
40 | | simpl 459 |
. . . . . . . . . 10
   
 
Disj          
Disj        
 
Disj    |
41 | | simprl 763 |
. . . . . . . . . 10
   
 
Disj          
Disj                 |
42 | | simprr 765 |
. . . . . . . . . 10
   
 
Disj          
Disj       Disj       |
43 | | founiiun0 37459 |
. . . . . . . . . . . . 13
          
      |
44 | 43 | fveq2d 5867 |
. . . . . . . . . . . 12
                         |
45 | 44 | ad2antlr 732 |
. . . . . . . . . . 11
      
Disj           Disj     
                |
46 | | simplll 767 |
. . . . . . . . . . . . 13
   
           Disj     
  |
47 | | fof 5791 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
             
     |
48 | 47 | adantl 468 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                        |
49 | | elpwi 3959 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
 
  |
50 | 49 | adantl 468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 
    |
51 | 3 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 
    |
52 | 50, 51 | sseqtrd 3467 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 
    |
53 | | 0sal 38175 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
 SAlg   |
54 | 6, 53 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

  |
55 | | snssi 4115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    |
56 | 54, 55 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
     |
57 | 56 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 
      |
58 | 52, 57 | unssd 3609 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 
        |
59 | 58 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                    |
60 | 48, 59 | fssd 5736 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                    |
61 | 60 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . 13
   
           Disj     
      |
62 | | simpr 463 |
. . . . . . . . . . . . 13
   
           Disj     
Disj       |
63 | | ismeannd.iun |
. . . . . . . . . . . . 13
 
   
Disj               Σ^              |
64 | 46, 61, 62, 63 | syl3anc 1267 |
. . . . . . . . . . . 12
   
           Disj     
         Σ^              |
65 | 64 | adantllr 724 |
. . . . . . . . . . 11
      
Disj           Disj     
         Σ^              |
66 | 1 | feqmptd 5916 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
         |
67 | 66 | reseq1d 5103 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
         
   |
68 | 67 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 
          
   |
69 | 68 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
                  |
70 | 52 | resmptd 5155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 
                  |
71 | 70 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
                      |
72 | | snssi 4115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    |
73 | | ssequn2 3606 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
  
      |
74 | 72, 73 | sylib 200 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

      |
75 | 74 | eqcomd 2456 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

      |
76 | 75 | mpteq1d 4483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18

                  |
77 | 76 | adantl 468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
                        |
78 | 69, 71, 77 | 3eqtrd 2488 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
                    |
79 | 78 | fveq2d 5867 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
      Σ^    Σ^              |
80 | | nfv 1760 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
   
    |
81 | | simplr 761 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
     
   |
82 | | p0ex 4589 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
   |
83 | 82 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
     
    |
84 | | disjsn 4031 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
    
  |
85 | 84 | biimpri 210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 
     |
86 | 85 | adantl 468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
     
      |
87 | 1 | ad2antrr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
     
         |
88 | 52 | sselda 3431 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
     
  |
89 | 87, 88 | ffvelrnd 6021 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
     
         |
90 | 89 | adantlr 720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
   
  
          |
91 | | elsni 3992 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
     |
92 | 91 | fveq2d 5867 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
             |
93 | 92 | adantl 468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
 
             |
94 | 1, 54 | ffvelrnd 6021 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
          |
95 | 94 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
 
            |
96 | 93, 95 | eqeltrd 2528 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 
            |
97 | 96 | ad4ant14 1234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
   
  
            |
98 | 80, 81, 83, 86, 90, 97 | sge0splitmpt 38247 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
     
