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Theorem ismbf3d 22187
Description: Simplified form of ismbfd 22173. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbf3d.1  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
ismbf3d.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
Assertion
Ref Expression
ismbf3d  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, F    ph, x
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem ismbf3d
Dummy variables  v  u  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbf3d.1 . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
2 fimacnv 6020 . . . 4  |-  ( F : A --> RR  ->  ( `' F " RR )  =  A )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F " RR )  =  A
)
4 imaiun 6158 . . . . 5  |-  ( `' F " U_ y  e.  NN  ( -u y (,) +oo ) )  = 
U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) )
5 ioossre 11611 . . . . . . . . 9  |-  ( -u y (,) +oo )  C_  RR
65rgenw 2818 . . . . . . . 8  |-  A. y  e.  NN  ( -u y (,) +oo )  C_  RR
7 iunss 4373 . . . . . . . 8  |-  ( U_ y  e.  NN  ( -u y (,) +oo )  C_  RR  <->  A. y  e.  NN  ( -u y (,) +oo )  C_  RR )
86, 7mpbir 209 . . . . . . 7  |-  U_ y  e.  NN  ( -u y (,) +oo )  C_  RR
9 renegcl 9901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR  ->  -u z  e.  RR )
10 arch 10813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u z  e.  RR  ->  E. y  e.  NN  -u z  <  y )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  E. y  e.  NN  -u z  <  y
)
12 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  z  e.  RR )
1312biantrurd 508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u y  < 
z  <->  ( z  e.  RR  /\  -u y  <  z ) ) )
14 nnre 10563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
15 ltnegcon1 10074 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u z  < 
y  <->  -u y  <  z
) )
1614, 15sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u z  < 
y  <->  -u y  <  z
) )
1714adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  RR )
1817renegcld 10007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  -> 
-u y  e.  RR )
1918rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  -> 
-u y  e.  RR* )
20 elioopnf 11643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u y  e.  RR*  ->  (
z  e.  ( -u y (,) +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  -u y  <  z ) ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  ( z  e.  (
-u y (,) +oo ) 
<->  ( z  e.  RR  /\  -u y  <  z ) ) )
2213, 16, 213bitr4d 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u z  < 
y  <->  z  e.  (
-u y (,) +oo ) ) )
2322rexbidva 2965 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  ( E. y  e.  NN  -u z  <  y  <->  E. y  e.  NN  z  e.  (
-u y (,) +oo ) ) )
2411, 23mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR  ->  E. y  e.  NN  z  e.  (
-u y (,) +oo ) )
25 eliun 4337 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  U_ y  e.  NN  ( -u y (,) +oo )  <->  E. y  e.  NN  z  e.  (
-u y (,) +oo ) )
2624, 25sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  U_ y  e.  NN  ( -u y (,) +oo ) )
2726ssriv 3503 . . . . . . 7  |-  RR  C_  U_ y  e.  NN  ( -u y (,) +oo )
288, 27eqssi 3515 . . . . . 6  |-  U_ y  e.  NN  ( -u y (,) +oo )  =  RR
2928imaeq2i 5345 . . . . 5  |-  ( `' F " U_ y  e.  NN  ( -u y (,) +oo ) )  =  ( `' F " RR )
304, 29eqtr3i 2488 . . . 4  |-  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) )  =  ( `' F " RR )
31 ismbf3d.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
3231ralrimiva 2871 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
3314renegcld 10007 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  -u y  e.  RR )
34 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  -u y  ->  (
x (,) +oo )  =  ( -u y (,) +oo ) )
3534imaeq2d 5347 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u y  ->  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  =  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) ) )
3635eleq1d 2526 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u y  ->  (
( `' F "
( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
)
3736rspccva 3209 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  RR  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol  /\  -u y  e.  RR )  ->  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
3832, 33, 37syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
3938ralrimiva 2871 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
40 iunmbl 22089 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) )  e.  dom  vol  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
4139, 40syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
4230, 41syl5eqelr 2550 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F " RR )  e.  dom  vol )
433, 42eqeltrrd 2546 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
44 imaiun 6158 . . . . . . 7  |-  ( `' F " U_ y  e.  NN  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  = 
U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )
45 eliun 4337 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U_ y  e.  NN  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  <->  E. y  e.  NN  x  e.  ( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) ) )
46 3simpb 994 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\ -oo 
<  x  /\  x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) ) )  ->  (
x  e.  RR  /\  x  <_  ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) )
47 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  z  e.  RR )
48 nnrp 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR+ )
4948ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  y  e.  RR+ )
5049rpreccld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( 1  /  y )  e.  RR+ )
5147, 50ltsubrpd 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  < 
z )
52 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  x  e.  RR )
53 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  z  e.  RR )
54 nnrecre 10593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  /  y )  e.  RR )
55 resubcl 9902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( 1  /  y
)  e.  RR )  ->  ( z  -  ( 1  /  y
) )  e.  RR )
5653, 54, 55syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR )
5756adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  e.  RR )
58 lelttr 9692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( x  <_ 
( z  -  (
1  /  y ) )  /\  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  < 
z )  ->  x  <  z ) )
5952, 57, 47, 58syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
x  <_  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  <  z )  ->  x  <  z
) )
6051, 59mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) )  ->  x  <  z ) )
6160anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <_ 
( z  -  (
1  /  y ) )  ->  x  <  z ) )
6261imdistanda 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( x  e.  RR  /\  x  <_  ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
6346, 62syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( x  e.  RR  /\ -oo  <  x  /\  x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) ) )  ->  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) ) )
64 mnfxr 11348 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- -oo  e.  RR*
65 elioc2 11612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR )  -> 
( x  e.  ( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  <-> 
( x  e.  RR  /\ -oo  <  x  /\  x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) ) ) ) )
6664, 56, 65sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\ -oo  <  x  /\  x  <_  (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
67 rexr 9656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  RR* )
6867adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  z  e. 
