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Theorem ismbfd 21140
Description: Deduction to prove measurability of a real function. The third hypothesis is not necessary, but the proof of this requires countable choice, so we derive this separately as ismbf3d 21154. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbfd.1  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
ismbfd.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR* )  ->  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
ismbfd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR* )  ->  ( `' F " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
Assertion
Ref Expression
ismbfd  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, F    ph, x
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem ismbfd
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 11408 . . . . 5  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
2 ffn 5580 . . . . 5  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
3 ovelrn 6260 . . . . 5  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( z  e. 
ran  (,)  <->  E. x  e.  RR*  E. y  e.  RR*  z  =  ( x (,) y ) ) )
41, 2, 3mp2b 10 . . . 4  |-  ( z  e.  ran  (,)  <->  E. x  e.  RR*  E. y  e. 
RR*  z  =  ( x (,) y ) )
5 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  x  e.  RR* )
6 pnfxr 11113 . . . . . . . . . . . 12  |- +oo  e.  RR*
76a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> +oo  e.  RR* )
8 mnfxr 11115 . . . . . . . . . . . 12  |- -oo  e.  RR*
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> -oo  e.  RR* )
10 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
y  e.  RR* )
11 iooin 11355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( -oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* ) )  -> 
( ( x (,) +oo )  i^i  ( -oo (,) y ) )  =  ( if ( x  <_ -oo , -oo ,  x ) (,) if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) ) )
125, 7, 9, 10, 11syl22anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( ( x (,) +oo )  i^i  ( -oo (,) y ) )  =  ( if ( x  <_ -oo , -oo ,  x ) (,) if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) ) )
13 mnfle 11134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR*  -> -oo  <_  x )
14 xrleid 11148 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR*  ->  x  <_  x )
15 breq1 4316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -oo  =  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x
)  ->  ( -oo  <_  x  <->  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x
)  <_  x )
)
16 breq1 4316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  ->  (
x  <_  x  <->  if (
x  <_ -oo , -oo ,  x )  <_  x
) )
1715, 16ifboth 3846 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -oo  <_  x  /\  x  <_  x )  ->  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  <_  x )
1813, 14, 17syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR*  ->  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  <_  x
)
1918ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  <_  x )
20 xrmax1 11168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ -oo  e.  RR* )  ->  x  <_  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x
) )
215, 8, 20sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  x  <_  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x ) )
22 ifcl 3852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  e. 
RR* )
238, 5, 22sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  e. 
RR* )
24 xrletri3 11150 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if ( x  <_ -oo , -oo ,  x
)  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  ( if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  =  x  <->  ( if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  <_  x  /\  x  <_  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x ) ) ) )
2523, 5, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  =  x  <-> 
( if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  <_  x  /\  x  <_  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x ) ) ) )
2619, 21, 25mpbir2and 913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  =  x )
27 xrmin2 11171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y )  <_ 
y )
286, 10, 27sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y )  <_  y )
29 pnfge 11131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_ +oo )
30 xrleid 11148 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_ 
y )
31 breq2 4317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +oo  =  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y )  ->  ( y  <_ +oo  <->  y  <_  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) ) )
32 breq2 4317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  if ( +oo  <_  y , +oo , 
y )  ->  (
y  <_  y  <->  y  <_  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) ) )
3331, 32ifboth 3846 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  <_ +oo  /\  y  <_  y )  ->  y  <_  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) )
3429, 30, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) )
3534ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
y  <_  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) )
36 ifcl 3852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y )  e. 
