MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbfcn2 Structured version   Unicode version

Theorem ismbfcn2 22024
Description: A complex function is measurable iff the real and imaginary components of the function are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ismbfcn2.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
ismbfcn2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem ismbfcn2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbfcn2.1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
2 eqid 2443 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
31, 2fmptd 6040 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
4 ismbfcn 22016 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  <->  ( (
Re  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  e. MblFn ) ) )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  B ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  e. MblFn ) ) )
6 eqidd 2444 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
7 ref 12927 . . . . . . 7  |-  Re : CC
--> RR
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Re : CC --> RR )
98feqmptd 5911 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Re  =  ( y  e.  CC  |->  ( Re
`  y ) ) )
10 fveq2 5856 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
Re `  y )  =  ( Re `  B ) )
111, 6, 9, 10fmptco 6049 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )
1211eleq1d 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Re  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  e. MblFn  <->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e. MblFn ) )
13 imf 12928 . . . . . . 7  |-  Im : CC
--> RR
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Im : CC --> RR )
1514feqmptd 5911 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Im  =  ( y  e.  CC  |->  ( Im
`  y ) ) )
16 fveq2 5856 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
Im `  y )  =  ( Im `  B ) )
171, 6, 15, 16fmptco 6049 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )
1817eleq1d 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Im  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  e. MblFn  <->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn ) )
1912, 18anbi12d 710 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  e. MblFn
)  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re
`  B ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  B ) )  e. MblFn ) ) )
205, 19bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1804    |-> cmpt 4495    o. ccom 4993   -->wf 5574   ` cfv 5578   CCcc 9493   RRcr 9494   Recre 12912   Imcim 12913  MblFncmbf 22001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xadd 11330  df-ioo 11544  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-clim 13293  df-sum 13491  df-xmet 18391  df-met 18392  df-ovol 21854  df-vol 21855  df-mbf 22006
This theorem is referenced by:  mbfeqa  22028  mbfss  22031  mbfmulc2re  22033  mbfadd  22046  mbfmulc2  22048  mbflim  22053  mbfmul  22111  iblcn  22183  ibladd  22205  ibladdnc  30048  ftc1anclem2  30067  ftc1anclem5  30070  ftc1anclem6  30071  ftc1anclem8  30073
  Copyright terms: Public domain W3C validator