RR* )
69 elioomnf 11644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( x  e.  ( -oo (,) z )  <->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( -oo (,) z )  <->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
7170adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( -oo (,) z )  <->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
7263, 66, 713imtr4d 268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  ->  x  e.  ( -oo (,) z
) ) )
7372rexlimdva 2949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  x  e.  ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  ->  x  e.  ( -oo (,) z ) ) )
7473, 70sylibd 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  x  e.  ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
75 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  x  e.  RR )
7675adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
77 mnflt 11358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  -> -oo  <  x )
7876, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  -> -oo  <  x )
7956ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  ( z  -  ( 1  /  y
) )  e.  RR )
8054ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  ( 1  / 
y )  e.  RR )
81 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  z  e.  RR )
8281adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  z  e.  RR )
83 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  ( 1  / 
y )  <  (
z  -  x ) )
8480, 82, 76, 83ltsub13d 10179 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  x  <  (
z  -  ( 1  /  y ) ) )
8576, 79, 84ltled 9750 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  x  <_  (
z  -  ( 1  /  y ) ) )
8666ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  ( x  e.  ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\ -oo  <  x  /\  x  <_  (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
8776, 78, 85, 86mpbir3and 1179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  x  e.  ( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) ) )
8881, 75resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  ( z  -  x )  e.  RR )
89 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  x  <  z
)
9075, 81posdifd 10160 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  ( x  < 
z  <->  0  <  (
z  -  x ) ) )
9189, 90mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  0  <  (
z  -  x ) )
92 nnrecl 10814 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  -  x
)  e.  RR  /\  0  <  ( z  -  x ) )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  ( z  -  x ) )
9388, 91, 92syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  ( z  -  x ) )
9487, 93reximddv 2933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  E. y  e.  NN  x  e.  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )
9594ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  x  <  z )  ->  E. y  e.  NN  x  e.  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) ) )
9674, 95impbid 191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  x  e.  ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
9796, 70bitr4d 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  x  e.  ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  <->  x  e.  ( -oo (,) z ) ) )
9845, 97syl5bb 257 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( x  e.  U_ y  e.  NN  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  <->  x  e.  ( -oo (,) z ) ) )
9998eqrdv 2454 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  U_ y  e.  NN  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  =  ( -oo (,) z ) )
10099imaeq2d 5347 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( `' F " U_ y  e.  NN  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  ( `' F "
( -oo (,) z ) ) )
10144, 100syl5eqr 2512 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  =  ( `' F " ( -oo (,) z ) ) )
1021ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  F : A --> RR )
103 ffun 5739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> RR  ->  Fun 
F )
104 funcnvcnv 5652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  `' `' F )
105 imadif 5669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  `' `' F  ->  ( `' F " ( RR 
\  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo ) ) )  =  ( ( `' F " RR )  \  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,) +oo ) ) ) )
106102, 103, 104, 1054syl 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( RR 
\  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo ) ) )  =  ( ( `' F " RR )  \  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,) +oo ) ) ) )
10764a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  -> -oo  e.  RR* )
10856rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR* )
109 pnfxr 11346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- +oo  e.  RR*
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  -> +oo  e.  RR* )
111 mnflt 11358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR  -> -oo  <  ( z  -  ( 1  /  y ) ) )
11256, 111syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  -> -oo  <  ( z  -  ( 1  /  y ) ) )
113 ltpnf 11356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR  ->  (
z  -  ( 1  /  y ) )  < +oo )
11456, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
z  -  ( 1  /  y ) )  < +oo )
115 df-ioc 11559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,]  =  ( u  e.  RR* ,  v  e.  RR*  |->  { w  e.  RR*  |  ( u  <  w  /\  w  <_  v ) } )
116 df-ioo 11558 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,)  =  ( u  e.  RR* ,  v  e.  RR*  |->  { w  e.  RR*  |  ( u  <  w  /\  w  <  v ) } )
117 xrltnle 9670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  -  (
1  /  y ) )  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
( z  -  (
1  /  y ) )  <  x  <->  -.  x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )
118 xrlelttr 11384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( (
x  <_  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  < +oo )  ->  x  < +oo )
)
119 xrlttr 11371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
( -oo  <  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  <  x )  -> -oo  <  x ) )
120115, 116, 117, 116, 118, 119ixxun 11570 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  ( z  -  ( 1  /  y
) )  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  < +oo ) )  -> 
( ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  u.  (
( z  -  (
1  /  y ) ) (,) +oo )
)  =  ( -oo (,) +oo ) )
121107, 108, 110, 112, 114, 120syl32anc 1236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  u.  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo ) )  =  ( -oo (,) +oo )
)