RR* )
376, 10, 36sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y )  e.  RR* )
38 xrletri3 11150 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if ( +oo  <_  y , +oo ,  y )  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( if ( +oo  <_  y , +oo ,  y )  =  y  <->  ( if ( +oo  <_  y , +oo ,  y )  <_ 
y  /\  y  <_  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) ) ) )
3937, 10, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( if ( +oo  <_  y , +oo , 
y )  =  y  <-> 
( if ( +oo  <_  y , +oo , 
y )  <_  y  /\  y  <_  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) ) ) )
4028, 35, 39mpbir2and 913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y )  =  y )
4126, 40oveq12d 6130 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( if ( x  <_ -oo , -oo ,  x ) (,) if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) )  =  ( x (,) y ) )
4212, 41eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( ( x (,) +oo )  i^i  ( -oo (,) y ) )  =  ( x (,) y ) )
4342imaeq2d 5190 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( ( x (,) +oo )  i^i  ( -oo (,) y ) ) )  =  ( `' F " ( x (,) y ) ) )
44 ismbfd.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
4544adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  F : A --> RR )
46 ffun 5582 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> RR  ->  Fun 
F )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  Fun  F )
48 inpreima 5851 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( ( x (,) +oo )  i^i  ( -oo (,) y
) ) )  =  ( ( `' F " ( x (,) +oo ) )  i^i  ( `' F " ( -oo (,) y ) ) ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( ( x (,) +oo )  i^i  ( -oo (,) y ) ) )  =  ( ( `' F " ( x (,) +oo ) )  i^i  ( `' F " ( -oo (,) y
) ) ) )
5043, 49eqtr3d 2477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( x (,) y
) )  =  ( ( `' F "
( x (,) +oo ) )  i^i  ( `' F " ( -oo (,) y ) ) ) )
51 ismbfd.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR* )  ->  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
5251adantrr 716 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
53 ismbfd.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR* )  ->  ( `' F " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
5453ralrimiva 2820 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR*  ( `' F " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
55 oveq2 6120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( -oo (,) x )  =  ( -oo (,) y
) )
5655imaeq2d 5190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( `' F " ( -oo (,) x ) )  =  ( `' F "
( -oo (,) y ) ) )
5756eleq1d 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( `' F "
( -oo (,) x ) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol ) )
5857rspccva 3093 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  RR*  ( `' F " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol  /\  y  e. 
RR* )  ->  ( `' F " ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
5954, 58sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' F " ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
6059adantrl 715 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
61 inmbl 21045 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F "
( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( `' F " ( -oo (,) y
) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " ( x (,) +oo ) )  i^i  ( `' F " ( -oo (,) y
) ) )  e. 
dom  vol )
6252, 60, 61syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( ( `' F " ( x (,) +oo ) )  i^i  ( `' F " ( -oo (,) y ) ) )  e.  dom  vol )
6350, 62eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( x (,) y
) )  e.  dom  vol )
64 imaeq2 5186 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( x (,) y )  ->  ( `' F " z )  =  ( `' F " ( x (,) y
) ) )
6564eleq1d 2509 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( x (,) y )  ->  (
( `' F "
z )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( x (,) y ) )  e.  dom  vol )
)
6663, 65syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( z  =  ( x (,) y )  ->  ( `' F " z )  e.  dom  vol ) )
6766rexlimdvva 2869 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. x  e. 
RR*  E. y  e.  RR*  z  =  ( x (,) y )  ->  ( `' F " z )  e.  dom  vol )
)
684, 67syl5bi 217 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ran  (,) 
->  ( `' F "
z )  e.  dom  vol ) )
6968ralrimiv 2819 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ran  (,) ( `' F "
z )  e.  dom  vol )
70 ismbf 21130 . . 3  |-  ( F : A --> RR  ->  ( F  e. MblFn  <->  A. z  e.  ran  (,) ( `' F "
z )  e.  dom  vol ) )
7144, 70syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e. MblFn  <->  A. z  e.  ran  (,) ( `' F " z )  e.  dom  vol )
)
7269, 71mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737    i^i cin 3348   ifcif 3812   ~Pcpw 3881   class class class wbr 4313    X. cxp 4859   `'ccnv 4860   dom cdm 4861   ran crn 4862   "cima 4864   Fun wfun 5433    Fn wfn 5434   -->wf 5435  (class class class)co 6112   RRcr 9302   +oocpnf 9436   -oocmnf 9437   RR*cxr 9438    <_ cle 9440   (,)cioo 11321   volcvol 20969  MblFncmbf 21116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xadd 11111  df-ioo 11325  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-sum 13185  df-xmet 17832  df-met 17833  df-ovol 20970  df-vol 20971  df-mbf 21121
This theorem is referenced by:  ismbf2d  21141  mbfmax  21149
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