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Theorem ismbf3d 22353
Description: Simplified form of ismbfd 22339. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbf3d.1  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
ismbf3d.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
Assertion
Ref Expression
ismbf3d  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, F    ph, x
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem ismbf3d
Dummy variables  v  u  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbf3d.1 . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
2 fimacnv 5997 . . . 4  |-  ( F : A --> RR  ->  ( `' F " RR )  =  A )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F " RR )  =  A
)
4 imaiun 6138 . . . . 5  |-  ( `' F " U_ y  e.  NN  ( -u y (,) +oo ) )  = 
U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) )
5 ioossre 11640 . . . . . . . . 9  |-  ( -u y (,) +oo )  C_  RR
65rgenw 2765 . . . . . . . 8  |-  A. y  e.  NN  ( -u y (,) +oo )  C_  RR
7 iunss 4312 . . . . . . . 8  |-  ( U_ y  e.  NN  ( -u y (,) +oo )  C_  RR  <->  A. y  e.  NN  ( -u y (,) +oo )  C_  RR )
86, 7mpbir 209 . . . . . . 7  |-  U_ y  e.  NN  ( -u y (,) +oo )  C_  RR
9 renegcl 9918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR  ->  -u z  e.  RR )
10 arch 10833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u z  e.  RR  ->  E. y  e.  NN  -u z  <  y )
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  E. y  e.  NN  -u z  <  y
)
12 simpl 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  z  e.  RR )
1312biantrurd 506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u y  < 
z  <->  ( z  e.  RR  /\  -u y  <  z ) ) )
14 nnre 10583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
15 ltnegcon1 10094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u z  < 
y  <->  -u y  <  z
) )
1614, 15sylan2 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u z  < 
y  <->  -u y  <  z
) )
1714adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  RR )
1817renegcld 10027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  -> 
-u y  e.  RR )
1918rexrd 9673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  -> 
-u y  e.  RR* )
20 elioopnf 11672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u y  e.  RR*  ->  (
z  e.  ( -u y (,) +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  -u y  <  z ) ) )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  ( z  e.  (
-u y (,) +oo ) 
<->  ( z  e.  RR  /\  -u y  <  z ) ) )
2213, 16, 213bitr4d 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u z  < 
y  <->  z  e.  (
-u y (,) +oo ) ) )
2322rexbidva 2915 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  ( E. y  e.  NN  -u z  <  y  <->  E. y  e.  NN  z  e.  (
-u y (,) +oo ) ) )
2411, 23mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR  ->  E. y  e.  NN  z  e.  (
-u y (,) +oo ) )
25 eliun 4276 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  U_ y  e.  NN  ( -u y (,) +oo )  <->  E. y  e.  NN  z  e.  (
-u y (,) +oo ) )
2624, 25sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  U_ y  e.  NN  ( -u y (,) +oo ) )
2726ssriv 3446 . . . . . . 7  |-  RR  C_  U_ y  e.  NN  ( -u y (,) +oo )
288, 27eqssi 3458 . . . . . 6  |-  U_ y  e.  NN  ( -u y (,) +oo )  =  RR
2928imaeq2i 5155 . . . . 5  |-  ( `' F " U_ y  e.  NN  ( -u y (,) +oo ) )  =  ( `' F " RR )
304, 29eqtr3i 2433 . . . 4  |-  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) )  =  ( `' F " RR )
31 ismbf3d.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
3231ralrimiva 2818 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
3314renegcld 10027 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  -u y  e.  RR )
34 oveq1 6285 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  -u y  ->  (
x (,) +oo )  =  ( -u y (,) +oo ) )
3534imaeq2d 5157 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u y  ->  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  =  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) ) )
3635eleq1d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u y  ->  (
( `' F "
( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
)
3736rspccva 3159 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  RR  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol  /\  -u y  e.  RR )  ->  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
3832, 33, 37syl2an 475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
3938ralrimiva 2818 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
40 iunmbl 22255 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) )  e.  dom  vol  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
4139, 40syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
4230, 41syl5eqelr 2495 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F " RR )  e.  dom  vol )
433, 42eqeltrrd 2491 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
44 imaiun 6138 . . . . . . 7  |-  ( `' F " U_ y  e.  NN  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  = 
U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )
45 eliun 4276 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U_ y  e.  NN  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  <->  E. y  e.  NN  x  e.  ( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) ) )
46 3simpb 995 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\ -oo 
<  x  /\  x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) ) )  ->  (
x  e.  RR  /\  x  <_  ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) )
47 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  z  e.  RR )
48 nnrp 11274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR+ )
4948ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  y  e.  RR+ )
5049rpreccld 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( 1  /  y )  e.  RR+ )
5147, 50ltsubrpd 11332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  < 
z )
52 simprr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  x  e.  RR )
53 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  z  e.  RR )
54 nnrecre 10613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  /  y )  e.  RR )
55 resubcl 9919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( 1  /  y
)  e.  RR )  ->  ( z  -  ( 1  /  y
) )  e.  RR )
5653, 54, 55syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR )
5756adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  e.  RR )
58 lelttr 9706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( x  <_ 
( z  -  (
1  /  y ) )  /\  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  < 
z )  ->  x  <  z ) )
5952, 57, 47, 58syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
x  <_  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  <  z )  ->  x  <  z
) )
6051, 59mpan2d 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) )  ->  x  <  z ) )
6160anassrs 646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <_ 
( z  -  (
1  /  y ) )  ->  x  <  z ) )
6261imdistanda 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( x  e.  RR  /\  x  <_  ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
6346, 62syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( x  e.  RR  /\ -oo  <  x  /\  x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) ) )  ->  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) ) )
64 mnfxr 11376 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- -oo  e.  RR*
65 elioc2 11641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR )  -> 
( x  e.  ( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  <-> 
( x  e.  RR  /\ -oo  <  x  /\  x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) ) ) ) )
6664, 56, 65sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\ -oo  <  x  /\  x  <_  (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
67 rexr 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  RR* )
6867adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  z  e. 
