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Theorem ismbf3d 22610
Description: Simplified form of ismbfd 22596. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbf3d.1  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
ismbf3d.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
Assertion
Ref Expression
ismbf3d  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, F    ph, x
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem ismbf3d
Dummy variables  v  u  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbf3d.1 . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
2 fimacnv 6012 . . . 4  |-  ( F : A --> RR  ->  ( `' F " RR )  =  A )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F " RR )  =  A
)
4 imaiun 6150 . . . . 5  |-  ( `' F " U_ y  e.  NN  ( -u y (,) +oo ) )  = 
U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) )
5 ioossre 11696 . . . . . . . . 9  |-  ( -u y (,) +oo )  C_  RR
65rgenw 2749 . . . . . . . 8  |-  A. y  e.  NN  ( -u y (,) +oo )  C_  RR
7 iunss 4319 . . . . . . . 8  |-  ( U_ y  e.  NN  ( -u y (,) +oo )  C_  RR  <->  A. y  e.  NN  ( -u y (,) +oo )  C_  RR )
86, 7mpbir 213 . . . . . . 7  |-  U_ y  e.  NN  ( -u y (,) +oo )  C_  RR
9 renegcl 9937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR  ->  -u z  e.  RR )
10 arch 10866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u z  e.  RR  ->  E. y  e.  NN  -u z  <  y )
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  E. y  e.  NN  -u z  <  y
)
12 simpl 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  z  e.  RR )
1312biantrurd 511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u y  < 
z  <->  ( z  e.  RR  /\  -u y  <  z ) ) )
14 nnre 10616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
15 ltnegcon1 10115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u z  < 
y  <->  -u y  <  z
) )
1614, 15sylan2 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u z  < 
y  <->  -u y  <  z
) )
1714adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  RR )
1817renegcld 10046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  -> 
-u y  e.  RR )
1918rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  -> 
-u y  e.  RR* )
20 elioopnf 11728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u y  e.  RR*  ->  (
z  e.  ( -u y (,) +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  -u y  <  z ) ) )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  ( z  e.  (
-u y (,) +oo ) 
<->  ( z  e.  RR  /\  -u y  <  z ) ) )
2213, 16, 213bitr4d 289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u z  < 
y  <->  z  e.  (
-u y (,) +oo ) ) )
2322rexbidva 2898 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  ( E. y  e.  NN  -u z  <  y  <->  E. y  e.  NN  z  e.  (
-u y (,) +oo ) ) )
2411, 23mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR  ->  E. y  e.  NN  z  e.  (
-u y (,) +oo ) )
25 eliun 4283 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  U_ y  e.  NN  ( -u y (,) +oo )  <->  E. y  e.  NN  z  e.  (
-u y (,) +oo ) )
2624, 25sylibr 216 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  U_ y  e.  NN  ( -u y (,) +oo ) )
2726ssriv 3436 . . . . . . 7  |-  RR  C_  U_ y  e.  NN  ( -u y (,) +oo )
288, 27eqssi 3448 . . . . . 6  |-  U_ y  e.  NN  ( -u y (,) +oo )  =  RR
2928imaeq2i 5166 . . . . 5  |-  ( `' F " U_ y  e.  NN  ( -u y (,) +oo ) )  =  ( `' F " RR )
304, 29eqtr3i 2475 . . . 4  |-  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) )  =  ( `' F " RR )
31 ismbf3d.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
3231ralrimiva 2802 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
3314renegcld 10046 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  -u y  e.  RR )
34 oveq1 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  -u y  ->  (
x (,) +oo )  =  ( -u y (,) +oo ) )
3534imaeq2d 5168 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u y  ->  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  =  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) ) )
3635eleq1d 2513 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u y  ->  (
( `' F "
( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
)
3736rspccva 3149 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  RR  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol  /\  -u y  e.  RR )  ->  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
3832, 33, 37syl2an 480 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
3938ralrimiva 2802 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
40 iunmbl 22506 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) )  e.  dom  vol  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
4139, 40syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
4230, 41syl5eqelr 2534 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F " RR )  e.  dom  vol )
433, 42eqeltrrd 2530 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
44 imaiun 6150 . . . . . . 7  |-  ( `' F " U_ y  e.  NN  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  = 
U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )
45 eliun 4283 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U_ y  e.  NN  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  <->  E. y  e.  NN  x  e.  ( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) ) )
46 3simpb 1006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\ -oo 
<  x  /\  x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) ) )  ->  (
x  e.  RR  /\  x  <_  ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) )
47 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  z  e.  RR )
48 nnrp 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR+ )
4948ad2antrl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  y  e.  RR+ )
5049rpreccld 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( 1  /  y )  e.  RR+ )
5147, 50ltsubrpd 11370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  < 
z )
52 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  x  e.  RR )
53 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  z  e.  RR )
54 nnrecre 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  /  y )  e.  RR )
55 resubcl 9938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( 1  /  y
)  e.  RR )  ->  ( z  -  ( 1  /  y
) )  e.  RR )
5653, 54, 55syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR )
5756adantrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  e.  RR )
58 lelttr 9724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( x  <_ 
( z  -  (
1  /  y ) )  /\  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  < 
z )  ->  x  <  z ) )
5952, 57, 47, 58syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
x  <_  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  <  z )  ->  x  <  z
) )
6051, 59mpan2d 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) )  ->  x  <  z ) )
6160anassrs 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <_ 
( z  -  (
1  /  y ) )  ->  x  <  z ) )
6261imdistanda 699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( x  e.  RR  /\  x  <_  ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
6346, 62syl5 33 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( x  e.  RR  /\ -oo  <  x  /\  x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) ) )  ->  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) ) )
64 mnfxr 11414 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- -oo  e.  RR*
65 elioc2 11697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR )  -> 
( x  e.  ( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  <-> 
( x  e.  RR  /\ -oo  <  x  /\  x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) ) ) ) )
6664, 56, 65sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\ -oo  <  x  /\  x  <_  (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
67 rexr 9686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  RR* )
6867adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  z  e. 
