MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islss4 Structured version   Unicode version

Theorem islss4 17403
Description: A linear subspace is a subgroup which respects scalar multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
islss4.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
islss4.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
islss4.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
islss4.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
islss4.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
islss4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( U  e.  S  <->  ( U  e.  (SubGrp `  W )  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b
)  e.  U ) ) )
Distinct variable groups:    F, a,
b    W, a, b    B, a, b    V, a, b    .x. , a, b    S, a, b    U, a, b

Proof of Theorem islss4
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islss4.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
21lsssubg 17398 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  e.  (SubGrp `  W )
)
3 islss4.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
4 islss4.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
5 islss4.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  F
)
63, 4, 5, 1lssvscl 17396 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  U ) )  -> 
( a  .x.  b
)  e.  U )
76ralrimivva 2885 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
)
82, 7jca 532 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
) )
9 islss4.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
109subgss 16004 . . . 4  |-  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  ->  U  C_  V
)
1110ad2antrl 727 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
) )  ->  U  C_  V )
12 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
1312subg0cl 16011 . . . . 5  |-  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  ->  ( 0g `  W )  e.  U
)
14 ne0i 3791 . . . . 5  |-  ( ( 0g `  W )  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
1513, 14syl 16 . . . 4  |-  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  ->  U  =/=  (/) )
1615ad2antrl 727 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
) )  ->  U  =/=  (/) )
17 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
1817subgcl 16013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  W )  /\  (
a  .x.  b )  e.  U  /\  c  e.  U )  ->  (
( a  .x.  b
) ( +g  `  W
) c )  e.  U )
19183exp 1195 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  ->  ( (
a  .x.  b )  e.  U  ->  ( c  e.  U  ->  (
( a  .x.  b
) ( +g  `  W
) c )  e.  U ) ) )
2019adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( (
a  .x.  b )  e.  U  ->  ( c  e.  U  ->  (
( a  .x.  b
) ( +g  `  W
) c )  e.  U ) ) )
2120ralrimdv 2880 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( (
a  .x.  b )  e.  U  ->  A. c  e.  U  ( (
a  .x.  b )
( +g  `  W ) c )  e.  U
) )
2221ralimdv 2874 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( A. b  e.  U  (
a  .x.  b )  e.  U  ->  A. b  e.  U  A. c  e.  U  ( (
a  .x.  b )
( +g  `  W ) c )  e.  U
) )
2322ralimdv 2874 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  U  (
a  .x.  b )  e.  U  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  U  A. c  e.  U  ( (
a  .x.  b )
( +g  `  W ) c )  e.  U
) )
2423impr 619 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
) )  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  U  A. c  e.  U  ( (
a  .x.  b )
( +g  `  W ) c )  e.  U
)
253, 5, 9, 17, 4, 1islss 17376 . . 3  |-  ( U  e.  S  <->  ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  A. c  e.  U  ( ( a 
.x.  b ) ( +g  `  W ) c )  e.  U
) )
2611, 16, 24, 25syl3anbrc 1180 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
) )  ->  U  e.  S )
278, 26impbida 830 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( U  e.  S  <->  ( U  e.  (SubGrp `  W )  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b
)  e.  U ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   Basecbs 14489   +g cplusg 14554  Scalarcsca 14557   .scvsca 14558   0gc0g 14694  SubGrpcsubg 15997   LModclmod 17307   LSubSpclss 17373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-0g 14696  df-mnd 15731  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-sbg 15866  df-subg 16000  df-mgp 16941  df-ur 16953  df-rng 16997  df-lmod 17309  df-lss 17374
This theorem is referenced by:  lssacs  17408  lmhmima  17488  lmhmpreima  17489  lmhmeql  17496  lsmcl  17524  issubassa2  17781  mplind  17954  dsmmlss  18558
  Copyright terms: Public domain W3C validator