122 uncom 3644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  u.  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo ) )  =  ( ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo )  u.  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )
123 ioomax 11624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -oo (,) +oo )  =  RR
124121, 122, 1233eqtr3g 2521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo )  u.  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  RR )
125 ioossre 11611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,) +oo )  C_  RR
126 incom 3687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  -  (
1  /  y ) ) (,) +oo )  i^i  ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  =  ( ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  i^i  ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,) +oo ) )
127115, 116, 117ixxdisj 11569 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( ( -oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) )  i^i  ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo ) )  =  (/) )
12864, 109, 127mp3an13 1315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR*  ->  ( ( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  i^i  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo ) )  =  (/) )
129108, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  i^i  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo ) )  =  (/) )
130126, 129syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo )  i^i  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  (/) )
131 uneqdifeq 3919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo )  C_  RR  /\  (
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo )  i^i  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  (/) )  ->  ( ( ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo )  u.  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  RR  <->  ( RR  \ 
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo ) )  =  ( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) ) ) )
132125, 130, 131sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo )  u.  ( -oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) )  =  RR  <->  ( RR  \  ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo ) )  =  ( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) ) ) )
133124, 132mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( RR  \  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo ) )  =  ( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) ) )
134133imaeq2d 5347 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( RR 
\  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo ) ) )  =  ( `' F "
( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) ) ) )
135106, 134eqtr3d 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( `' F " RR )  \  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,) +oo ) ) )  =  ( `' F " ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) ) )
13642ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " RR )  e.  dom  vol )
13732ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
138 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( z  -  ( 1  /  y
) )  ->  (
x (,) +oo )  =  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo ) )
139138imaeq2d 5347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( z  -  ( 1  /  y
) )  ->  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  =  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo ) ) )
140139eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( z  -  ( 1  /  y
) )  ->  (
( `' F "
( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
)
141140rspcv 3206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR  ->  ( A. x  e.  RR  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol  ->  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
)
14256, 137, 141sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
143 difmbl 22079 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F " RR )  e.  dom  vol 
/\  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " RR ) 
\  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
144136, 142, 143syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( `' F " RR )  \  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
145135, 144eqeltrrd 2546 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  e. 
dom  vol )
146145ralrimiva 2871 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  A. y  e.  NN  ( `' F " ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  e.  dom  vol )
147 iunmbl 22089 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  NN  ( `' F " ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  e. 
dom  vol  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  e.  dom  vol )
148146, 147syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  e.  dom  vol )
149101, 148eqeltrrd 2546 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( `' F " ( -oo (,) z ) )  e. 
dom  vol )
150149ralrimiva 2871 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  RR  ( `' F " ( -oo (,) z ) )  e. 
dom  vol )
151 oveq2 6304 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  ( -oo (,) z )  =  ( -oo (,) x
) )
152151imaeq2d 5347 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  ( `' F " ( -oo (,) z ) )  =  ( `' F "
( -oo (,) x ) ) )
153152eleq1d 2526 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
( `' F "
( -oo (,) z ) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol ) )
154153cbvralv 3084 . . . 4  |-  ( A. z  e.  RR  ( `' F " ( -oo (,) z ) )  e. 
dom  vol  <->  A. x  e.  RR  ( `' F " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
155150, 154sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( `' F " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
156155r19.21bi 2826 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
1571, 43, 31, 156ismbf2d 22174 1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   U_ciun 4332   class class class wbr 4456   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   "cima 5011   Fun wfun 5588   -->wf 5590  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   +oocpnf 9642   -oocmnf 9643   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   -ucneg 9825    / cdiv 10227   NNcn 10556   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   (,]cioc 11555   volcvol 22001  MblFncmbf 22149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xadd 11344  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-xmet 18539  df-met 18540  df-ovol 22002  df-vol 22003  df-mbf 22154
This theorem is referenced by:  mbfaddlem  22193  mbfsup  22197
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