Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islssfg2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem islssfg2 35923
Description: Property of a finitely generated left (sub-)module, with a relaxed constraint on the spanning vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islssfg.x  |-  X  =  ( Ws  U )
islssfg.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
islssfg.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
islssfg2.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
islssfg2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( X  e. LFinGen  <->  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ( N `  b )  =  U ) )
Distinct variable groups:    W, b    X, b    S, b    U, b    N, b
Allowed substitution hint:    B( b)

Proof of Theorem islssfg2
StepHypRef Expression
1 islssfg.x . . 3  |-  X  =  ( Ws  U )
2 islssfg.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
3 islssfg.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
41, 2, 3islssfg 35922 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( X  e. LFinGen  <->  E. b  e.  ~P  U ( b  e. 
Fin  /\  ( N `  b )  =  U ) ) )
5 islssfg2.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  W
)
65, 2lssss 18153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N `  b )  e.  S  ->  ( N `  b )  C_  B )
76adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  b )  e.  S )  ->  ( N `  b )  C_  B )
8 sstr2 3438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b 
C_  ( N `  b )  ->  (
( N `  b
)  C_  B  ->  b 
C_  B ) )
97, 8mpan9 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  b
)  e.  S )  /\  b  C_  ( N `  b )
)  ->  b  C_  B )
105, 3lspssid 18201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  b  C_  B )  ->  b  C_  ( N `  b
) )
1110adantlr 720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  b
)  e.  S )  /\  b  C_  B
)  ->  b  C_  ( N `  b ) )
129, 11impbida 842 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  b )  e.  S )  ->  (
b  C_  ( N `  b )  <->  b  C_  B ) )
13 vex 3047 . . . . . . . . . 10  |-  b  e. 
_V
1413elpw 3956 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ~P ( N `
 b )  <->  b  C_  ( N `  b ) )
1513elpw 3956 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ~P B  <->  b  C_  B )
1612, 14, 153bitr4g 292 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  b )  e.  S )  ->  (
b  e.  ~P ( N `  b )  <->  b  e.  ~P B ) )
17 eleq1 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  b )  =  U  ->  (
( N `  b
)  e.  S  <->  U  e.  S ) )
1817anbi2d 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N `  b )  =  U  ->  (
( W  e.  LMod  /\  ( N `  b
)  e.  S )  <-> 
( W  e.  LMod  /\  U  e.  S ) ) )
19 pweq 3953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  b )  =  U  ->  ~P ( N `  b )  =  ~P U )
2019eleq2d 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  b )  =  U  ->  (
b  e.  ~P ( N `  b )  <->  b  e.  ~P U ) )
2120bibi1d 321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N `  b )  =  U  ->  (
( b  e.  ~P ( N `  b )  <-> 
b  e.  ~P B
)  <->  ( b  e. 
~P U  <->  b  e.  ~P B ) ) )
2218, 21imbi12d 322 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  b )  =  U  ->  (
( ( W  e. 
LMod  /\  ( N `  b )  e.  S
)  ->  ( b  e.  ~P ( N `  b )  <->  b  e.  ~P B ) )  <->  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  (
b  e.  ~P U  <->  b  e.  ~P B ) ) ) )
2316, 22mpbii 215 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  b )  =  U  ->  (
( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( b  e. 
~P U  <->  b  e.  ~P B ) ) )
2423com12 32 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  (
( N `  b
)  =  U  -> 
( b  e.  ~P U 
<->  b  e.  ~P B
) ) )
2524adantld 469 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  (
( b  e.  Fin  /\  ( N `  b
)  =  U )  ->  ( b  e. 
~P U  <->  b  e.  ~P B ) ) )
2625pm5.32rd 645 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  (
( b  e.  ~P U  /\  ( b  e. 
Fin  /\  ( N `  b )  =  U ) )  <->  ( b  e.  ~P B  /\  (
b  e.  Fin  /\  ( N `  b )  =  U ) ) ) )
27 elin 3616 . . . . . 6  |-  ( b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  <->  ( b  e.  ~P B  /\  b  e.  Fin ) )
2827anbi1i 700 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  ( N `  b
)  =  U )  <-> 
( ( b  e. 
~P B  /\  b  e.  Fin )  /\  ( N `  b )  =  U ) )
29 anass 654 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  ~P B  /\  b  e.  Fin )  /\  ( N `  b )  =  U )  <->  ( b  e. 
~P B  /\  (
b  e.  Fin  /\  ( N `  b )  =  U ) ) )
3028, 29bitr2i 254 . . . 4  |-  ( ( b  e.  ~P B  /\  ( b  e.  Fin  /\  ( N `  b
)  =  U ) )  <->  ( b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  ( N `
 b )  =  U ) )
3126, 30syl6bb 265 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  (
( b  e.  ~P U  /\  ( b  e. 
Fin  /\  ( N `  b )  =  U ) )  <->  ( b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  ( N `
 b )  =  U ) ) )
3231rexbidv2 2896 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( E. b  e.  ~P  U ( b  e. 
Fin  /\  ( N `  b )  =  U )  <->  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ( N `  b )  =  U ) )
334, 32bitrd 257 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( X  e. LFinGen  <->  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ( N `  b )  =  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   E.wrex 2737    i^i cin 3402    C_ wss 3403   ~Pcpw 3950   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   Fincfn 7566   Basecbs 15114   ↾s cress 15115   LModclmod 18084   LSubSpclss 18148   LSpanclspn 18187  LFinGenclfig 35919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-0g 15333  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-subg 16807  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-lmod 18086  df-lss 18149  df-lsp 18188  df-lfig 35920
This theorem is referenced by:  islssfgi  35924  lsmfgcl  35926  islnm2  35930  lmhmfgima  35936
  Copyright terms: Public domain W3C validator