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Theorem ismbfm 27860
Description: The predicate " F is a measurable function from the measurable space  S to the measurable space  T". Cf. ismbf 21769 (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbfm.1  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
ismbfm.2  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
Assertion
Ref Expression
ismbfm  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( SMblFnM T )  <->  ( F  e.  ( U. T  ^m  U. S )  /\  A. x  e.  T  ( `' F " x )  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, S    x, T
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem ismbfm
Dummy variables  f 
s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbfm.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
2 ismbfm.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
3 unieq 4253 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  U. s  =  U. S )
43oveq2d 6298 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( U. t  ^m  U. s
)  =  ( U. t  ^m  U. S ) )
5 eleq2 2540 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
( `' f "
x )  e.  s  <-> 
( `' f "
x )  e.  S
) )
65ralbidv 2903 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  t 
( `' f "
x )  e.  s  <->  A. x  e.  t 
( `' f "
x )  e.  S
) )
74, 6rabeqbidv 3108 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  { f  e.  ( U. t  ^m  U. s )  | 
A. x  e.  t  ( `' f "
x )  e.  s }  =  { f  e.  ( U. t  ^m  U. S )  | 
A. x  e.  t  ( `' f "
x )  e.  S } )
8 unieq 4253 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  U. t  =  U. T )
98oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( t  =  T  ->  ( U. t  ^m  U. S
)  =  ( U. T  ^m  U. S ) )
10 raleq 3058 . . . . . 6  |-  ( t  =  T  ->  ( A. x  e.  t 
( `' f "
x )  e.  S  <->  A. x  e.  T  ( `' f " x
)  e.  S ) )
119, 10rabeqbidv 3108 . . . . 5  |-  ( t  =  T  ->  { f  e.  ( U. t  ^m  U. S )  | 
A. x  e.  t  ( `' f "
x )  e.  S }  =  { f  e.  ( U. T  ^m  U. S )  |  A. x  e.  T  ( `' f " x
)  e.  S }
)
12 df-mbfm 27859 . . . . 5  |- MblFnM  =  ( s  e.  U. ran sigAlgebra , 
t  e.  U. ran sigAlgebra  |->  { f  e.  ( U. t  ^m  U. s )  |  A. x  e.  t  ( `' f
" x )  e.  s } )
13 ovex 6307 . . . . . 6  |-  ( U. T  ^m  U. S )  e.  _V
1413rabex 4598 . . . . 5  |-  { f  e.  ( U. T  ^m  U. S )  | 
A. x  e.  T  ( `' f " x
)  e.  S }  e.  _V
157, 11, 12, 14ovmpt2 6420 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  -> 
( SMblFnM T )  =  { f  e.  ( U. T  ^m  U. S )  |  A. x  e.  T  ( `' f " x
)  e.  S }
)
161, 2, 15syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( SMblFnM T )  =  { f  e.  ( U. T  ^m  U. S )  |  A. x  e.  T  ( `' f " x
)  e.  S }
)
1716eleq2d 2537 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( SMblFnM T )  <->  F  e.  { f  e.  ( U. T  ^m  U. S )  |  A. x  e.  T  ( `' f
" x )  e.  S } ) )
18 cnveq 5174 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  `' f  =  `' F
)
1918imaeq1d 5334 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( `' f " x
)  =  ( `' F " x ) )
2019eleq1d 2536 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( `' f "
x )  e.  S  <->  ( `' F " x )  e.  S ) )
2120ralbidv 2903 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  T  ( `' f " x
)  e.  S  <->  A. x  e.  T  ( `' F " x )  e.  S ) )
2221elrab 3261 . 2  |-  ( F  e.  { f  e.  ( U. T  ^m  U. S )  |  A. x  e.  T  ( `' f " x
)  e.  S }  <->  ( F  e.  ( U. T  ^m  U. S )  /\  A. x  e.  T  ( `' F " x )  e.  S
) )
2317, 22syl6bb 261 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( SMblFnM T )  <->  ( F  e.  ( U. T  ^m  U. S )  /\  A. x  e.  T  ( `' F " x )  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   U.cuni 4245   `'ccnv 4998   ran crn 5000   "cima 5002  (class class class)co 6282    ^m cmap 7417  sigAlgebracsiga 27744  MblFnMcmbfm 27858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-mbfm 27859
This theorem is referenced by:  elunirnmbfm  27861  mbfmf  27863  isanmbfm  27864  mbfmcnvima  27865  mbfmcst  27867  1stmbfm  27868  2ndmbfm  27869  imambfm  27870  mbfmco  27872  elmbfmvol2  27875  mbfmcnt  27876  sibfof  27919  isrrvv  28019
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