Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islssfg Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem islssfg 35972
Description: Property of a finitely generated left (sub-)module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islssfg.x  |-  X  =  ( Ws  U )
islssfg.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
islssfg.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
islssfg  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( X  e. LFinGen  <->  E. b  e.  ~P  U ( b  e. 
Fin  /\  ( N `  b )  =  U ) ) )
Distinct variable groups:    W, b    X, b    S, b    U, b    N, b

Proof of Theorem islssfg
StepHypRef Expression
1 eqid 2461 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 islssfg.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
31, 2lssss 18208 . . . . . 6  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  ( Base `  W
) )
4 islssfg.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( Ws  U )
54, 1ressbas2 15228 . . . . . 6  |-  ( U 
C_  ( Base `  W
)  ->  U  =  ( Base `  X )
)
63, 5syl 17 . . . . 5  |-  ( U  e.  S  ->  U  =  ( Base `  X
) )
76pweqd 3967 . . . 4  |-  ( U  e.  S  ->  ~P U  =  ~P ( Base `  X ) )
87rexeqdv 3005 . . 3  |-  ( U  e.  S  ->  ( E. b  e.  ~P  U ( b  e. 
Fin  /\  ( ( LSpan `  X ) `  b )  =  (
Base `  X )
)  <->  E. b  e.  ~P  ( Base `  X )
( b  e.  Fin  /\  ( ( LSpan `  X
) `  b )  =  ( Base `  X
) ) ) )
98adantl 472 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( E. b  e.  ~P  U ( b  e. 
Fin  /\  ( ( LSpan `  X ) `  b )  =  (
Base `  X )
)  <->  E. b  e.  ~P  ( Base `  X )
( b  e.  Fin  /\  ( ( LSpan `  X
) `  b )  =  ( Base `  X
) ) ) )
10 elpwi 3971 . . . . . 6  |-  ( b  e.  ~P U  -> 
b  C_  U )
11 islssfg.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( LSpan `  W )
12 eqid 2461 . . . . . . . 8  |-  ( LSpan `  X )  =  (
LSpan `  X )
134, 11, 12, 2lsslsp 18286 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  b  C_  U )  ->  ( N `  b )  =  ( ( LSpan `  X ) `  b
) )
14133expa 1215 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  b  C_  U
)  ->  ( N `  b )  =  ( ( LSpan `  X ) `  b ) )
1510, 14sylan2 481 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  b  e.  ~P U )  ->  ( N `  b )  =  ( ( LSpan `  X ) `  b
) )
166ad2antlr 738 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  b  e.  ~P U )  ->  U  =  ( Base `  X
) )
1715, 16eqeq12d 2476 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  b  e.  ~P U )  ->  (
( N `  b
)  =  U  <->  ( ( LSpan `  X ) `  b )  =  (
Base `  X )
) )
1817anbi2d 715 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  b  e.  ~P U )  ->  (
( b  e.  Fin  /\  ( N `  b
)  =  U )  <-> 
( b  e.  Fin  /\  ( ( LSpan `  X
) `  b )  =  ( Base `  X
) ) ) )
1918rexbidva 2909 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( E. b  e.  ~P  U ( b  e. 
Fin  /\  ( N `  b )  =  U )  <->  E. b  e.  ~P  U ( b  e. 
Fin  /\  ( ( LSpan `  X ) `  b )  =  (
Base `  X )
) ) )
204, 2lsslmod 18231 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  X  e.  LMod )
21 eqid 2461 . . . 4  |-  ( Base `  X )  =  (
Base `  X )
2221, 12islmodfg 35971 . . 3  |-  ( X  e.  LMod  ->  ( X  e. LFinGen 
<->  E. b  e.  ~P  ( Base `  X )
( b  e.  Fin  /\  ( ( LSpan `  X
) `  b )  =  ( Base `  X
) ) ) )
2320, 22syl 17 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( X  e. LFinGen  <->  E. b  e.  ~P  ( Base `  X )
( b  e.  Fin  /\  ( ( LSpan `  X
) `  b )  =  ( Base `  X
) ) ) )
249, 19, 233bitr4rd 294 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( X  e. LFinGen  <->  E. b  e.  ~P  U ( b  e. 
Fin  /\  ( N `  b )  =  U ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897   E.wrex 2749    C_ wss 3415   ~Pcpw 3962   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   Fincfn 7594   Basecbs 15169   ↾s cress 15170   LModclmod 18139   LSubSpclss 18203   LSpanclspn 18242  LFinGenclfig 35969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-sca 15254  df-vsca 15255  df-0g 15388  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-grp 16721  df-minusg 16722  df-sbg 16723  df-subg 16862  df-mgp 17772  df-ur 17784  df-ring 17830  df-lmod 18141  df-lss 18204  df-lsp 18243  df-lfig 35970
This theorem is referenced by:  islssfg2  35973  lmhmfgsplit  35988
  Copyright terms: Public domain W3C validator