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Theorem islptre 37796
Description: An equivalence condition for a limit point w.r.t. the standard topology on the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islptre.1  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
islptre.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
islptre.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
islptre  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  A. a  e.  RR*  A. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    A, a,
b    B, a, b    J, a, b    ph, a, b

Proof of Theorem islptre
Dummy variables  n  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islptre.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
2 retopon 21862 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
31, 2eqeltri 2545 . . . . 5  |-  J  e.  (TopOn `  RR )
43topontopi 20023 . . . 4  |-  J  e. 
Top
54a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
6 islptre.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
7 islptre.3 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
83toponunii 20024 . . . 4  |-  RR  =  U. J
98islp2 20238 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
105, 6, 7, 9syl3anc 1292 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
11 simp1r 1055 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) ( n  i^i  ( A 
\  { B }
) )  =/=  (/) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
12 iooretop 21864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a (,) b )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
1312, 1eleqtrri 2548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a (,) b )  e.  J
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( a (,) b )  e.  J
)
15 snssi 4107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  { B }  C_  ( a (,) b ) )
1615adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  { B }  C_  ( a (,) b ) )
17 ssid 3437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a (,) b )  C_  ( a (,) b
)
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( a (,) b )  C_  (
a (,) b ) )
19 sseq2 3440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( a (,) b )  ->  ( { B }  C_  v  <->  { B }  C_  (
a (,) b ) ) )
20 sseq1 3439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( a (,) b )  ->  (
v  C_  ( a (,) b )  <->  ( a (,) b )  C_  (
a (,) b ) ) )
2119, 20anbi12d 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( a (,) b )  ->  (
( { B }  C_  v  /\  v  C_  ( a (,) b
) )  <->  ( { B }  C_  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( a (,) b ) ) ) )
2221rspcev 3136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a (,) b
)  e.  J  /\  ( { B }  C_  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  (
a (,) b ) ) )  ->  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  ( a (,) b ) ) )
2314, 16, 18, 22syl12anc 1290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  ( a (,) b ) ) )
24 ioossre 11721 . . . . . . . . 9  |-  ( a (,) b )  C_  RR
2523, 24jctil 546 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( (
a (,) b ) 
C_  RR  /\  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  ( a (,) b ) ) ) )
26 elioore 11691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  B  e.  RR )
2726snssd 4108 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  { B }  C_  RR )
2827adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  { B }  C_  RR )
298isnei 20196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { B }  C_  RR )  ->  ( ( a (,) b )  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } )  <->  ( (
a (,) b ) 
C_  RR  /\  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  ( a (,) b ) ) ) ) )
304, 28, 29sylancr 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( (
a (,) b )  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } )  <->  ( (
a (,) b ) 
C_  RR  /\  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  ( a (,) b ) ) ) ) )
3125, 30mpbird 240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( a (,) b )  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )
32313adant1 1048 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) ( n  i^i  ( A 
\  { B }
) )  =/=  (/) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( a (,) b )  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )
33 ineq1 3618 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( a (,) b )  ->  (
n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) ) )
3433neeq1d 2702 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( a (,) b )  ->  (
( n  i^i  ( A  \  { B }
) )  =/=  (/)  <->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
3534rspccva 3135 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/)  /\  ( a (,) b )  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  -> 
( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B }
) )  =/=  (/) )
3611, 32, 35syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) ( n  i^i  ( A 
\  { B }
) )  =/=  (/) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
37363exp 1230 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )  ->  (
( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) ) )
3837ralrimivv 2813 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )  ->  A. a  e.  RR*  A. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
397snssd 4108 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { B }  C_  RR )
408isnei 20196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { B }  C_  RR )  ->  ( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } )  <->  ( n  C_  RR  /\  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) ) ) )
414, 39, 40sylancr 676 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } )  <->  ( n  C_  RR  /\  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) ) ) )
4241simplbda 636 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  ->  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n
) )
431eleq2i 2541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  J  <->  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
4443biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  J  ->  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
45443ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  -> 
v  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
46 simp1 1030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  ->  ph )
47 simp3l 1058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  ->  { B }  C_  v
)
48 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  { B }  C_  v )  ->  { B }  C_  v
)
497adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  { B }  C_  v )  ->  B  e.  RR )
50 snssg 4096 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  e.  v  <->  { B }  C_  v ) )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  { B }  C_  v )  -> 
( B  e.  v  <->  { B }  C_  v
) )
5248, 51mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  { B }  C_  v )  ->  B  e.  v )
5346, 47, 52syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  ->  B  e.  v )
5445, 53jca 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  -> 
( v  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  B  e.  v
) )
55 tg2 20057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  B  e.  v )  ->  E. u  e.  ran  (,) ( B  e.  u  /\  u  C_  v ) )
56 ioof 11757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
57 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
58 ovelrn 6464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( u  e. 
ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  u  =  ( a (,) b ) ) )
5956, 57, 58mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  u  =  ( a (,) b ) )
6059biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  u  =  ( a (,) b ) )
6160adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ran  (,)  /\  ( B  e.  u  /\  u  C_  v ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  u  =  ( a (,) b ) )
62 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  /\  u  =  ( a (,) b ) )  ->  B  e.  u )
63 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  /\  u  =  ( a (,) b ) )  ->  u  =  ( a (,) b
) )
6462, 63eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  /\  u  =  ( a (,) b ) )  ->  B  e.  ( a (,) b
) )
65 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  /\  u  =  ( a (,) b ) )  ->  u  C_  v
)
6663, 65eqsstr3d 3453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  /\  u  =  ( a (,) b ) )  ->  ( a (,) b )  C_  v
)
6764, 66jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  /\  u  =  ( a (,) b ) )  ->  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  v
) )
6867ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  -> 
( u  =  ( a (,) b )  ->  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  v
) ) )
6968adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ran  (,)  /\  ( B  e.  u  /\  u  C_  v ) )  ->  ( u  =  ( a (,) b )  ->  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  v ) ) )
7069reximdv 2857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  ran  (,)  /\  ( B  e.  u  /\  u  C_  v ) )  ->  ( E. b  e.  RR*  u  =  ( a (,) b
)  ->  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  v
) ) )
7170reximdv 2857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ran  (,)  /\  ( B  e.  u  /\  u  C_  v ) )  ->  ( E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  u  =  ( a (,) b )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  v ) ) )
7261, 71mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  ran  (,)  /\  ( B  e.  u  /\  u  C_  v ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  v
) )
7372rexlimiva 2868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. u  e.  ran  (,) ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  v ) )
7454, 55, 733syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  v
) )
75 simpl3r 1086 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  /\  a  e. 
RR* )  ->  v  C_  n )
7675adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n
) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR* )  ->  v  C_  n )
77 sstr 3426 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a (,) b
)  C_  v  /\  v  C_  n )  -> 
( a (,) b
)  C_  n )
7877expcom 442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v 
C_  n  ->  (
( a (,) b
)  C_  v  ->  ( a (,) b ) 
C_  n ) )
7976, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n
) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR* )  ->  (
( a (,) b
)  C_  v  ->  ( a (,) b ) 
C_  n ) )
8079anim2d 575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n
) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR* )  ->  (
( B  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  v
)  ->  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
) ) )
8180reximdva 2858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  /\  a  e. 
RR* )  ->  ( E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  v )  ->  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) ) )
8281reximdva 2858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  -> 
( E. a  e. 
RR*  E. b  e.  RR*  ( B  e.  (
a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  v
)  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
) ) )
8374, 82mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
) )
84833exp 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( v  e.  J  ->  ( ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
) ) ) )
8584rexlimdv 2870 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
) ) )
8685adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  -> 
( E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
) ) )
8742, 86mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
) )
8887adantlr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )
89 nfv 1769 . . . . . . . 8  |-  F/ a
ph
90 nfra1 2785 . . . . . . . 8  |-  F/ a A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
9189, 90nfan 2031 . . . . . . 7  |-  F/ a ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
92 nfv 1769 . . . . . . 7  |-  F/ a  n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { B }
)
9391, 92nfan 2031 . . . . . 6  |-  F/ a ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )
94 nfv 1769 . . . . . 6  |-  F/ a ( n  i^i  ( A  \  { B }
) )  =/=  (/)
95 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ b
ph
96 nfra2 2790 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ b A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
9795, 96nfan 2031 . . . . . . . . . 10  |-  F/ b ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
98 nfv 1769 . . . . . . . . . 10  |-  F/ b  n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { B }
)
9997, 98nfan 2031 . . . . . . . . 9  |-  F/ b ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )
100 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ b  a  e.  RR*
10199, 100nfan 2031 . . . . . . . 8  |-  F/ b ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )
102 nfv 1769 . . . . . . . 8  |-  F/ b ( n  i^i  ( A  \  { B }
) )  =/=  (/)
103 inss1 3643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) ) 
C_  ( a (,) b )
104 simp3r 1059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( a (,) b )  C_  n
)
105103, 104syl5ss 3429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  C_  n )
106 inss2 3644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) ) 
C_  ( A  \  { B } )
107106a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  C_  ( A  \  { B } ) )
108105, 107ssind 3647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  C_  ( n  i^i  ( A  \  { B }
) ) )
109 simpllr 777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  ->  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
1101093ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
111 simp1r 1055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  a  e.  RR* )
112 simp2 1031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  b  e.  RR* )
113111, 112jca 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( a  e. 
RR*  /\  b  e.  RR* ) )
114 simp3l 1058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  B  e.  ( a (,) b ) )
115 rsp2 2780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )  ->  (
( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) ) )
116110, 113, 114, 115syl3c 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
117 ssn0 3770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B }
) )  C_  (
n  i^i  ( A  \  { B } ) )  /\  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )  ->  (
n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
118108, 116, 117syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
1191183exp 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  ->  ( b  e. 
RR*  ->  ( ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n )  -> 
( n  i^i  ( A  \  { B }
) )  =/=  (/) ) ) )
120101, 102, 119rexlimd 2866 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  ->  ( E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
)  ->  ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
121120ex 441 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  ->  ( a  e. 
RR*  ->  ( E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
)  ->  ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) ) )
12293, 94, 121rexlimd 2866 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  ->  ( E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
)  ->  ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
12388, 122mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  ->  ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
124123ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  ->  A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
12538, 124impbida 850 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/)  <->  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) ) )
12610, 125bitrd 261 1  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  A. a  e.  RR*  A. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757    \ cdif 3387    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959    X. cxp 4837   ran crn 4840    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   RR*cxr 9692   (,)cioo 11660   topGenctg 15414   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   neicnei 20190   limPtclp 20227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-ioo 11664  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229
This theorem is referenced by:  lptioo2  37808  lptioo1  37809  lptre2pt  37817
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