Σ^             Σ^           Σ^             |
99 | | fveq2 5863 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

          |
100 | 99 | adantl 468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
 

          |
101 | 9 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
 

      |
102 | 100, 101 | eqtrd 2484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
 

      |
103 | 91, 102 | sylan2 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
 
         |
104 | 103 | mpteq2dva 4488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
               |
105 | 104 | fveq2d 5867 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
 Σ^          Σ^        |
106 | | nfv 1760 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
   |
107 | 82 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
     |
108 | 106, 107 | sge0z 38211 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
 Σ^        |
109 | 105, 108 | eqtrd 2484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 Σ^            |
110 | 109 | oveq2d 6304 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
  Σ^           Σ^            Σ^              |
111 | 110 | ad2antrr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
     
 Σ^           Σ^            Σ^              |
112 | | simpr 463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
 
 
   |
113 | 68, 70 | eqtrd 2484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
 
            |
114 | 1 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
 
           |
115 | 114, 52 | fssresd 5748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
 
             |
116 | 113, 115 | feq1dd 37424 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
 
                 |
117 | 112, 116 | sge0xrcl 38221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
 
  Σ^          |
118 | 117 | xaddid1d 37537 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 
   Σ^            Σ^          |
119 | 113 | fveq2d 5867 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
 
  Σ^    Σ^          |
120 | 119 | eqcomd 2456 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 
  Σ^        Σ^      |
121 | 118, 120 | eqtrd 2484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 
   Σ^            Σ^      |
122 | 121 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
     
 Σ^            Σ^      |
123 | 98, 111, 122 | 3eqtrrd 2489 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
     
Σ^    Σ^              |
124 | 79, 123 | pm2.61dan 799 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
  Σ^    Σ^              |
125 | 124 | ad2antrr 731 |
. . . . . . . . . . . . 13
   
           Disj     
Σ^    Σ^              |
126 | | nfv 1760 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                Disj       |
127 | | nfv 1760 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   
            |
128 | | nfdisj1 4385 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 Disj      |
129 | 127, 128 | nfan 2010 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                Disj       |
130 | | fveq2 5863 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                   |
131 | | nnex 10612 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 |
132 | 131 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   
           Disj     
  |
133 | | simplr 761 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   
           Disj     
          |
134 | | eqidd 2451 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                Disj     

          |
135 | 1 | ad2antrr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
                   |
136 | 58 | sselda 3431 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
            |
137 | 135, 136 | ffvelrnd 6021 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                   |
138 | 137 | ad4ant14 1234 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                Disj     

             |
139 | 46, 102 | sylan 474 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                Disj     

      |
140 | 126, 129,
130, 132, 133, 62, 134, 138, 139 | sge0fodjrn 38253 |
. . . . . . . . . . . . 13
   
           Disj     
Σ^            Σ^              |
141 | 125, 140 | eqtr2d 2485 |
. . . . . . . . . . . 12
   
           Disj     
Σ^            Σ^      |
142 | 141 | adantllr 724 |
. . . . . . . . . . 11
      
Disj           Disj     
Σ^            Σ^      |
143 | 45, 65, 142 | 3eqtrd 2488 |
. . . . . . . . . 10
      
Disj           Disj     
     Σ^      |
144 | 40, 41, 42, 143 | syl21anc 1266 |
. . . . . . . . 9
   
 
Disj          
Disj            Σ^      |
145 | 144 | ex 436 |
. . . . . . . 8
     Disj
           Disj           Σ^       |
146 | 145 | exlimdv 1778 |
. . . . . . 7
     Disj
             Disj           Σ^       |
147 | 30, 39, 146 | sylc 62 |
. . . . . 6
   
  
Disj  
      Σ^      |
148 | 27, 147 | pm2.61dan 799 |
. . . . 5
      Disj        Σ^      |
149 | 148 | ex 436 |
. . . 4
 
    Disj 
     Σ^       |
150 | 149 | ralrimiva 2801 |
. . 3
    
Disj       Σ^       |
151 | 8, 9, 150 | jca31 537 |
. 2
           SAlg      
   Disj 
     Σ^        |
152 | | ismea 38283 |
. 2
 Meas           SAlg      
   Disj 
     Σ^        |
153 | 151, 152 | sylibr 216 |
1
 Meas |