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Theorem ismbfm 26831
Description: The predicate " F is a measurable function from the measurable space  S to the measurable space  T". Cf. ismbf 21244 (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbfm.1  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
ismbfm.2  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
Assertion
Ref Expression
ismbfm  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( SMblFnM T )  <->  ( F  e.  ( U. T  ^m  U. S )  /\  A. x  e.  T  ( `' F " x )  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, S    x, T
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem ismbfm
Dummy variables  f 
s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbfm.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
2 ismbfm.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
3 unieq 4210 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  U. s  =  U. S )
43oveq2d 6219 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( U. t  ^m  U. s
)  =  ( U. t  ^m  U. S ) )
5 eleq2 2527 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
( `' f "
x )  e.  s  <-> 
( `' f "
x )  e.  S
) )
65ralbidv 2846 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  t 
( `' f "
x )  e.  s  <->  A. x  e.  t 
( `' f "
x )  e.  S
) )
74, 6rabeqbidv 3073 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  { f  e.  ( U. t  ^m  U. s )  | 
A. x  e.  t  ( `' f "
x )  e.  s }  =  { f  e.  ( U. t  ^m  U. S )  | 
A. x  e.  t  ( `' f "
x )  e.  S } )
8 unieq 4210 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  U. t  =  U. T )
98oveq1d 6218 . . . . . 6  |-  ( t  =  T  ->  ( U. t  ^m  U. S
)  =  ( U. T  ^m  U. S ) )
10 raleq 3023 . . . . . 6  |-  ( t  =  T  ->  ( A. x  e.  t 
( `' f "
x )  e.  S  <->  A. x  e.  T  ( `' f " x
)  e.  S ) )
119, 10rabeqbidv 3073 . . . . 5  |-  ( t  =  T  ->  { f  e.  ( U. t  ^m  U. S )  | 
A. x  e.  t  ( `' f "
x )  e.  S }  =  { f  e.  ( U. T  ^m  U. S )  |  A. x  e.  T  ( `' f " x
)  e.  S }
)
12 df-mbfm 26830 . . . . 5  |- MblFnM  =  ( s  e.  U. ran sigAlgebra , 
t  e.  U. ran sigAlgebra  |->  { f  e.  ( U. t  ^m  U. s )  |  A. x  e.  t  ( `' f
" x )  e.  s } )
13 ovex 6228 . . . . . 6  |-  ( U. T  ^m  U. S )  e.  _V
1413rabex 4554 . . . . 5  |-  { f  e.  ( U. T  ^m  U. S )  | 
A. x  e.  T  ( `' f " x
)  e.  S }  e.  _V
157, 11, 12, 14ovmpt2 6339 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  -> 
( SMblFnM T )  =  { f  e.  ( U. T  ^m  U. S )  |  A. x  e.  T  ( `' f " x
)  e.  S }
)
161, 2, 15syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( SMblFnM T )  =  { f  e.  ( U. T  ^m  U. S )  |  A. x  e.  T  ( `' f " x
)  e.  S }
)
1716eleq2d 2524 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( SMblFnM T )  <->  F  e.  { f  e.  ( U. T  ^m  U. S )  |  A. x  e.  T  ( `' f
" x )  e.  S } ) )
18 cnveq 5124 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  `' f  =  `' F
)
1918imaeq1d 5279 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( `' f " x
)  =  ( `' F " x ) )
2019eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( `' f "
x )  e.  S  <->  ( `' F " x )  e.  S ) )
2120ralbidv 2846 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  T  ( `' f " x
)  e.  S  <->  A. x  e.  T  ( `' F " x )  e.  S ) )
2221elrab 3224 . 2  |-  ( F  e.  { f  e.  ( U. T  ^m  U. S )  |  A. x  e.  T  ( `' f " x
)  e.  S }  <->  ( F  e.  ( U. T  ^m  U. S )  /\  A. x  e.  T  ( `' F " x )  e.  S
) )
2317, 22syl6bb 261 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( SMblFnM T )  <->  ( F  e.  ( U. T  ^m  U. S )  /\  A. x  e.  T  ( `' F " x )  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   {crab 2803   U.cuni 4202   `'ccnv 4950   ran crn 4952   "cima 4954  (class class class)co 6203    ^m cmap 7327  sigAlgebracsiga 26715  MblFnMcmbfm 26829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pr 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-mbfm 26830
This theorem is referenced by:  elunirnmbfm  26832  mbfmf  26834  isanmbfm  26835  mbfmcnvima  26836  mbfmcst  26838  1stmbfm  26839  2ndmbfm  26840  imambfm  26841  mbfmco  26843  elmbfmvol2  26846  mbfmcnt  26847  sibfof  26890  isrrvv  26990
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