MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islss4 Structured version   Unicode version

Theorem islss4 17043
Description: A linear subspace is a subgroup which respects scalar multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
islss4.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
islss4.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
islss4.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
islss4.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
islss4.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
islss4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( U  e.  S  <->  ( U  e.  (SubGrp `  W )  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b
)  e.  U ) ) )
Distinct variable groups:    F, a,
b    W, a, b    B, a, b    V, a, b    .x. , a, b    S, a, b    U, a, b

Proof of Theorem islss4
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islss4.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
21lsssubg 17038 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  e.  (SubGrp `  W )
)
3 islss4.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
4 islss4.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
5 islss4.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  F
)
63, 4, 5, 1lssvscl 17036 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  U ) )  -> 
( a  .x.  b
)  e.  U )
76ralrimivva 2808 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
)
82, 7jca 532 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
) )
9 islss4.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
109subgss 15682 . . . 4  |-  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  ->  U  C_  V
)
1110ad2antrl 727 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
) )  ->  U  C_  V )
12 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
1312subg0cl 15689 . . . . 5  |-  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  ->  ( 0g `  W )  e.  U
)
14 ne0i 3643 . . . . 5  |-  ( ( 0g `  W )  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
1513, 14syl 16 . . . 4  |-  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  ->  U  =/=  (/) )
1615ad2antrl 727 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
) )  ->  U  =/=  (/) )
17 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
1817subgcl 15691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  W )  /\  (
a  .x.  b )  e.  U  /\  c  e.  U )  ->  (
( a  .x.  b
) ( +g  `  W
) c )  e.  U )
19183exp 1186 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  ->  ( (
a  .x.  b )  e.  U  ->  ( c  e.  U  ->  (
( a  .x.  b
) ( +g  `  W
) c )  e.  U ) ) )
2019adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( (
a  .x.  b )  e.  U  ->  ( c  e.  U  ->  (
( a  .x.  b
) ( +g  `  W
) c )  e.  U ) ) )
2120ralrimdv 2805 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( (
a  .x.  b )  e.  U  ->  A. c  e.  U  ( (
a  .x.  b )
( +g  `  W ) c )  e.  U
) )
2221ralimdv 2795 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( A. b  e.  U  (
a  .x.  b )  e.  U  ->  A. b  e.  U  A. c  e.  U  ( (
a  .x.  b )
( +g  `  W ) c )  e.  U
) )
2322ralimdv 2795 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  U  (
a  .x.  b )  e.  U  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  U  A. c  e.  U  ( (
a  .x.  b )
( +g  `  W ) c )  e.  U
) )
2423impr 619 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
) )  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  U  A. c  e.  U  ( (
a  .x.  b )
( +g  `  W ) c )  e.  U
)
253, 5, 9, 17, 4, 1islss 17016 . . 3  |-  ( U  e.  S  <->  ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  A. c  e.  U  ( ( a 
.x.  b ) ( +g  `  W ) c )  e.  U
) )
2611, 16, 24, 25syl3anbrc 1172 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
) )  ->  U  e.  S )
278, 26impbida 828 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( U  e.  S  <->  ( U  e.  (SubGrp `  W )  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b
)  e.  U ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715    C_ wss 3328   (/)c0 3637   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   +g cplusg 14238  Scalarcsca 14241   .scvsca 14242   0gc0g 14378  SubGrpcsubg 15675   LModclmod 16948   LSubSpclss 17013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-0g 14380  df-mnd 15415  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-subg 15678  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-lmod 16950  df-lss 17014
This theorem is referenced by:  lssacs  17048  lmhmima  17128  lmhmpreima  17129  lmhmeql  17136  lsmcl  17164  issubassa2  17415  mplind  17584  dsmmlss  18169
  Copyright terms: Public domain W3C validator