RR* )
69 elioomnf 11673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( x  e.  ( -oo (,) z )  <->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( -oo (,) z )  <->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
7170adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( -oo (,) z )  <->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
7263, 66, 713imtr4d 268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  ->  x  e.  ( -oo (,) z
) ) )
7372rexlimdva 2896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  x  e.  ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  ->  x  e.  ( -oo (,) z ) ) )
7473, 70sylibd 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  x  e.  ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
75 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  x  e.  RR )
7675adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
77 mnflt 11386 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  -> -oo  <  x )
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  -> -oo  <  x )
7956ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  ( z  -  ( 1  /  y
) )  e.  RR )
8054ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  ( 1  / 
y )  e.  RR )
81 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  z  e.  RR )
8281adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  z  e.  RR )
83 simprr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  ( 1  / 
y )  <  (
z  -  x ) )
8480, 82, 76, 83ltsub13d 10198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  x  <  (
z  -  ( 1  /  y ) ) )
8576, 79, 84ltled 9765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  x  <_  (
z  -  ( 1  /  y ) ) )
8666ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  ( x  e.  ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\ -oo  <  x  /\  x  <_  (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
8776, 78, 85, 86mpbir3and 1180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  x  e.  ( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) ) )
8881, 75resubcld 10028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  ( z  -  x )  e.  RR )
89 simprr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  x  <  z
)
9075, 81posdifd 10179 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  ( x  < 
z  <->  0  <  (
z  -  x ) ) )
9189, 90mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  0  <  (
z  -  x ) )
92 nnrecl 10834 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  -  x
)  e.  RR  /\  0  <  ( z  -  x ) )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  ( z  -  x ) )
9388, 91, 92syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  ( z  -  x ) )
9487, 93reximddv 2880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  E. y  e.  NN  x  e.  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )
9594ex 432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  x  <  z )  ->  E. y  e.  NN  x  e.  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) ) )
9674, 95impbid 190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  x  e.  ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
9796, 70bitr4d 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  x  e.  ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  <->  x  e.  ( -oo (,) z ) ) )
9845, 97syl5bb 257 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( x  e.  U_ y  e.  NN  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  <->  x  e.  ( -oo (,) z ) ) )
9998eqrdv 2399 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  U_ y  e.  NN  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  =  ( -oo (,) z ) )
10099imaeq2d 5157 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( `' F " U_ y  e.  NN  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  ( `' F "
( -oo (,) z ) ) )
10144, 100syl5eqr 2457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  =  ( `' F " ( -oo (,) z ) ) )
1021ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  F : A --> RR )
103 ffun 5716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> RR  ->  Fun 
F )
104 funcnvcnv 5627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  `' `' F )
105 imadif 5644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  `' `' F  ->  ( `' F " ( RR 
\  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo ) ) )  =  ( ( `' F " RR )  \  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,) +oo ) ) ) )
106102, 103, 104, 1054syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( RR 
\  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo ) ) )  =  ( ( `' F " RR )  \  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,) +oo ) ) ) )
10764a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  -> -oo  e.  RR* )
10856rexrd 9673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR* )
109 pnfxr 11374 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- +oo  e.  RR*
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  -> +oo  e.  RR* )
111 mnflt 11386 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR  -> -oo  <  ( z  -  ( 1  /  y ) ) )
11256, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  -> -oo  <  ( z  -  ( 1  /  y ) ) )
113 ltpnf 11384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR  ->  (
z  -  ( 1  /  y ) )  < +oo )
11456, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
z  -  ( 1  /  y ) )  < +oo )
115 df-ioc 11587 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,]  =  ( u  e.  RR* ,  v  e.  RR*  |->  { w  e.  RR*  |  ( u  <  w  /\  w  <_  v ) } )
116 df-ioo 11586 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,)  =  ( u  e.  RR* ,  v  e.  RR*  |->  { w  e.  RR*  |  ( u  <  w  /\  w  <  v ) } )
117 xrltnle 9683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  -  (
1  /  y ) )  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
( z  -  (
1  /  y ) )  <  x  <->  -.  x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )
118 xrlelttr 11412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( (
x  <_  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  < +oo )  ->  x  < +oo )
)
119 xrlttr 11399 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
( -oo  <  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  <  x )  -> -oo  <  x ) )
120115, 116, 117, 116, 118, 119ixxun 11598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  ( z  -  ( 1  /  y
) )  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  < +oo ) )  -> 
( ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  u.  (
( z  -  (
1  /  y ) ) (,) +oo )
)  =  ( -oo (,) +oo ) )
121107, 108, 110, 112, 114, 120syl32anc 1238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  u.  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo ) )  =  ( -oo (,) +oo )
)
