MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbfcn2 Structured version   Unicode version

Theorem ismbfcn2 21809
Description: A complex function is measurable iff the real and imaginary components of the function are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ismbfcn2.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
ismbfcn2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem ismbfcn2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbfcn2.1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
2 eqid 2467 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
31, 2fmptd 6045 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
4 ismbfcn 21801 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  <->  ( (
Re  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  e. MblFn ) ) )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  B ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  e. MblFn ) ) )
6 eqidd 2468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
7 ref 12908 . . . . . . 7  |-  Re : CC
--> RR
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Re : CC --> RR )
98feqmptd 5920 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Re  =  ( y  e.  CC  |->  ( Re
`  y ) ) )
10 fveq2 5866 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
Re `  y )  =  ( Re `  B ) )
111, 6, 9, 10fmptco 6054 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )
1211eleq1d 2536 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Re  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  e. MblFn  <->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e. MblFn ) )
13 imf 12909 . . . . . . 7  |-  Im : CC
--> RR
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Im : CC --> RR )
1514feqmptd 5920 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Im  =  ( y  e.  CC  |->  ( Im
`  y ) ) )
16 fveq2 5866 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
Im `  y )  =  ( Im `  B ) )
171, 6, 15, 16fmptco 6054 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )
1817eleq1d 2536 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Im  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  e. MblFn  <->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn ) )
1912, 18anbi12d 710 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  e. MblFn
)  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re
`  B ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  B ) )  e. MblFn ) ) )
205, 19bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767    |-> cmpt 4505    o. ccom 5003   -->wf 5584   ` cfv 5588   CCcc 9490   RRcr 9491   Recre 12893   Imcim 12894  MblFncmbf 21786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xadd 11319  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-sum 13472  df-xmet 18211  df-met 18212  df-ovol 21639  df-vol 21640  df-mbf 21791
This theorem is referenced by:  mbfeqa  21813  mbfss  21816  mbfmulc2re  21818  mbfadd  21831  mbfmulc2  21833  mbflim  21838  mbfmul  21896  iblcn  21968  ibladd  21990  ibladdnc  29677  ftc1anclem2  29696  ftc1anclem5  29699  ftc1anclem6  29700  ftc1anclem8  29702
  Copyright terms: Public domain W3C validator