Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islvol2 Structured version   Unicode version

Theorem islvol2 35044
Description: The predicate "is a 3-dim lattice volume" in terms of atoms. (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islvol5.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
islvol5.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
islvol5.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
islvol5.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
islvol5.v  |-  V  =  ( LVols `  K )
Assertion
Ref Expression
islvol2  |-  ( K  e.  HL  ->  ( X  e.  V  <->  ( X  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) ) )
Distinct variable groups:    q, p, r, s, A    B, p, q, r, s    .\/ , p, q, r, s    K, p, q, r, s    .<_ , p, q, r, s    X, p, q, r, s
Allowed substitution hints:    V( s, r, q, p)

Proof of Theorem islvol2
StepHypRef Expression
1 islvol5.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 islvol5.v . . . 4  |-  V  =  ( LVols `  K )
31, 2lvolbase 35042 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  B )
43pm4.71ri 633 . 2  |-  ( X  e.  V  <->  ( X  e.  B  /\  X  e.  V ) )
5 islvol5.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 islvol5.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
7 islvol5.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
81, 5, 6, 7, 2islvol5 35043 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  V  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  (
( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) )
98pm5.32da 641 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( X  e.  B  /\  X  e.  V
)  <->  ( X  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) ) )
104, 9syl5bb 257 1  |-  ( K  e.  HL  ->  ( X  e.  V  <->  ( X  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   E.wrex 2794   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14509   lecple 14581   joincjn 15447   Atomscatm 34728   HLchlt 34815   LVolsclvol 34957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-preset 15431  df-poset 15449  df-plt 15462  df-lub 15478  df-glb 15479  df-join 15480  df-meet 15481  df-p0 15543  df-lat 15550  df-clat 15612  df-oposet 34641  df-ol 34643  df-oml 34644  df-covers 34731  df-ats 34732  df-atl 34763  df-cvlat 34787  df-hlat 34816  df-llines 34962  df-lplanes 34963  df-lvols 34964
This theorem is referenced by:  lplncvrlvol2  35079
  Copyright terms: Public domain W3C validator