Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbl Structured version   Unicode version

Theorem ismbl 22417
 Description: The predicate " is Lebesgue-measurable". A set is measurable if it splits every other set in a "nice" way, that is, if the measure of the pieces and sum up to the measure of (assuming that the measure of is a real number, so that this addition makes sense). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismbl
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem ismbl
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ineq2 3596 . . . . . . 7
21fveq2d 5824 . . . . . 6
3 difeq2 3515 . . . . . . 7
43fveq2d 5824 . . . . . 6
52, 4oveq12d 6262 . . . . 5
65eqeq2d 2433 . . . 4
76ralbidv 2799 . . 3
8 df-vol 22355 . . . . . 6
98dmeqi 4993 . . . . 5
10 dmres 5082 . . . . 5
11 ovolf 22372 . . . . . . 7
1211fdmi 5689 . . . . . 6
1312ineq2i 3599 . . . . 5
149, 10, 133eqtri 2449 . . . 4
15 dfrab2 3687 . . . 4
1614, 15eqtr4i 2448 . . 3
177, 16elrab2 3168 . 2
18 reex 9576 . . . 4
1918elpw2 4526 . . 3
20 ffn 5684 . . . . . . 7
21 elpreima 5956 . . . . . . 7
2211, 20, 21mp2b 10 . . . . . 6
2322imbi1i 326 . . . . 5
24 impexp 447 . . . . 5
2523, 24bitri 252 . . . 4
2625ralbii2 2789 . . 3
2719, 26anbi12i 701 . 2
2817, 27bitri 252 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1872  cab 2409  wral 2709  crab 2713   cdif 3371   cin 3373   wss 3374  cpw 3919  ccnv 4790   cdm 4791   cres 4793  cima 4794   wfn 5534  wf 5535  cfv 5539  (class class class)co 6244  cr 9484  cc0 9485   caddc 9488   cpnf 9618  cicc 11584  covol 22350  cvol 22352 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562  ax-pre-sup 9563 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-om 6646  df-1st 6746  df-2nd 6747  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-sup 7904  df-inf 7905  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10216  df-nn 10556  df-2 10614  df-3 10615  df-n0 10816  df-z 10884  df-uz 11106  df-rp 11249  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11731  df-seq 12159  df-exp 12218  df-cj 13101  df-re 13102  df-im 13103  df-sqrt 13237  df-abs 13238  df-ovol 22353  df-vol 22355 This theorem is referenced by:  ismbl2  22418  mblss  22422  mblsplit  22423  cmmbl  22425  shftmbl  22429  voliunlem2  22441
 Copyright terms: Public domain W3C validator