Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islvol Structured version   Unicode version

Theorem islvol 32570
Description: The predicate "is a 3-dim lattice volume". (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolset.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lvolset.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
lvolset.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
lvolset.v  |-  V  =  ( LVols `  K )
Assertion
Ref Expression
islvol  |-  ( K  e.  A  ->  ( X  e.  V  <->  ( X  e.  B  /\  E. y  e.  P  y C X ) ) )
Distinct variable groups:    y, P    y, K    y, X
Allowed substitution hints:    A( y)    B( y)    C( y)    V( y)

Proof of Theorem islvol
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lvolset.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 lvolset.c . . . 4  |-  C  =  (  <o  `  K )
3 lvolset.p . . . 4  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
4 lvolset.v . . . 4  |-  V  =  ( LVols `  K )
51, 2, 3, 4lvolset 32569 . . 3  |-  ( K  e.  A  ->  V  =  { x  e.  B  |  E. y  e.  P  y C x } )
65eleq2d 2472 . 2  |-  ( K  e.  A  ->  ( X  e.  V  <->  X  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  P  y C x } ) )
7 breq2 4398 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
y C x  <->  y C X ) )
87rexbidv 2917 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  ( E. y  e.  P  y C x  <->  E. y  e.  P  y C X ) )
98elrab 3206 . 2  |-  ( X  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  P  y C x }  <->  ( X  e.  B  /\  E. y  e.  P  y C X ) )
106, 9syl6bb 261 1  |-  ( K  e.  A  ->  ( X  e.  V  <->  ( X  e.  B  /\  E. y  e.  P  y C X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   E.wrex 2754   {crab 2757   class class class wbr 4394   ` cfv 5568   Basecbs 14839    <o ccvr 32260   LPlanesclpl 32489   LVolsclvol 32490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fv 5576  df-lvols 32497
This theorem is referenced by:  islvol4  32571  lvoli  32572  lvolbase  32575  lvolnle3at  32579
  Copyright terms: Public domain W3C validator