Theorem islssfg 35972

Description: Property of a finitely generated left (sub-)module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islssfg.x	|- X = ( W ↾s U )
islssfg.s	|- S = ( LSubSp ` W )
islssfg.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
islssfg	|- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( X e. LFinGen <-> E. b e. ~P U ( b e. Fin /\ ( N ` b ) = U ) ) )

Distinct variable groups:   W, b   X, b   S, b   U, b   N, b

Proof of Theorem islssfg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2461	. . . . . . 7 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		islssfg.s	. . . . . . 7 |- S = ( LSubSp ` W )
3	1, 2	lssss 18208	. . . . . 6 |- ( U e. S -> U C_ ( Base ` W ) )
4		islssfg.x	. . . . . . 7 |- X = ( W ↾s U )
5	4, 1	ressbas2 15228	. . . . . 6 |- ( U C_ ( Base ` W ) -> U = ( Base ` X ) )
6	3, 5	syl 17	. . . . 5 |- ( U e. S -> U = ( Base ` X ) )
7	6	pweqd 3967	. . . 4 |- ( U e. S -> ~P U = ~P ( Base ` X ) )
8	7	rexeqdv 3005	. . 3 |- ( U e. S -> ( E. b e. ~P U ( b e. Fin /\ ( ( LSpan ` X ) ` b ) = ( Base ` X ) ) <-> E. b e. ~P ( Base ` X ) ( b e. Fin /\ ( ( LSpan ` X ) ` b ) = ( Base ` X ) ) ) )
9	8	adantl 472	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( E. b e. ~P U ( b e. Fin /\ ( ( LSpan ` X ) ` b ) = ( Base ` X ) ) <-> E. b e. ~P ( Base ` X ) ( b e. Fin /\ ( ( LSpan ` X ) ` b ) = ( Base ` X ) ) ) )
10		elpwi 3971	. . . . . 6 |- ( b e. ~P U -> b C_ U )
11		islssfg.n	. . . . . . . 8 |- N = ( LSpan ` W )
12		eqid 2461	. . . . . . . 8 |- ( LSpan ` X ) = ( LSpan ` X )
13	4, 11, 12, 2	lsslsp 18286	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ b C_ U ) -> ( N ` b ) = ( ( LSpan ` X ) ` b ) )
14	13	3expa 1215	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ b C_ U ) -> ( N ` b ) = ( ( LSpan ` X ) ` b ) )
15	10, 14	sylan2 481	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ b e. ~P U ) -> ( N ` b ) = ( ( LSpan ` X ) ` b ) )
16	6	ad2antlr 738	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ b e. ~P U ) -> U = ( Base ` X ) )
17	15, 16	eqeq12d 2476	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ b e. ~P U ) -> ( ( N ` b ) = U <-> ( ( LSpan ` X ) ` b ) = ( Base ` X ) ) )
18	17	anbi2d 715	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ b e. ~P U ) -> ( ( b e. Fin /\ ( N ` b ) = U ) <-> ( b e. Fin /\ ( ( LSpan ` X ) ` b ) = ( Base ` X ) ) ) )
19	18	rexbidva 2909	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( E. b e. ~P U ( b e. Fin /\ ( N ` b ) = U ) <-> E. b e. ~P U ( b e. Fin /\ ( ( LSpan ` X ) ` b ) = ( Base ` X ) ) ) )
20	4, 2	lsslmod 18231	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> X e. LMod )
21		eqid 2461	. . . 4 |- ( Base ` X ) = ( Base ` X )
22	21, 12	islmodfg 35971	. . 3 |- ( X e. LMod -> ( X e. LFinGen <-> E. b e. ~P ( Base ` X ) ( b e. Fin /\ ( ( LSpan ` X ) ` b ) = ( Base ` X ) ) ) )
23	20, 22	syl 17	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( X e. LFinGen <-> E. b e. ~P ( Base ` X ) ( b e. Fin /\ ( ( LSpan ` X ) ` b ) = ( Base ` X ) ) ) )
24	9, 19, 23	3bitr4rd 294	1 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> ( X e. LFinGen <-> E. b e. ~P U ( b e. Fin /\ ( N ` b ) = U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1454   e. wcel 1897   E.wrex 2749   C_ wss 3415   ~Pcpw 3962   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   Fincfn 7594   Basecbs 15169   ↾_s cress 15170   LModclmod 18139   LSubSpclss 18203   LSpanclspn 18242  LFinGenclfig 35969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-sca 15254  df-vsca 15255  df-0g 15388  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-grp 16721  df-minusg 16722  df-sbg 16723  df-subg 16862  df-mgp 17772  df-ur 17784  df-ring 17830  df-lmod 18141  df-lss 18204  df-lsp 18243  df-lfig 35970

This theorem is referenced by:  islssfg2  35973  lmhmfgsplit  35988