122 uncom 3587 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  u.  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo ) )  =  ( ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo )  u.  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )
123 ioomax 11653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -oo (,) +oo )  =  RR
124121, 122, 1233eqtr3g 2466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo )  u.  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  RR )
125 ioossre 11640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,) +oo )  C_  RR
126 incom 3632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  -  (
1  /  y ) ) (,) +oo )  i^i  ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  =  ( ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  i^i  ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,) +oo ) )
127115, 116, 117ixxdisj 11597 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( ( -oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) )  i^i  ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo ) )  =  (/) )
12864, 109, 127mp3an13 1317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR*  ->  ( ( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  i^i  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo ) )  =  (/) )
129108, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  i^i  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo ) )  =  (/) )
130126, 129syl5eq 2455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo )  i^i  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  (/) )
131 uneqdifeq 3860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo )  C_  RR  /\  (
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo )  i^i  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  (/) )  ->  ( ( ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo )  u.  ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  RR  <->  ( RR  \ 
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo ) )  =  ( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) ) ) )
132125, 130, 131sylancr 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo )  u.  ( -oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) )  =  RR  <->  ( RR  \  ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo ) )  =  ( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) ) ) )
133124, 132mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( RR  \  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo ) )  =  ( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) ) )
134133imaeq2d 5157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( RR 
\  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo ) ) )  =  ( `' F "
( -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) ) ) )
135106, 134eqtr3d 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( `' F " RR )  \  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,) +oo ) ) )  =  ( `' F " ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) ) )
13642ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " RR )  e.  dom  vol )
13732ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
138 oveq1 6285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( z  -  ( 1  /  y
) )  ->  (
x (,) +oo )  =  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) +oo ) )
139138imaeq2d 5157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( z  -  ( 1  /  y
) )  ->  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  =  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo ) ) )
140139eleq1d 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( z  -  ( 1  /  y
) )  ->  (
( `' F "
( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
)
141140rspcv 3156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR  ->  ( A. x  e.  RR  ( `' F " ( x (,) +oo ) )  e.  dom  vol  ->  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
)
14256, 137, 141sylc 59 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
143 difmbl 22245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F " RR )  e.  dom  vol 
/\  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " RR ) 
\  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
144136, 142, 143syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( `' F " RR )  \  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
145135, 144eqeltrrd 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  e. 
dom  vol )
146145ralrimiva 2818 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  A. y  e.  NN  ( `' F " ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  e.  dom  vol )
147 iunmbl 22255 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  NN  ( `' F " ( -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  e. 
dom  vol  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  e.  dom  vol )
148146, 147syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  e.  dom  vol )
149101, 148eqeltrrd 2491 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( `' F " ( -oo (,) z ) )  e. 
dom  vol )
150149ralrimiva 2818 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  RR  ( `' F " ( -oo (,) z ) )  e. 
dom  vol )
151 oveq2 6286 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  ( -oo (,) z )  =  ( -oo (,) x
) )
152151imaeq2d 5157 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  ( `' F " ( -oo (,) z ) )  =  ( `' F "
( -oo (,) x ) ) )
153152eleq1d 2471 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
( `' F "
( -oo (,) z ) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol ) )
154153cbvralv 3034 . . . 4  |-  ( A. z  e.  RR  ( `' F " ( -oo (,) z ) )  e. 
dom  vol  <->  A. x  e.  RR  ( `' F " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
155150, 154sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( `' F " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
156155r19.21bi 2773 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F " ( -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
1571, 43, 31, 156ismbf2d 22340 1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   E.wrex 2755    \ cdif 3411    u. cun 3412    i^i cin 3413    C_ wss 3414   (/)c0 3738   U_ciun 4271   class class class wbr 4395   `'ccnv 4822   dom cdm 4823   "cima 4826   Fun wfun 5563   -->wf 5565  (class class class)co 6278   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523   +oocpnf 9655   -oocmnf 9656   RR*cxr 9657    < clt 9658    <_ cle 9659    - cmin 9841   -ucneg 9842    / cdiv 10247   NNcn 10576   RR+crp 11265   (,)cioo 11582   (,]cioc 11583   volcvol 22167  MblFncmbf 22315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cc 8847  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xadd 11372  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-xmet 18732  df-met 18733  df-ovol 22168  df-vol 22169  df-mbf 22320
This theorem is referenced by:  mbfaddlem  22359  mbfsup  22363
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