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Theorem ismbfcn 22123
Description: A complex function is measurable iff the real and imaginary components of the function are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismbfcn  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn ) )
)

Proof of Theorem ismbfcn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfdm 22120 . . 3  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
2 fdm 5643 . . . 4  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
32eleq1d 2451 . . 3  |-  ( F : A --> CC  ->  ( dom  F  e.  dom  vol  <->  A  e.  dom  vol )
)
41, 3syl5ib 219 . 2  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  e. MblFn  ->  A  e. 
dom  vol ) )
5 mbfdm 22120 . . . 4  |-  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  ->  dom  ( Re  o.  F )  e.  dom  vol )
65adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Im  o.  F )  e. MblFn )  ->  dom  ( Re  o.  F )  e. 
dom  vol )
7 ref 12947 . . . . . 6  |-  Re : CC
--> RR
8 fco 5649 . . . . . 6  |-  ( ( Re : CC --> RR  /\  F : A --> CC )  ->  ( Re  o.  F ) : A --> RR )
97, 8mpan 668 . . . . 5  |-  ( F : A --> CC  ->  ( Re  o.  F ) : A --> RR )
10 fdm 5643 . . . . 5  |-  ( ( Re  o.  F ) : A --> RR  ->  dom  ( Re  o.  F
)  =  A )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( F : A --> CC  ->  dom  ( Re  o.  F
)  =  A )
1211eleq1d 2451 . . 3  |-  ( F : A --> CC  ->  ( dom  ( Re  o.  F )  e.  dom  vol  <->  A  e.  dom  vol )
)
136, 12syl5ib 219 . 2  |-  ( F : A --> CC  ->  ( ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  F )  e. MblFn )  ->  A  e.  dom  vol ) )
149adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( Re  o.  F
) : A --> RR )
15 ismbf 22122 . . . . . . . 8  |-  ( ( Re  o.  F ) : A --> RR  ->  ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
)
17 imf 12948 . . . . . . . . . 10  |-  Im : CC
--> RR
18 fco 5649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Im : CC --> RR  /\  F : A --> CC )  ->  ( Im  o.  F ) : A --> RR )
1917, 18mpan 668 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> CC  ->  ( Im  o.  F ) : A --> RR )
2019adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( Im  o.  F
) : A --> RR )
21 ismbf 22122 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im  o.  F ) : A --> RR  ->  ( ( Im  o.  F
)  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol ) )
2220, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( Im  o.  F )  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
)
2316, 22anbi12d 708 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn )  <->  ( A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol  /\ 
A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol ) ) )
24 r19.26 2909 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ran  (,) (
( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol 
/\  ( `' ( Im  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol )  <->  ( A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol  /\ 
A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol ) )
2523, 24syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn )  <->  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol ) ) )
26 mblss 22027 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
27 cnex 9484 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
28 reex 9494 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
29 elpm2r 7355 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
3027, 28, 29mpanl12 680 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  ->  F  e.  ( CC  ^pm 
RR ) )
3126, 30sylan2 472 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  F  e.  ( CC 
^pm  RR ) )
3231biantrurd 506 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( A. x  e. 
ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F
) " x )  e.  dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol ) 
<->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
) ) )
3325, 32bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn )  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  A. x  e. 
ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F
) " x )  e.  dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol ) ) ) )
34 ismbf1 22118 . . . 4  |-  ( F  e. MblFn 
<->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
) )
3533, 34syl6rbbr 264 . . 3  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( (
Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F )  e. MblFn )
) )
3635ex 432 . 2  |-  ( F : A --> CC  ->  ( A  e.  dom  vol  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( (
Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F )  e. MblFn )
) ) )
374, 13, 36pm5.21ndd 352 1  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn ) )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   _Vcvv 3034    C_ wss 3389   `'ccnv 4912   dom cdm 4913   ran crn 4914   "cima 4916    o. ccom 4917   -->wf 5492  (class class class)co 6196    ^pm cpm 7339   CCcc 9401   RRcr 9402   (,)cioo 11450   Recre 12932   Imcim 12933   volcvol 21960  MblFncmbf 22108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xadd 11240  df-ioo 11454  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-sum 13511  df-xmet 18525  df-met 18526  df-ovol 21961  df-vol 21962  df-mbf 22113
This theorem is referenced by:  ismbfcn2  22131  mbfres  22136  mbfimaopnlem  22147  mbfresfi  30226  itgaddnc  30241  itgmulc2nc  30249  ftc1anclem5  30260  mbfres2cn  31923
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