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Theorem ismbfd 21775
Description: Deduction to prove measurability of a real function. The third hypothesis is not necessary, but the proof of this requires countable choice, so we derive this separately as ismbf3d 21789. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbfd.1  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
ismbfd.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR* )  ->  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
ismbfd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR* )  ->  ( `' F " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
Assertion
Ref Expression
ismbfd  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, F    ph, x
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem ismbfd
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 11611 . . . . 5  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
2 ffn 5722 . . . . 5  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
3 ovelrn 6426 . . . . 5  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( z  e. 
ran  (,)  <->  E. x  e.  RR*  E. y  e.  RR*  z  =  ( x (,) y ) ) )
41, 2, 3mp2b 10 . . . 4  |-  ( z  e.  ran  (,)  <->  E. x  e.  RR*  E. y  e. 
RR*  z  =  ( x (,) y ) )
5 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  x  e.  RR* )
6 pnfxr 11310 . . . . . . . . . . . 12  |- +oo  e.  RR*
76a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> +oo  e.  RR* )
8 mnfxr 11312 . . . . . . . . . . . 12  |- -oo  e.  RR*
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> -oo  e.  RR* )
10 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
y  e.  RR* )
11 iooin 11552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( -oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* ) )  -> 
( ( x (,) +oo )  i^i  ( -oo (,) y ) )  =  ( if ( x  <_ -oo , -oo ,  x ) (,) if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) ) )
125, 7, 9, 10, 11syl22anc 1224 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( ( x (,) +oo )  i^i  ( -oo (,) y ) )  =  ( if ( x  <_ -oo , -oo ,  x ) (,) if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) ) )
13 mnfle 11331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR*  -> -oo  <_  x )
14 xrleid 11345 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR*  ->  x  <_  x )
15 breq1 4443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -oo  =  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x
)  ->  ( -oo  <_  x  <->  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x
)  <_  x )
)
16 breq1 4443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  ->  (
x  <_  x  <->  if (
x  <_ -oo , -oo ,  x )  <_  x
) )
1715, 16ifboth 3968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -oo  <_  x  /\  x  <_  x )  ->  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  <_  x )
1813, 14, 17syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR*  ->  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  <_  x
)
1918ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  <_  x )
20 xrmax1 11365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ -oo  e.  RR* )  ->  x  <_  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x
) )
215, 8, 20sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  x  <_  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x ) )
22 ifcl 3974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  e. 
RR* )
238, 5, 22sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  e. 
RR* )
24 xrletri3 11347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if ( x  <_ -oo , -oo ,  x
)  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  ( if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  =  x  <->  ( if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  <_  x  /\  x  <_  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x ) ) ) )
2523, 5, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  =  x  <-> 
( if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  <_  x  /\  x  <_  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x ) ) ) )
2619, 21, 25mpbir2and 915 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  =  x )
27 xrmin2 11368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y )  <_ 
y )
286, 10, 27sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y )  <_  y )
29 pnfge 11328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_ +oo )
30 xrleid 11345 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_ 
y )
31 breq2 4444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +oo  =  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y )  ->  ( y  <_ +oo  <->  y  <_  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) ) )
32 breq2 4444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  if ( +oo  <_  y , +oo , 
y )  ->  (
y  <_  y  <->  y  <_  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) ) )
3331, 32ifboth 3968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  <_ +oo  /\  y  <_  y )  ->  y  <_  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) )
3429, 30, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) )
3534ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
y  <_  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) )
36 ifcl 3974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y )  e. 
