Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbfd Structured version   Unicode version

Theorem ismbfd 22173
 Description: Deduction to prove measurability of a real function. The third hypothesis is not necessary, but the proof of this requires countable choice, so we derive this separately as ismbf3d 22187. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbfd.1
ismbfd.2
ismbfd.3
Assertion
Ref Expression
ismbfd MblFn
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem ismbfd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 11647 . . . . 5
2 ffn 5737 . . . . 5
3 ovelrn 6450 . . . . 5
41, 2, 3mp2b 10 . . . 4
5 simprl 756 . . . . . . . . . . 11
6 pnfxr 11346 . . . . . . . . . . . 12
76a1i 11 . . . . . . . . . . 11
8 mnfxr 11348 . . . . . . . . . . . 12
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11
10 simprr 757 . . . . . . . . . . 11
11 iooin 11588 . . . . . . . . . . 11
125, 7, 9, 10, 11syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10
13 mnfle 11367 . . . . . . . . . . . . . 14
14 xrleid 11381 . . . . . . . . . . . . . 14
15 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . . 15
16 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . . 15
1715, 16ifboth 3980 . . . . . . . . . . . . . 14
1813, 14, 17syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
1918ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12
20 xrmax1 11401 . . . . . . . . . . . . 13
215, 8, 20sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12
22 ifcl 3986 . . . . . . . . . . . . . 14
238, 5, 22sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
24 xrletri3 11383 . . . . . . . . . . . . 13
2523, 5, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
2619, 21, 25mpbir2and 922 . . . . . . . . . . 11
27 xrmin2 11404 . . . . . . . . . . . . 13
286, 10, 27sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12
29 pnfge 11364 . . . . . . . . . . . . . 14
30 xrleid 11381 . . . . . . . . . . . . . 14
31 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . 15
32 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . 15
3331, 32ifboth 3980 . . . . . . . . . . . . . 14
3429, 30, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
3534ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12
36 ifcl 3986 . . . . . . . . . . . . . 14
376, 10, 36sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
38 xrletri3 11383 . . . . . . . . . . . . 13
3937, 10, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
4028, 35, 39mpbir2and 922 . . . . . . . . . . 11
4126, 40oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10
4212, 41eqtrd 2498 . . . . . . . . 9
4342imaeq2d 5347 . . . . . . . 8
44 ismbfd.1 . . . . . . . . . . 11
4544adantr 465 . . . . . . . . . 10
46 ffun 5739 . . . . . . . . . 10
4745, 46syl 16 . . . . . . . . 9
48 inpreima 6015 . . . . . . . . 9
4947, 48syl 16 . . . . . . . 8
5043, 49eqtr3d 2500 . . . . . . 7
51 ismbfd.2 . . . . . . . . 9
5251adantrr 716 . . . . . . . 8
53 ismbfd.3 . . . . . . . . . . 11
5453ralrimiva 2871 . . . . . . . . . 10
55 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . 13
5655imaeq2d 5347 . . . . . . . . . . . 12
5756eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11
5857rspccva 3209 . . . . . . . . . 10
5954, 58sylan 471 . . . . . . . . 9
6059adantrl 715 . . . . . . . 8
61 inmbl 22078 . . . . . . . 8
6252, 60, 61syl2anc 661 . . . . . . 7
6350, 62eqeltrd 2545 . . . . . 6
64 imaeq2 5343 . . . . . . 7
6564eleq1d 2526 . . . . . 6
6663, 65syl5ibrcom 222 . . . . 5
6766rexlimdvva 2956 . . . 4
684, 67syl5bi 217 . . 3
6968ralrimiv 2869 . 2
70 ismbf 22163 . . 3 MblFn
7144, 70syl 16 . 2 MblFn
7269, 71mpbird 232 1 MblFn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807  wrex 2808   cin 3470  cif 3944  cpw 4015   class class class wbr 4456   cxp 5006  ccnv 5007   cdm 5008   crn 5009  cima 5011   wfun 5588   wfn 5589  wf 5590  (class class class)co 6296  cr 9508   cpnf 9642   cmnf 9643  cxr 9644   cle 9646  cioo 11554  cvol 22001  MblFncmbf 22149 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xadd 11344  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-xmet 18539  df-met 18540  df-ovol 22002  df-vol 22003  df-mbf 22154 This theorem is referenced by:  ismbf2d  22174  mbfmax  22182
 Copyright terms: Public domain W3C validator