MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbfd Structured version   Unicode version

Theorem ismbfd 22173
Description: Deduction to prove measurability of a real function. The third hypothesis is not necessary, but the proof of this requires countable choice, so we derive this separately as ismbf3d 22187. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbfd.1  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
ismbfd.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR* )  ->  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
ismbfd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR* )  ->  ( `' F " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
Assertion
Ref Expression
ismbfd  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, F    ph, x
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem ismbfd
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 11647 . . . . 5  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
2 ffn 5737 . . . . 5  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
3 ovelrn 6450 . . . . 5  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( z  e. 
ran  (,)  <->  E. x  e.  RR*  E. y  e.  RR*  z  =  ( x (,) y ) ) )
41, 2, 3mp2b 10 . . . 4  |-  ( z  e.  ran  (,)  <->  E. x  e.  RR*  E. y  e. 
RR*  z  =  ( x (,) y ) )
5 simprl 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  x  e.  RR* )
6 pnfxr 11346 . . . . . . . . . . . 12  |- +oo  e.  RR*
76a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> +oo  e.  RR* )
8 mnfxr 11348 . . . . . . . . . . . 12  |- -oo  e.  RR*
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> -oo  e.  RR* )
10 simprr 757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
y  e.  RR* )
11 iooin 11588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( -oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* ) )  -> 
( ( x (,) +oo )  i^i  ( -oo (,) y ) )  =  ( if ( x  <_ -oo , -oo ,  x ) (,) if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) ) )
125, 7, 9, 10, 11syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( ( x (,) +oo )  i^i  ( -oo (,) y ) )  =  ( if ( x  <_ -oo , -oo ,  x ) (,) if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) ) )
13 mnfle 11367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR*  -> -oo  <_  x )
14 xrleid 11381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR*  ->  x  <_  x )
15 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -oo  =  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x
)  ->  ( -oo  <_  x  <->  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x
)  <_  x )
)
16 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  ->  (
x  <_  x  <->  if (
x  <_ -oo , -oo ,  x )  <_  x
) )
1715, 16ifboth 3980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -oo  <_  x  /\  x  <_  x )  ->  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  <_  x )
1813, 14, 17syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR*  ->  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  <_  x
)
1918ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  <_  x )
20 xrmax1 11401 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ -oo  e.  RR* )  ->  x  <_  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x
) )
215, 8, 20sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  x  <_  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x ) )
22 ifcl 3986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  e. 
RR* )
238, 5, 22sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  e. 
RR* )
24 xrletri3 11383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if ( x  <_ -oo , -oo ,  x
)  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  ( if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  =  x  <->  ( if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  <_  x  /\  x  <_  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x ) ) ) )
2523, 5, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  =  x  <-> 
( if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  <_  x  /\  x  <_  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x ) ) ) )
2619, 21, 25mpbir2and 922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( x  <_ -oo , -oo ,  x )  =  x )
27 xrmin2 11404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y )  <_ 
y )
286, 10, 27sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y )  <_  y )
29 pnfge 11364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_ +oo )
30 xrleid 11381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_ 
y )
31 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +oo  =  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y )  ->  ( y  <_ +oo  <->  y  <_  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) ) )
32 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  if ( +oo  <_  y , +oo , 
y )  ->  (
y  <_  y  <->  y  <_  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) ) )
3331, 32ifboth 3980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  <_ +oo  /\  y  <_  y )  ->  y  <_  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) )
3429, 30, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) )
3534ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
y  <_  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) )
36 ifcl 3986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y )  e. 
