MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islss4 Structured version   Unicode version

Theorem islss4 18113
Description: A linear subspace is a subgroup which respects scalar multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
islss4.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
islss4.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
islss4.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
islss4.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
islss4.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
islss4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( U  e.  S  <->  ( U  e.  (SubGrp `  W )  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b
)  e.  U ) ) )
Distinct variable groups:    F, a,
b    W, a, b    B, a, b    V, a, b    .x. , a, b    S, a, b    U, a, b

Proof of Theorem islss4
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islss4.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
21lsssubg 18108 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  e.  (SubGrp `  W )
)
3 islss4.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
4 islss4.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
5 islss4.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  F
)
63, 4, 5, 1lssvscl 18106 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  U ) )  -> 
( a  .x.  b
)  e.  U )
76ralrimivva 2844 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
)
82, 7jca 534 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
) )
9 islss4.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
109subgss 16762 . . . 4  |-  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  ->  U  C_  V
)
1110ad2antrl 732 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
) )  ->  U  C_  V )
12 eqid 2420 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
1312subg0cl 16769 . . . . 5  |-  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  ->  ( 0g `  W )  e.  U
)
14 ne0i 3764 . . . . 5  |-  ( ( 0g `  W )  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
1513, 14syl 17 . . . 4  |-  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  ->  U  =/=  (/) )
1615ad2antrl 732 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
) )  ->  U  =/=  (/) )
17 eqid 2420 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
1817subgcl 16771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  W )  /\  (
a  .x.  b )  e.  U  /\  c  e.  U )  ->  (
( a  .x.  b
) ( +g  `  W
) c )  e.  U )
19183exp 1204 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  ->  ( (
a  .x.  b )  e.  U  ->  ( c  e.  U  ->  (
( a  .x.  b
) ( +g  `  W
) c )  e.  U ) ) )
2019adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( (
a  .x.  b )  e.  U  ->  ( c  e.  U  ->  (
( a  .x.  b
) ( +g  `  W
) c )  e.  U ) ) )
2120ralrimdv 2839 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( (
a  .x.  b )  e.  U  ->  A. c  e.  U  ( (
a  .x.  b )
( +g  `  W ) c )  e.  U
) )
2221ralimdv 2833 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( A. b  e.  U  (
a  .x.  b )  e.  U  ->  A. b  e.  U  A. c  e.  U  ( (
a  .x.  b )
( +g  `  W ) c )  e.  U
) )
2322ralimdv 2833 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  U  (
a  .x.  b )  e.  U  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  U  A. c  e.  U  ( (
a  .x.  b )
( +g  `  W ) c )  e.  U
) )
2423impr 623 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
) )  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  U  A. c  e.  U  ( (
a  .x.  b )
( +g  `  W ) c )  e.  U
)
253, 5, 9, 17, 4, 1islss 18086 . . 3  |-  ( U  e.  S  <->  ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  A. c  e.  U  ( ( a 
.x.  b ) ( +g  `  W ) c )  e.  U
) )
2611, 16, 24, 25syl3anbrc 1189 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
) )  ->  U  e.  S )
278, 26impbida 840 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( U  e.  S  <->  ( U  e.  (SubGrp `  W )  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b
)  e.  U ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   A.wral 2773    C_ wss 3433   (/)c0 3758   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   Basecbs 15073   +g cplusg 15142  Scalarcsca 15145   .scvsca 15146   0gc0g 15290  SubGrpcsubg 16755   LModclmod 18019   LSubSpclss 18083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-ress 15080  df-plusg 15155  df-0g 15292  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-grp 16617  df-minusg 16618  df-sbg 16619  df-subg 16758  df-mgp 17652  df-ur 17664  df-ring 17710  df-lmod 18021  df-lss 18084
This theorem is referenced by:  lssacs  18118  lmhmima  18198  lmhmpreima  18199  lmhmeql  18206  lsmcl  18234  issubassa2  18497  mplind  18653  dsmmlss  19231
  Copyright terms: Public domain W3C validator