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Theorem ismbfcn 21211
Description: A complex function is measurable iff the real and imaginary components of the function are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismbfcn  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn ) )
)

Proof of Theorem ismbfcn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfdm 21208 . . 3  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
2 fdm 5647 . . . 4  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
32eleq1d 2518 . . 3  |-  ( F : A --> CC  ->  ( dom  F  e.  dom  vol  <->  A  e.  dom  vol )
)
41, 3syl5ib 219 . 2  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  e. MblFn  ->  A  e. 
dom  vol ) )
5 mbfdm 21208 . . . 4  |-  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  ->  dom  ( Re  o.  F )  e.  dom  vol )
65adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Im  o.  F )  e. MblFn )  ->  dom  ( Re  o.  F )  e. 
dom  vol )
7 ref 12689 . . . . . 6  |-  Re : CC
--> RR
8 fco 5652 . . . . . 6  |-  ( ( Re : CC --> RR  /\  F : A --> CC )  ->  ( Re  o.  F ) : A --> RR )
97, 8mpan 670 . . . . 5  |-  ( F : A --> CC  ->  ( Re  o.  F ) : A --> RR )
10 fdm 5647 . . . . 5  |-  ( ( Re  o.  F ) : A --> RR  ->  dom  ( Re  o.  F
)  =  A )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( F : A --> CC  ->  dom  ( Re  o.  F
)  =  A )
1211eleq1d 2518 . . 3  |-  ( F : A --> CC  ->  ( dom  ( Re  o.  F )  e.  dom  vol  <->  A  e.  dom  vol )
)
136, 12syl5ib 219 . 2  |-  ( F : A --> CC  ->  ( ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  F )  e. MblFn )  ->  A  e.  dom  vol ) )
149adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( Re  o.  F
) : A --> RR )
15 ismbf 21210 . . . . . . . 8  |-  ( ( Re  o.  F ) : A --> RR  ->  ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
)
17 imf 12690 . . . . . . . . . 10  |-  Im : CC
--> RR
18 fco 5652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Im : CC --> RR  /\  F : A --> CC )  ->  ( Im  o.  F ) : A --> RR )
1917, 18mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> CC  ->  ( Im  o.  F ) : A --> RR )
2019adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( Im  o.  F
) : A --> RR )
21 ismbf 21210 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im  o.  F ) : A --> RR  ->  ( ( Im  o.  F
)  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol ) )
2220, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( Im  o.  F )  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
)
2316, 22anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn )  <->  ( A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol  /\ 
A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol ) ) )
24 r19.26 2931 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ran  (,) (
( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol 
/\  ( `' ( Im  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol )  <->  ( A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol  /\ 
A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol ) )
2523, 24syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn )  <->  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol ) ) )
26 mblss 21116 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
27 cnex 9450 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
28 reex 9460 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
29 elpm2r 7316 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
3027, 28, 29mpanl12 682 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  ->  F  e.  ( CC  ^pm 
RR ) )
3126, 30sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  F  e.  ( CC 
^pm  RR ) )
3231biantrurd 508 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( A. x  e. 
ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F
) " x )  e.  dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol ) 
<->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
) ) )
3325, 32bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn )  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  A. x  e. 
ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F
) " x )  e.  dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol ) ) ) )
34 ismbf1 21206 . . . 4  |-  ( F  e. MblFn 
<->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
) )
3533, 34syl6rbbr 264 . . 3  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( (
Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F )  e. MblFn )
) )
3635ex 434 . 2  |-  ( F : A --> CC  ->  ( A  e.  dom  vol  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( (
Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F )  e. MblFn )
) ) )
374, 13, 36pm5.21ndd 354 1  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn ) )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1757   A.wral 2792   _Vcvv 3054    C_ wss 3412   `'ccnv 4923   dom cdm 4924   ran crn 4925   "cima 4927    o. ccom 4928   -->wf 5498  (class class class)co 6176    ^pm cpm 7301   CCcc 9367   RRcr 9368   (,)cioo 11387   Recre 12674   Imcim 12675   volcvol 21049  MblFncmbf 21196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446  ax-pre-sup 9447
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-se 4764  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-isom 5511  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-of 6406  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-2o 7007  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-pm 7303  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-sup 7778  df-oi 7811  df-card 8196  df-cda 8424  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-div 10081  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-q 11041  df-rp 11079  df-xadd 11177  df-ioo 11391  df-ico 11393  df-icc 11394  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-fl 11729  df-seq 11894  df-exp 11953  df-hash 12191  df-cj 12676  df-re 12677  df-im 12678  df-sqr 12812  df-abs 12813  df-clim 13054  df-sum 13252  df-xmet 17905  df-met 17906  df-ovol 21050  df-vol 21051  df-mbf 21201
This theorem is referenced by:  ismbfcn2  21219  mbfres  21224  mbfimaopnlem  21235  mbfresfi  28562  itgaddnc  28576  itgmulc2nc  28584  ftc1anclem5  28595
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