RR* )
376, 10, 36sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y )  e.  RR* )
38 xrletri3 11347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if ( +oo  <_  y , +oo ,  y )  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( if ( +oo  <_  y , +oo ,  y )  =  y  <->  ( if ( +oo  <_  y , +oo ,  y )  <_ 
y  /\  y  <_  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) ) ) )
3937, 10, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( if ( +oo  <_  y , +oo , 
y )  =  y  <-> 
( if ( +oo  <_  y , +oo , 
y )  <_  y  /\  y  <_  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) ) ) )
4028, 35, 39mpbir2and 915 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y )  =  y )
4126, 40oveq12d 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( if ( x  <_ -oo , -oo ,  x ) (,) if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) )  =  ( x (,) y ) )
4212, 41eqtrd 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( ( x (,) +oo )  i^i  ( -oo (,) y ) )  =  ( x (,) y ) )
4342imaeq2d 5328 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( ( x (,) +oo )  i^i  ( -oo (,) y ) ) )  =  ( `' F " ( x (,) y ) ) )
44 ismbfd.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
4544adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  F : A --> RR )
46 ffun 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> RR  ->  Fun 
F )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  Fun  F )
48 inpreima 5999 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( ( x (,) +oo )  i^i  ( -oo (,) y
) ) )  =  ( ( `' F " ( x (,) +oo ) )  i^i  ( `' F " ( -oo (,) y ) ) ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( ( x (,) +oo )  i^i  ( -oo (,) y ) ) )  =  ( ( `' F " ( x (,) +oo ) )  i^i  ( `' F " ( -oo (,) y
) ) ) )
5043, 49eqtr3d 2503 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( x (,) y
) )  =  ( ( `' F "
( x (,) +oo ) )  i^i  ( `' F " ( -oo (,) y ) ) ) )
51 ismbfd.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR* )  ->  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
5251adantrr 716 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
53 ismbfd.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR* )  ->  ( `' F " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
5453ralrimiva 2871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR*  ( `' F " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
55 oveq2 6283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( -oo (,) x )  =  ( -oo (,) y
) )
5655imaeq2d 5328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( `' F " ( -oo (,) x ) )  =  ( `' F "
( -oo (,) y ) ) )
5756eleq1d 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( `' F "
( -oo (,) x ) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol ) )
5857rspccva 3206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  RR*  ( `' F " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol  /\  y  e. 
RR* )  ->  ( `' F " ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
5954, 58sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' F " ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
6059adantrl 715 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
61 inmbl 21680 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F "
( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( `' F " ( -oo (,) y
) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " ( x (,) +oo ) )  i^i  ( `' F " ( -oo (,) y
) ) )  e. 
dom  vol )
6252, 60, 61syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( ( `' F " ( x (,) +oo ) )  i^i  ( `' F " ( -oo (,) y ) ) )  e.  dom  vol )
6350, 62eqeltrd 2548 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( x (,) y
) )  e.  dom  vol )
64 imaeq2 5324 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( x (,) y )  ->  ( `' F " z )  =  ( `' F " ( x (,) y
) ) )
6564eleq1d 2529 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( x (,) y )  ->  (
( `' F "
z )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( x (,) y ) )  e.  dom  vol )
)
6663, 65syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( z  =  ( x (,) y )  ->  ( `' F " z )  e.  dom  vol ) )
6766rexlimdvva 2955 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. x  e. 
RR*  E. y  e.  RR*  z  =  ( x (,) y )  ->  ( `' F " z )  e.  dom  vol )
)
684, 67syl5bi 217 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ran  (,) 
->  ( `' F "
z )  e.  dom  vol ) )
6968ralrimiv 2869 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ran  (,) ( `' F "
z )  e.  dom  vol )
70 ismbf 21765 . . 3  |-  ( F : A --> RR  ->  ( F  e. MblFn  <->  A. z  e.  ran  (,) ( `' F "
z )  e.  dom  vol ) )
7144, 70syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e. MblFn  <->  A. z  e.  ran  (,) ( `' F " z )  e.  dom  vol )
)
7269, 71mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808    i^i cin 3468   ifcif 3932   ~Pcpw 4003   class class class wbr 4440    X. cxp 4990   `'ccnv 4991   dom cdm 4992   ran crn 4993   "cima 4995   Fun wfun 5573    Fn wfn 5574   -->wf 5575  (class class class)co 6275   RRcr 9480   +oocpnf 9614   -oocmnf 9615   RR*cxr 9616    <_ cle 9618   (,)cioo 11518   volcvol 21603  MblFncmbf 21751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xadd 11308  df-ioo 11522  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-sum 13458  df-xmet 18176  df-met 18177  df-ovol 21604  df-vol 21605  df-mbf 21756
This theorem is referenced by:  ismbf2d  21776  mbfmax  21784
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