MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islvec Structured version   Unicode version

Theorem islvec 17197
Description: The predicate "is a left vector space". (Contributed by NM, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
islvec.1  |-  F  =  (Scalar `  W )
Assertion
Ref Expression
islvec  |-  ( W  e.  LVec  <->  ( W  e. 
LMod  /\  F  e.  DivRing ) )

Proof of Theorem islvec
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5703 . . . 4  |-  ( f  =  W  ->  (Scalar `  f )  =  (Scalar `  W ) )
2 islvec.1 . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
31, 2syl6eqr 2493 . . 3  |-  ( f  =  W  ->  (Scalar `  f )  =  F )
43eleq1d 2509 . 2  |-  ( f  =  W  ->  (
(Scalar `  f )  e.  DivRing 
<->  F  e.  DivRing ) )
5 df-lvec 17196 . 2  |-  LVec  =  { f  e.  LMod  |  (Scalar `  f )  e.  DivRing }
64, 5elrab2 3131 1  |-  ( W  e.  LVec  <->  ( W  e. 
LMod  /\  F  e.  DivRing ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5430  Scalarcsca 14253   DivRingcdr 16844   LModclmod 16960   LVecclvec 17195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-rex 2733  df-rab 2736  df-v 2986  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-br 4305  df-iota 5393  df-fv 5438  df-lvec 17196
This theorem is referenced by:  lvecdrng  17198  lveclmod  17199  lsslvec  17200  lvecprop2d  17259  lvecpropd  17260  rlmlvec  17299  frlmphl  18218  tvclvec  19785  isnvc2  20291  lmod1zrnlvec  31048  lduallvec  32811  dvalveclem  34682  dvhlveclem  34765
  Copyright terms: Public domain W3C validator