MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islss Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem islss 18236
Description: The predicate "is a subspace" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssset.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lssset.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
lssset.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lssset.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lssset.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lssset.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
islss  |-  ( U  e.  S  <->  ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( ( x 
.x.  a )  .+  b )  e.  U
) )
Distinct variable groups:    x, B    a, b, x, W    U, a, b, x
Allowed substitution hints:    B( a, b)    .+ ( x, a, b)    S( x, a, b)    .x. ( x, a, b)    F( x, a, b)    V( x, a, b)

Proof of Theorem islss
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5906 . . 3  |-  ( U  e.  ( LSubSp `  W
)  ->  W  e.  _V )
2 lssset.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
31, 2eleq2s 2567 . 2  |-  ( U  e.  S  ->  W  e.  _V )
4 lssset.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 fvprc 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (
Base `  W )  =  (/) )
64, 5syl5eq 2517 . . . . . . . 8  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  V  =  (/) )
76sseq2d 3446 . . . . . . 7  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( U  C_  V  <->  U  C_  (/) ) )
87biimpcd 232 . . . . . 6  |-  ( U 
C_  V  ->  ( -.  W  e.  _V  ->  U  C_  (/) ) )
9 ss0 3768 . . . . . 6  |-  ( U 
C_  (/)  ->  U  =  (/) )
108, 9syl6 33 . . . . 5  |-  ( U 
C_  V  ->  ( -.  W  e.  _V  ->  U  =  (/) ) )
1110necon1ad 2660 . . . 4  |-  ( U 
C_  V  ->  ( U  =/=  (/)  ->  W  e.  _V ) )
1211imp 436 . . 3  |-  ( ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/) )  ->  W  e.  _V )
13123adant3 1050 . 2  |-  ( ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  U
)  ->  W  e.  _V )
14 lssset.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
15 lssset.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  F
)
16 lssset.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  W )
17 lssset.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
1814, 15, 4, 16, 17, 2lssset 18235 . . . 4  |-  ( W  e.  _V  ->  S  =  { s  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  A. x  e.  B  A. a  e.  s  A. b  e.  s  (
( x  .x.  a
)  .+  b )  e.  s } )
1918eleq2d 2534 . . 3  |-  ( W  e.  _V  ->  ( U  e.  S  <->  U  e.  { s  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  A. x  e.  B  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  s } ) )
20 eldifsn 4088 . . . . . 6  |-  ( U  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  <->  ( U  e.  ~P V  /\  U  =/=  (/) ) )
21 fvex 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  W )  e.  _V
224, 21eqeltri 2545 . . . . . . . 8  |-  V  e. 
_V
2322elpw2 4565 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  ~P V  <->  U  C_  V
)
2423anbi1i 709 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  ~P V  /\  U  =/=  (/) )  <->  ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/) ) )
2520, 24bitri 257 . . . . 5  |-  ( U  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  <->  ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/) ) )
2625anbi1i 709 . . . 4  |-  ( ( U  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  U
)  <->  ( ( U 
C_  V  /\  U  =/=  (/) )  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  (
( x  .x.  a
)  .+  b )  e.  U ) )
27 eleq2 2538 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  U  ->  (
( ( x  .x.  a )  .+  b
)  e.  s  <->  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  U
) )
2827raleqbi1dv 2981 . . . . . . 7  |-  ( s  =  U  ->  ( A. b  e.  s 
( ( x  .x.  a )  .+  b
)  e.  s  <->  A. b  e.  U  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  U
) )
2928raleqbi1dv 2981 . . . . . 6  |-  ( s  =  U  ->  ( A. a  e.  s  A. b  e.  s 
( ( x  .x.  a )  .+  b
)  e.  s  <->  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  U
) )
3029ralbidv 2829 . . . . 5  |-  ( s  =  U  ->  ( A. x  e.  B  A. a  e.  s  A. b  e.  s 
( ( x  .x.  a )  .+  b
)  e.  s  <->  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  U
) )
3130elrab 3184 . . . 4  |-  ( U  e.  { s  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  | 
A. x  e.  B  A. a  e.  s  A. b  e.  s 
( ( x  .x.  a )  .+  b
)  e.  s }  <-> 
( U  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  (
( x  .x.  a
)  .+  b )  e.  U ) )
32 df-3an 1009 . . . 4  |-  ( ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  U
)  <->  ( ( U 
C_  V  /\  U  =/=  (/) )  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  (
( x  .x.  a
)  .+  b )  e.  U ) )
3326, 31, 323bitr4i 285 . . 3  |-  ( U  e.  { s  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  | 
A. x  e.  B  A. a  e.  s  A. b  e.  s 
( ( x  .x.  a )  .+  b
)  e.  s }  <-> 
( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  (
( x  .x.  a
)  .+  b )  e.  U ) )
3419, 33syl6bb 269 . 2  |-  ( W  e.  _V  ->  ( U  e.  S  <->  ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( ( x 
.x.  a )  .+  b )  e.  U
) ) )
353, 13, 34pm5.21nii 360 1  |-  ( U  e.  S  <->  ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( ( x 
.x.  a )  .+  b )  e.  U
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Basecbs 15199   +g cplusg 15268  Scalarcsca 15271   .scvsca 15272   LSubSpclss 18233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fv 5597  df-ov 6311  df-lss 18234
This theorem is referenced by:  islssd  18237  lssss  18238  lssn0  18242  lsscl  18244  islss4  18263  lsspropd  18318  islidl  18512  ocvlss  19312  lkrlss  32732  lclkr  35172  lclkrs  35178  lcfr  35224
  Copyright terms: Public domain W3C validator