RR* )
376, 10, 36sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y )  e.  RR* )
38 xrletri3 11383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if ( +oo  <_  y , +oo ,  y )  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( if ( +oo  <_  y , +oo ,  y )  =  y  <->  ( if ( +oo  <_  y , +oo ,  y )  <_ 
y  /\  y  <_  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) ) ) )
3937, 10, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( if ( +oo  <_  y , +oo , 
y )  =  y  <-> 
( if ( +oo  <_  y , +oo , 
y )  <_  y  /\  y  <_  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) ) ) )
4028, 35, 39mpbir2and 922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( +oo  <_  y , +oo ,  y )  =  y )
4126, 40oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( if ( x  <_ -oo , -oo ,  x ) (,) if ( +oo  <_  y , +oo ,  y ) )  =  ( x (,) y ) )
4212, 41eqtrd 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( ( x (,) +oo )  i^i  ( -oo (,) y ) )  =  ( x (,) y ) )
4342imaeq2d 5347 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( ( x (,) +oo )  i^i  ( -oo (,) y ) ) )  =  ( `' F " ( x (,) y ) ) )
44 ismbfd.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
4544adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  F : A --> RR )
46 ffun 5739 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> RR  ->  Fun 
F )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  Fun  F )
48 inpreima 6015 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( ( x (,) +oo )  i^i  ( -oo (,) y
) ) )  =  ( ( `' F " ( x (,) +oo ) )  i^i  ( `' F " ( -oo (,) y ) ) ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( ( x (,) +oo )  i^i  ( -oo (,) y ) ) )  =  ( ( `' F " ( x (,) +oo ) )  i^i  ( `' F " ( -oo (,) y
) ) ) )
5043, 49eqtr3d 2500 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( x (,) y
) )  =  ( ( `' F "
( x (,) +oo ) )  i^i  ( `' F " ( -oo (,) y ) ) ) )
51 ismbfd.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR* )  ->  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
5251adantrr 716 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
53 ismbfd.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR* )  ->  ( `' F " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
5453ralrimiva 2871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR*  ( `' F " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
55 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( -oo (,) x )  =  ( -oo (,) y
) )
5655imaeq2d 5347 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( `' F " ( -oo (,) x ) )  =  ( `' F "
( -oo (,) y ) ) )
5756eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( `' F "
( -oo (,) x ) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol ) )
5857rspccva 3209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  RR*  ( `' F " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol  /\  y  e. 
RR* )  ->  ( `' F " ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
5954, 58sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' F " ( -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
6059adantrl 715 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
61 inmbl 22078 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F "
( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( `' F " ( -oo (,) y
) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " ( x (,) +oo ) )  i^i  ( `' F " ( -oo (,) y
) ) )  e. 
dom  vol )
6252, 60, 61syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( ( `' F " ( x (,) +oo ) )  i^i  ( `' F " ( -oo (,) y ) ) )  e.  dom  vol )
6350, 62eqeltrd 2545 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( x (,) y
) )  e.  dom  vol )
64 imaeq2 5343 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( x (,) y )  ->  ( `' F " z )  =  ( `' F " ( x (,) y
) ) )
6564eleq1d 2526 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( x (,) y )  ->  (
( `' F "
z )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( x (,) y ) )  e.  dom  vol )
)
6663, 65syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( z  =  ( x (,) y )  ->  ( `' F " z )  e.  dom  vol ) )
6766rexlimdvva 2956 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. x  e. 
RR*  E. y  e.  RR*  z  =  ( x (,) y )  ->  ( `' F " z )  e.  dom  vol )
)
684, 67syl5bi 217 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ran  (,) 
->  ( `' F "
z )  e.  dom  vol ) )
6968ralrimiv 2869 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ran  (,) ( `' F "
z )  e.  dom  vol )
70 ismbf 22163 . . 3  |-  ( F : A --> RR  ->  ( F  e. MblFn  <->  A. z  e.  ran  (,) ( `' F "
z )  e.  dom  vol ) )
7144, 70syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e. MblFn  <->  A. z  e.  ran  (,) ( `' F " z )  e.  dom  vol )
)
7269, 71mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808    i^i cin 3470   ifcif 3944   ~Pcpw 4015   class class class wbr 4456    X. cxp 5006   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   ran crn 5009   "cima 5011   Fun wfun 5588    Fn wfn 5589   -->wf 5590  (class class class)co 6296   RRcr 9508   +oocpnf 9642   -oocmnf 9643   RR*cxr 9644    <_ cle 9646   (,)cioo 11554   volcvol 22001  MblFncmbf 22149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xadd 11344  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-xmet 18539  df-met 18540  df-ovol 22002  df-vol 22003  df-mbf 22154
This theorem is referenced by:  ismbf2d  22174  mbfmax  22182
  Copyright terms: Public domain W3C validator