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Theorem ismbf3d 19499
Description: Simplified form of ismbfd 19485. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbf3d.1  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
ismbf3d.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
Assertion
Ref Expression
ismbf3d  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, F    ph, x
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem ismbf3d
Dummy variables  v  u  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbf3d.1 . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
2 fimacnv 5821 . . . 4  |-  ( F : A --> RR  ->  ( `' F " RR )  =  A )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F " RR )  =  A
)
4 imaiun 5951 . . . . 5  |-  ( `' F " U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo ) )  = 
U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,)  +oo ) )
5 ioossre 10928 . . . . . . . . 9  |-  ( -u y (,)  +oo )  C_  RR
65rgenw 2733 . . . . . . . 8  |-  A. y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo )  C_  RR
7 iunss 4092 . . . . . . . 8  |-  ( U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo )  C_  RR  <->  A. y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo )  C_  RR )
86, 7mpbir 201 . . . . . . 7  |-  U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo )  C_  RR
9 renegcl 9320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR  ->  -u z  e.  RR )
10 arch 10174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u z  e.  RR  ->  E. y  e.  NN  -u z  <  y )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  E. y  e.  NN  -u z  <  y
)
12 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  z  e.  RR )
1312biantrurd 495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u y  < 
z  <->  ( z  e.  RR  /\  -u y  <  z ) ) )
14 nnre 9963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
15 ltnegcon1 9485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u z  < 
y  <->  -u y  <  z
) )
1614, 15sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u z  < 
y  <->  -u y  <  z
) )
1714adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  RR )
1817renegcld 9420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  -> 
-u y  e.  RR )
1918rexrd 9090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  -> 
-u y  e.  RR* )
20 elioopnf 10954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u y  e.  RR*  ->  (
z  e.  ( -u y (,)  +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  -u y  <  z ) ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  ( z  e.  (
-u y (,)  +oo ) 
<->  ( z  e.  RR  /\  -u y  <  z ) ) )
2213, 16, 213bitr4d 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u z  < 
y  <->  z  e.  (
-u y (,)  +oo ) ) )
2322rexbidva 2683 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  ( E. y  e.  NN  -u z  <  y  <->  E. y  e.  NN  z  e.  (
-u y (,)  +oo ) ) )
2411, 23mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR  ->  E. y  e.  NN  z  e.  (
-u y (,)  +oo ) )
25 eliun 4057 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo )  <->  E. y  e.  NN  z  e.  (
-u y (,)  +oo ) )
2624, 25sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo ) )
2726ssriv 3312 . . . . . . 7  |-  RR  C_  U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo )
288, 27eqssi 3324 . . . . . 6  |-  U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo )  =  RR
2928imaeq2i 5160 . . . . 5  |-  ( `' F " U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo ) )  =  ( `' F " RR )
304, 29eqtr3i 2426 . . . 4  |-  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,) 
+oo ) )  =  ( `' F " RR )
31 ismbf3d.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
3231ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
3314renegcld 9420 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  -u y  e.  RR )
34 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  -u y  ->  (
x (,)  +oo )  =  ( -u y (,) 
+oo ) )
3534imaeq2d 5162 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u y  ->  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  =  ( `' F "
( -u y (,)  +oo ) ) )
3635eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u y  ->  (
( `' F "
( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( -u y (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol ) )
3736rspccva 3011 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  RR  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol  /\  -u y  e.  RR )  ->  ( `' F " ( -u y (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
3832, 33, 37syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( -u y (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
3938ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
40 iunmbl 19400 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol )
4139, 40syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
4230, 41syl5eqelr 2489 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F " RR )  e.  dom  vol )
433, 42eqeltrrd 2479 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
44 imaiun 5951 . . . . . . 7  |-  ( `' F " U_ y  e.  NN  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  = 
U_ y  e.  NN  ( `' F " (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )
45 eliun 4057 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U_ y  e.  NN  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  <->  E. y  e.  NN  x  e.  ( 
-oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) )
46 3simpb 955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -oo 
<  x  /\  x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) ) )  ->  (
x  e.  RR  /\  x  <_  ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) )
47 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  z  e.  RR )
48 nnrp 10577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR+ )
4948ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  y  e.  RR+ )
5049rpreccld 10614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( 1  /  y )  e.  RR+ )
5147, 50ltsubrpd 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  < 
z )
52 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  x  e.  RR )
53 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  z  e.  RR )
54 nnrecre 9992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  /  y )  e.  RR )
55 resubcl 9321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( 1  /  y
)  e.  RR )  ->  ( z  -  ( 1  /  y
) )  e.  RR )
5653, 54, 55syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR )
5756adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  e.  RR )
58 lelttr 9121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( x  <_ 
( z  -  (
1  /  y ) )  /\  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  < 
z )  ->  x  <  z ) )
5952, 57, 47, 58syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
x  <_  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  <  z )  ->  x  <  z
) )
6051, 59mpan2d 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) )  ->  x  <  z ) )
6160anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <_ 
( z  -  (
1  /  y ) )  ->  x  <  z ) )
6261imdistanda 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( x  e.  RR  /\  x  <_  ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
6346, 62syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( x  e.  RR  /\ 
-oo  <  x  /\  x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) ) )  ->  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) ) )
64 mnfxr 10670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -oo  e.  RR*
65 elioc2 10929 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR )  -> 
( x  e.  ( 
-oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  -oo  <  x  /\  x  <_  (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
6664, 56, 65sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
x  e.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  -oo  <  x  /\  x  <_  (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
67 rexr 9086 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  RR* )
6867adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  z  e. 