RR* )
69 elioomnf 11729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( x  e.  ( -oo (,) z )  <->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( -oo (,) z )  <->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
7170adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( -oo (,) z )  <->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
7263, 66, 713imtr4d 272 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  ->  x  e.  ( -oo (,) z
) ) )
7372rexlimdva 2879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  x  e.  ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  ->  x  e.  ( -oo (,) z ) ) )
7473, 70sylibd 218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  x  e.  ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
75 simprl 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  x  e.  RR )
7675adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
77 mnflt 11425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  -> -oo  <  x )
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  -> -oo  <  x )
7956ad2ant2r 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  ( z  -  ( 1  /  y
) )  e.  RR )
8054ad2antrl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  ( 1  / 
y )  e.  RR )
81 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  z  e.  RR )
8281adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  z  e.  RR )
83 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  ( 1  / 
y )  <  (
z  -  x ) )
8480, 82, 76, 83ltsub13d 10219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  x  <  (
z  -  ( 1  /  y ) ) )
8576, 79, 84ltled 9783 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  x  <_  (
z  -  ( 1  /  y ) ) )
8666ad2ant2r 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  ( x  e.  ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\ -oo  <  x  /\  x  <_  (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
8776, 78, 85, 86mpbir3and 1191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  x  e.  ( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) ) )
8881, 75resubcld 10047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  ( z  -  x )  e.  RR )
89 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  x  <  z
)
9075, 81posdifd 10200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  ( x  < 
z  <->  0  <  (
z  -  x ) ) )
9189, 90mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  0  <  (
z  -  x ) )
92 nnrecl 10867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  -  x
)  e.  RR  /\  0  <  ( z  -  x ) )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  ( z  -  x ) )
9388, 91, 92syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  ( z  -  x ) )
9487, 93reximddv 2863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  E. y  e.  NN  x  e.  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )
9594ex 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  x  <  z )  ->  E. y  e.  NN  x  e.  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) ) )
9674, 95impbid 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  x  e.  ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
9796, 70bitr4d 260 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  x  e.  ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  <->  x  e.  ( -oo (,) z ) ) )
9845, 97syl5bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( x  e.  U_ y  e.  NN  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  <->  x  e.  ( -oo (,) z ) ) )
9998eqrdv 2449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  U_ y  e.  NN  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  =  ( -oo (,) z ) )
10099imaeq2d 5168 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( `' F " U_ y  e.  NN  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  ( `' F "
( -oo (,) z ) ) )
10144, 100syl5eqr 2499 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  =  ( `' F " ( -oo (,) z ) ) )
1021ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  F : A --> RR )
103 ffun 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> RR  ->  Fun 
F )
104 funcnvcnv 5641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  `' `' F )
105 imadif 5658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  `' `' F  ->  ( `' F " ( RR 
\  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo ) ) )  =  ( ( `' F " RR )  \  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,) +oo ) ) ) )
106102, 103, 104, 1054syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( RR 
\  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo ) ) )  =  ( ( `' F " RR )  \  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,) +oo ) ) ) )
10764a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  -> -oo  e.  RR* )
10856rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR* )
109 pnfxr 11412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- +oo  e.  RR*
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  -> +oo  e.  RR* )
111 mnflt 11425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR  -> -oo  <  ( z  -  ( 1  /  y ) ) )
11256, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  -> -oo  <  ( z  -  ( 1  /  y ) ) )
113 ltpnf 11422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR  ->  (
z  -  ( 1  /  y ) )  < +oo )
11456, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
z  -  ( 1  /  y ) )  < +oo )
115 df-ioc 11640 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,]  =  ( u  e.  RR* ,  v  e.  RR*  |->  { w  e.  RR*  |  ( u  <  w  /\  w  <_  v ) } )
116 df-ioo 11639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,)  =  ( u  e.  RR* ,  v  e.  RR*  |->  { w  e.  RR*  |  ( u  <  w  /\  w  <  v ) } )
117 xrltnle 9701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  -  (
1  /  y ) )  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
( z  -  (
1  /  y ) )  <  x  <->  -.  x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )
118 xrlelttr 11453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( (
x  <_  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  < +oo )  ->  x  < +oo )
)
119 xrlttr 11439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
( -oo  <  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  <  x )  -> -oo  <  x ) )
120115, 116, 117, 116, 118, 119ixxun 11651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  ( z  -  ( 1  /  y
) )  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  < +oo ) )  -> 
( ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  u.  (
( z  -  (
1  /  y ) ) (,) +oo )
)  =  ( -oo (,) +oo ) )
121107, 108, 110, 112, 114, 120syl32anc 1276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  u.  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo ) )  =  ( -oo (,) +oo )
)
