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Theorem ismbfm 28913
Description: The predicate " F is a measurable function from the measurable space  S to the measurable space  T". Cf. ismbf 22463 (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbfm.1  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
ismbfm.2  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
Assertion
Ref Expression
ismbfm  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( SMblFnM T )  <->  ( F  e.  ( U. T  ^m  U. S )  /\  A. x  e.  T  ( `' F " x )  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, S    x, T
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem ismbfm
Dummy variables  f 
s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbfm.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
2 ismbfm.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
3 unieq 4230 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  U. s  =  U. S )
43oveq2d 6321 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( U. t  ^m  U. s
)  =  ( U. t  ^m  U. S ) )
5 eleq2 2502 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
( `' f "
x )  e.  s  <-> 
( `' f "
x )  e.  S
) )
65ralbidv 2871 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  t 
( `' f "
x )  e.  s  <->  A. x  e.  t 
( `' f "
x )  e.  S
) )
74, 6rabeqbidv 3082 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  { f  e.  ( U. t  ^m  U. s )  | 
A. x  e.  t  ( `' f "
x )  e.  s }  =  { f  e.  ( U. t  ^m  U. S )  | 
A. x  e.  t  ( `' f "
x )  e.  S } )
8 unieq 4230 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  U. t  =  U. T )
98oveq1d 6320 . . . . . 6  |-  ( t  =  T  ->  ( U. t  ^m  U. S
)  =  ( U. T  ^m  U. S ) )
10 raleq 3032 . . . . . 6  |-  ( t  =  T  ->  ( A. x  e.  t 
( `' f "
x )  e.  S  <->  A. x  e.  T  ( `' f " x
)  e.  S ) )
119, 10rabeqbidv 3082 . . . . 5  |-  ( t  =  T  ->  { f  e.  ( U. t  ^m  U. S )  | 
A. x  e.  t  ( `' f "
x )  e.  S }  =  { f  e.  ( U. T  ^m  U. S )  |  A. x  e.  T  ( `' f " x
)  e.  S }
)
12 df-mbfm 28912 . . . . 5  |- MblFnM  =  ( s  e.  U. ran sigAlgebra , 
t  e.  U. ran sigAlgebra  |->  { f  e.  ( U. t  ^m  U. s )  |  A. x  e.  t  ( `' f
" x )  e.  s } )
13 ovex 6333 . . . . . 6  |-  ( U. T  ^m  U. S )  e.  _V
1413rabex 4576 . . . . 5  |-  { f  e.  ( U. T  ^m  U. S )  | 
A. x  e.  T  ( `' f " x
)  e.  S }  e.  _V
157, 11, 12, 14ovmpt2 6446 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  -> 
( SMblFnM T )  =  { f  e.  ( U. T  ^m  U. S )  |  A. x  e.  T  ( `' f " x
)  e.  S }
)
161, 2, 15syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( SMblFnM T )  =  { f  e.  ( U. T  ^m  U. S )  |  A. x  e.  T  ( `' f " x
)  e.  S }
)
1716eleq2d 2499 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( SMblFnM T )  <->  F  e.  { f  e.  ( U. T  ^m  U. S )  |  A. x  e.  T  ( `' f
" x )  e.  S } ) )
18 cnveq 5028 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  `' f  =  `' F
)
1918imaeq1d 5187 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( `' f " x
)  =  ( `' F " x ) )
2019eleq1d 2498 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( `' f "
x )  e.  S  <->  ( `' F " x )  e.  S ) )
2120ralbidv 2871 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  T  ( `' f " x
)  e.  S  <->  A. x  e.  T  ( `' F " x )  e.  S ) )
2221elrab 3235 . 2  |-  ( F  e.  { f  e.  ( U. T  ^m  U. S )  |  A. x  e.  T  ( `' f " x
)  e.  S }  <->  ( F  e.  ( U. T  ^m  U. S )  /\  A. x  e.  T  ( `' F " x )  e.  S
) )
2317, 22syl6bb 264 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( SMblFnM T )  <->  ( F  e.  ( U. T  ^m  U. S )  /\  A. x  e.  T  ( `' F " x )  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   {crab 2786   U.cuni 4222   `'ccnv 4853   ran crn 4855   "cima 4857  (class class class)co 6305    ^m cmap 7480  sigAlgebracsiga 28768  MblFnMcmbfm 28911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pr 4661
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-mbfm 28912
This theorem is referenced by:  elunirnmbfm  28914  mbfmf  28916  isanmbfm  28917  mbfmcnvima  28918  mbfmcst  28920  1stmbfm  28921  2ndmbfm  28922  imambfm  28923  mbfmco  28925  elmbfmvol2  28928  mbfmcnt  28929  sibfof  29001  isrrvv  29102
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