RR* )
69 elioomnf 10955 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( x  e.  (  -oo (,) z )  <->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( x  e.  (  -oo (,) z )  <->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
7170adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
x  e.  (  -oo (,) z )  <->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
7263, 66, 713imtr4d 260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
x  e.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  ->  x  e.  (  -oo (,) z
) ) )
7372rexlimdva 2790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  x  e.  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  ->  x  e.  (  -oo (,) z ) ) )
7473, 70sylibd 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  x  e.  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
75 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  z  e.  RR )
76 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  x  e.  RR )
7775, 76resubcld 9421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  ( z  -  x )  e.  RR )
78 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  x  <  z
)
7976, 75posdifd 9569 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  ( x  < 
z  <->  0  <  (
z  -  x ) ) )
8078, 79mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  0  <  (
z  -  x ) )
81 nnrecl 10175 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  -  x
)  e.  RR  /\  0  <  ( z  -  x ) )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  ( z  -  x ) )
8277, 80, 81syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  ( z  -  x ) )
8376adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
84 mnflt 10678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  -oo  <  x )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  -oo  <  x )
8656ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  ( z  -  ( 1  /  y
) )  e.  RR )
8754ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  ( 1  / 
y )  e.  RR )
8875adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  z  e.  RR )
89 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  ( 1  / 
y )  <  (
z  -  x ) )
9087, 88, 83, 89ltsub13d 9588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  x  <  (
z  -  ( 1  /  y ) ) )
9183, 86, 90ltled 9177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  x  <_  (
z  -  ( 1  /  y ) ) )
9266ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  ( x  e.  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  -oo  <  x  /\  x  <_  (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
9383, 85, 91, 92mpbir3and 1137 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  x  e.  ( 
-oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) )
9493expr 599 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( 1  /  y
)  <  ( z  -  x )  ->  x  e.  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
9594reximdva 2778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  ( E. y  e.  NN  ( 1  / 
y )  <  (
z  -  x )  ->  E. y  e.  NN  x  e.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) ) )
9682, 95mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  E. y  e.  NN  x  e.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )
9796ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  x  <  z )  ->  E. y  e.  NN  x  e.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) ) )
9874, 97impbid 184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  x  e.  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
9998, 70bitr4d 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  x  e.  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  <->  x  e.  (  -oo (,) z ) ) )
10045, 99syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( x  e.  U_ y  e.  NN  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  <->  x  e.  (  -oo (,) z ) ) )
101100eqrdv 2402 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  U_ y  e.  NN  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  =  ( 
-oo (,) z ) )
102101imaeq2d 5162 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( `' F " U_ y  e.  NN  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  ( `' F "
(  -oo (,) z ) ) )
10344, 102syl5eqr 2450 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  =  ( `' F " (  -oo (,) z ) ) )
1041ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  F : A --> RR )
105 ffun 5552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> RR  ->  Fun 
F )
106104, 105syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  Fun  F )
107 funcnvcnv 5468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  `' `' F )
108 imadif 5487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  `' `' F  ->  ( `' F " ( RR 
\  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo ) ) )  =  ( ( `' F " RR ) 
\  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) ) ) )
109106, 107, 1083syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( RR 
\  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo ) ) )  =  ( ( `' F " RR ) 
\  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) ) ) )
11064a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  -oo  e.  RR* )
11156rexrd 9090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR* )
112 pnfxr 10669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  +oo  e.  RR*
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  +oo  e.  RR* )
114 mnflt 10678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR  ->  -oo  <  ( z  -  ( 1  /  y ) ) )
11556, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  -oo  <  ( z  -  ( 1  /  y ) ) )
116 ltpnf 10677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR  ->  (
z  -  ( 1  /  y ) )  <  +oo )
11756, 116syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
z  -  ( 1  /  y ) )  <  +oo )
118 df-ioc 10877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,]  =  ( u  e.  RR* ,  v  e.  RR*  |->  { w  e.  RR*  |  ( u  <  w  /\  w  <_  v ) } )
119 df-ioo 10876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,)  =  ( u  e.  RR* ,  v  e.  RR*  |->  { w  e.  RR*  |  ( u  <  w  /\  w  <  v ) } )
120 xrltnle 9100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  -  (
1  /  y ) )  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
( z  -  (
1  /  y ) )  <  x  <->  -.  x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )
121 xrlelttr 10702 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( (
x  <_  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  <  +oo )  ->  x  <  +oo )
)
122 xrlttr 10689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
(  -oo  <  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  -oo  <  x ) )
123118, 119, 120, 119, 121, 122ixxun 10888 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  RR*  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  /\  (  -oo  <  ( z  -  ( 1  /  y
) )  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  <  +oo ) )  -> 
( (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  u.  (
( z  -  (