122 uncom 3578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  u.  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo ) )  =  ( ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo )  u.  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )
123 ioomax 11709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -oo (,) +oo )  =  RR
124121, 122, 1233eqtr3g 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo )  u.  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  RR )
125 ioossre 11696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,) +oo )  C_  RR
126 incom 3625 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  -  (
1  /  y ) ) (,) +oo )  i^i  ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  =  ( ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  i^i  ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,) +oo ) )
127115, 116, 117ixxdisj 11650 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( ( -oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) )  i^i  ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo ) )  =  (/) )
12864, 109, 127mp3an13 1355 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR*  ->  ( ( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  i^i  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo ) )  =  (/) )
129108, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  i^i  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo ) )  =  (/) )
130126, 129syl5eq 2497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo )  i^i  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  (/) )
131 uneqdifeq 3856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo )  C_  RR  /\  (
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo )  i^i  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  (/) )  ->  ( ( ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo )  u.  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  RR  <->  ( RR  \ 
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo ) )  =  ( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) ) ) )
132125, 130, 131sylancr 669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo )  u.  ( -oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) )  =  RR  <->  ( RR  \  ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo ) )  =  ( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) ) ) )
133124, 132mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( RR  \  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo ) )  =  ( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) ) )
134133imaeq2d 5168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( RR 
\  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo ) ) )  =  ( `' F "
( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) ) ) )
135106, 134eqtr3d 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( `' F " RR )  \  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,) +oo ) ) )  =  ( `' F " ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) ) )
13642ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " RR )  e.  dom  vol )
13732ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
138 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( z  -  ( 1  /  y
) )  ->  (
x (,) +oo )  =  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo ) )
139138imaeq2d 5168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( z  -  ( 1  /  y
) )  ->  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  =  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo ) ) )
140139eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( z  -  ( 1  /  y
) )  ->  (
( `' F "
( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
)
141140rspcv 3146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR  ->  ( A. x  e.  RR  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol  ->  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
)
14256, 137, 141sylc 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
143 difmbl 22496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F " RR )  e.  dom  vol 
/\  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " RR ) 
\  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
144136, 142, 143syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( `' F " RR )  \  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
145135, 144eqeltrrd 2530 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  e. 
dom  vol )
146145ralrimiva 2802 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  A. y  e.  NN  ( `' F " ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  e.  dom  vol )
147 iunmbl 22506 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  NN  ( `' F " ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  e. 
dom  vol  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  e.  dom  vol )
148146, 147syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  e.  dom  vol )
149101, 148eqeltrrd 2530 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( `' F " ( -oo (,) z ) )  e. 
dom  vol )
150149ralrimiva 2802 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  RR  ( `' F " ( -oo (,) z ) )  e. 
dom  vol )
151 oveq2 6298 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  ( -oo (,) z )  =  ( -oo (,) x
) )
152151imaeq2d 5168 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  ( `' F " ( -oo (,) z ) )  =  ( `' F "
( -oo (,) x ) ) )
153152eleq1d 2513 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
( `' F "
( -oo (,) z ) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol ) )
154153cbvralv 3019 . . . 4  |-  ( A. z  e.  RR  ( `' F " ( -oo (,) z ) )  e. 
dom  vol  <->  A. x  e.  RR  ( `' F " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
155150, 154sylib 200 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( `' F " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
156155r19.21bi 2757 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
1571, 43, 31, 156ismbf2d 22597 1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738    \ cdif 3401    u. cun 3402    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   U_ciun 4278   class class class wbr 4402   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   "cima 4837   Fun wfun 5576   -->wf 5578  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   +oocpnf 9672   -oocmnf 9673   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   -ucneg 9861    / cdiv 10269   NNcn 10609   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   (,]cioc 11636   volcvol 22415  MblFncmbf 22572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-xmet 18963  df-met 18964  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577
This theorem is referenced by:  mbfaddlem  22616  mbfsup  22620
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