Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islsati Structured version   Unicode version

Theorem islsati 35171
Description: A 1-dim subspace (atom) (of a left module or left vector space) equals the span of some vector. (Contributed by NM, 1-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
islsati.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
islsati.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
islsati.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
Assertion
Ref Expression
islsati  |-  ( ( W  e.  X  /\  U  e.  A )  ->  E. v  e.  V  U  =  ( N `  { v } ) )
Distinct variable groups:    v, N    v, U    v, V    v, W    v, X
Allowed substitution hint:    A( v)

Proof of Theorem islsati
StepHypRef Expression
1 difss 3562 . 2  |-  ( V 
\  { ( 0g
`  W ) } )  C_  V
2 islsati.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 islsati.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 eqid 2396 . . . 4  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
5 islsati.a . . . 4  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
62, 3, 4, 5islsat 35168 . . 3  |-  ( W  e.  X  ->  ( U  e.  A  <->  E. v  e.  ( V  \  {
( 0g `  W
) } ) U  =  ( N `  { v } ) ) )
76biimpa 482 . 2  |-  ( ( W  e.  X  /\  U  e.  A )  ->  E. v  e.  ( V  \  { ( 0g `  W ) } ) U  =  ( N `  {
v } ) )
8 ssrexv 3496 . 2  |-  ( ( V  \  { ( 0g `  W ) } )  C_  V  ->  ( E. v  e.  ( V  \  {
( 0g `  W
) } ) U  =  ( N `  { v } )  ->  E. v  e.  V  U  =  ( N `  { v } ) ) )
91, 7, 8mpsyl 63 1  |-  ( ( W  e.  X  /\  U  e.  A )  ->  E. v  e.  V  U  =  ( N `  { v } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836   E.wrex 2747    \ cdif 3403    C_ wss 3406   {csn 3961   ` cfv 5513   Basecbs 14657   0gc0g 14870   LSpanclspn 17753  LSAtomsclsa 35151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-ral 2751  df-rex 2752  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4181  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-id 4726  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-fv 5521  df-lsatoms 35153
This theorem is referenced by:  lsmsatcv  35187  dihjat2  37610  dvh4dimlem  37622  lcfl8  37681  mapdval2N  37809  mapdspex  37847  hdmaprnlem16N  38044
  Copyright terms: Public domain W3C validator