1  /  y ) ) (,)  +oo )
)  =  (  -oo (,) 
+oo ) )
124110, 111, 113, 115, 117, 123syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
(  -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  u.  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo ) )  =  (  -oo (,)  +oo ) )
125 uncom 3451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
-oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) )  u.  ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) )  =  ( ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo )  u.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )
126 ioomax 10941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  -oo (,) 
+oo )  =  RR
127124, 125, 1263eqtr3g 2459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo )  u.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  RR )
128 ioossre 10928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,)  +oo )  C_  RR
129 incom 3493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  -  (
1  /  y ) ) (,)  +oo )  i^i  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  =  ( (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  i^i  ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,)  +oo ) )
130118, 119, 120ixxdisj 10887 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( (  -oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) )  i^i  ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) )  =  (/) )
13164, 112, 130mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR*  ->  ( ( 
-oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) )  i^i  ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) )  =  (/) )
132111, 131syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
(  -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  i^i  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo ) )  =  (/) )
133129, 132syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo )  i^i  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  (/) )
134 uneqdifeq 3676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo )  C_  RR  /\  (
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo )  i^i  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  (/) )  ->  ( ( ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo )  u.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  RR  <->  ( RR  \ 
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) )  =  ( 
-oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) ) )
135128, 133, 134sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo )  u.  (  -oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) )  =  RR  <->  ( RR  \  ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) )  =  ( 
-oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) ) )
136127, 135mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( RR  \  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo ) )  =  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )
137136imaeq2d 5162 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( RR 
\  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo ) ) )  =  ( `' F " (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
138109, 137eqtr3d 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( `' F " RR )  \  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,)  +oo ) ) )  =  ( `' F " (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
13942ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " RR )  e.  dom  vol )
14032ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
141 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( z  -  ( 1  /  y
) )  ->  (
x (,)  +oo )  =  ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) )
142141imaeq2d 5162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( z  -  ( 1  /  y
) )  ->  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  =  ( `' F "
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) ) )
143142eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( z  -  ( 1  /  y
) )  ->  (
( `' F "
( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol ) )
144143rspcv 3008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR  ->  ( A. x  e.  RR  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol  ->  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol ) )
14556, 140, 144sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
146 difmbl 19390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F " RR )  e.  dom  vol 
/\  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " RR ) 
\  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
147139, 145, 146syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( `' F " RR )  \  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,)  +oo ) ) )  e.  dom  vol )
148138, 147eqeltrrd 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  e. 
dom  vol )
149148ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  A. y  e.  NN  ( `' F " (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  e.  dom  vol )
150 iunmbl 19400 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  NN  ( `' F " (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  e. 
dom  vol  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  e.  dom  vol )
151149, 150syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  e.  dom  vol )
152103, 151eqeltrrd 2479 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( `' F " (  -oo (,) z ) )  e. 
dom  vol )
153152ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  RR  ( `' F " (  -oo (,) z ) )  e. 
dom  vol )
154 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (  -oo (,) z )  =  (  -oo (,) x
) )
155154imaeq2d 5162 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  ( `' F " (  -oo (,) z ) )  =  ( `' F "
(  -oo (,) x ) ) )
156155eleq1d 2470 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
( `' F "
(  -oo (,) z ) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol ) )
157156cbvralv 2892 . . . 4  |-  ( A. z  e.  RR  ( `' F " (  -oo (,) z ) )  e. 
dom  vol  <->  A. x  e.  RR  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
158153, 157sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
159158r19.21bi 2764 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
1601, 43, 31, 159ismbf2d 19486 1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   U_ciun 4053   class class class wbr 4172   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   "cima 4840   Fun wfun 5407   -->wf 5409  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    +oocpnf 9073    -oocmnf 9074   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   NNcn 9956   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   (,]cioc 10873   volcvol 19313  MblFncmbf 19459
This theorem is referenced by:  mbfaddlem  19505  mbfsup  19509
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xadd 10667  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-xmet 16650  df-met 16651  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465
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