Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islptre Structured version   Unicode version

Theorem islptre 36960
Description: An equivalence condition for a limit point w.r.t. the standard topology on the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islptre.1  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
islptre.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
islptre.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
islptre  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  A. a  e.  RR*  A. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    A, a,
b    B, a, b    J, a, b    ph, a, b

Proof of Theorem islptre
Dummy variables  n  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islptre.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
2 retopon 21452 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
31, 2eqeltri 2484 . . . . 5  |-  J  e.  (TopOn `  RR )
43topontopi 19614 . . . 4  |-  J  e. 
Top
54a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
6 islptre.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
7 islptre.3 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
83toponunii 19615 . . . 4  |-  RR  =  U. J
98islp2 19829 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
105, 6, 7, 9syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
11 simp1r 1020 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) ( n  i^i  ( A 
\  { B }
) )  =/=  (/) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
12 iooretop 21455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a (,) b )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
1312, 1eleqtrri 2487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a (,) b )  e.  J
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( a (,) b )  e.  J
)
15 snssi 4113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  { B }  C_  ( a (,) b ) )
1615adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  { B }  C_  ( a (,) b ) )
17 ssid 3458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a (,) b )  C_  ( a (,) b
)
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( a (,) b )  C_  (
a (,) b ) )
19 sseq2 3461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( a (,) b )  ->  ( { B }  C_  v  <->  { B }  C_  (
a (,) b ) ) )
20 sseq1 3460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( a (,) b )  ->  (
v  C_  ( a (,) b )  <->  ( a (,) b )  C_  (
a (,) b ) ) )
2119, 20anbi12d 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( a (,) b )  ->  (
( { B }  C_  v  /\  v  C_  ( a (,) b
) )  <->  ( { B }  C_  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( a (,) b ) ) ) )
2221rspcev 3157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a (,) b
)  e.  J  /\  ( { B }  C_  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  (
a (,) b ) ) )  ->  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  ( a (,) b ) ) )
2314, 16, 18, 22syl12anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  ( a (,) b ) ) )
24 ioossre 11555 . . . . . . . . 9  |-  ( a (,) b )  C_  RR
2523, 24jctil 535 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( (
a (,) b ) 
C_  RR  /\  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  ( a (,) b ) ) ) )
26 elioore 11528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  B  e.  RR )
2726snssd 4114 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  { B }  C_  RR )
2827adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  { B }  C_  RR )
298isnei 19787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { B }  C_  RR )  ->  ( ( a (,) b )  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } )  <->  ( (
a (,) b ) 
C_  RR  /\  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  ( a (,) b ) ) ) ) )
304, 28, 29sylancr 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( (
a (,) b )  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } )  <->  ( (
a (,) b ) 
C_  RR  /\  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  ( a (,) b ) ) ) ) )
3125, 30mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( a (,) b )  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )
32313adant1 1013 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) ( n  i^i  ( A 
\  { B }
) )  =/=  (/) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( a (,) b )  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )
33 ineq1 3631 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( a (,) b )  ->  (
n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) ) )
3433neeq1d 2678 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( a (,) b )  ->  (
( n  i^i  ( A  \  { B }
) )  =/=  (/)  <->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
3534rspccva 3156 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/)  /\  ( a (,) b )  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  -> 
( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B }
) )  =/=  (/) )
3611, 32, 35syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) ( n  i^i  ( A 
\  { B }
) )  =/=  (/) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
37363exp 1194 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )  ->  (
( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) ) )
3837ralrimivv 2821 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )  ->  A. a  e.  RR*  A. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
397snssd 4114 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { B }  C_  RR )
408isnei 19787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { B }  C_  RR )  ->  ( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } )  <->  ( n  C_  RR  /\  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) ) ) )
414, 39, 40sylancr 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } )  <->  ( n  C_  RR  /\  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) ) ) )
4241simplbda 622 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  ->  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n
) )
431eleq2i 2478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  J  <->  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
4443biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  J  ->  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
45443ad2ant2 1017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  -> 
v  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
46 simp1 995 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  ->  ph )
47 simp3l 1023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  ->  { B }  C_  v
)
48 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  { B }  C_  v )  ->  { B }  C_  v
)
497adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  { B }  C_  v )  ->  B  e.  RR )
50 snssg 4102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  e.  v  <->  { B }  C_  v ) )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  { B }  C_  v )  -> 
( B  e.  v  <->  { B }  C_  v
) )
5248, 51mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  { B }  C_  v )  ->  B  e.  v )
5346, 47, 52syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  ->  B  e.  v )
5445, 53jca 530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  -> 
( v  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  B  e.  v
) )
55 tg2 19648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  B  e.  v )  ->  E. u  e.  ran  (,) ( B  e.  u  /\  u  C_  v ) )
56 ioof 11591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
57 ffn 5668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
58 ovelrn 6386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( u  e. 
ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  u  =  ( a (,) b ) ) )
5956, 57, 58mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  u  =  ( a (,) b ) )
6059biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  u  =  ( a (,) b ) )
6160adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ran  (,)  /\  ( B  e.  u  /\  u  C_  v ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  u  =  ( a (,) b ) )
62 simpll 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  /\  u  =  ( a (,) b ) )  ->  B  e.  u )
63 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  /\  u  =  ( a (,) b ) )  ->  u  =  ( a (,) b
) )
6462, 63eleqtrd 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  /\  u  =  ( a (,) b ) )  ->  B  e.  ( a (,) b
) )
65 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  /\  u  =  ( a (,) b ) )  ->  u  C_  v
)
6663, 65eqsstr3d 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  /\  u  =  ( a (,) b ) )  ->  ( a (,) b )  C_  v
)
6764, 66jca 530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  /\  u  =  ( a (,) b ) )  ->  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  v
) )
6867ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  -> 
( u  =  ( a (,) b )  ->  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  v
) ) )
6968adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ran  (,)  /\  ( B  e.  u  /\  u  C_  v ) )  ->  ( u  =  ( a (,) b )  ->  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  v ) ) )
7069reximdv 2875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  ran  (,)  /\  ( B  e.  u  /\  u  C_  v ) )  ->  ( E. b  e.  RR*  u  =  ( a (,) b
)  ->  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  v
) ) )
7170reximdv 2875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ran  (,)  /\  ( B  e.  u  /\  u  C_  v ) )  ->  ( E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  u  =  ( a (,) b )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  v ) ) )
7261, 71mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  ran  (,)  /\  ( B  e.  u  /\  u  C_  v ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  v
) )
7372rexlimiva 2889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. u  e.  ran  (,) ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  v ) )
7454, 55, 733syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  v
) )
75 simpl3r 1051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  /\  a  e. 
RR* )  ->  v  C_  n )
7675adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n
) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR* )  ->  v  C_  n )
77 sstr 3447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a (,) b
)  C_  v  /\  v  C_  n )  -> 
( a (,) b
)  C_  n )
7877expcom 433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v 
C_  n  ->  (
( a (,) b
)  C_  v  ->  ( a (,) b ) 
C_  n ) )
7976, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n
) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR* )  ->  (
( a (,) b
)  C_  v  ->  ( a (,) b ) 
C_  n ) )
8079anim2d 563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n
) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR* )  ->  (
( B  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  v
)  ->  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
) ) )
8180reximdva 2876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  /\  a  e. 
RR* )  ->  ( E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  v )  ->  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) ) )
8281reximdva 2876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  -> 
( E. a  e. 
RR*  E. b  e.  RR*  ( B  e.  (
a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  v
)  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
) ) )
8374, 82mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
) )
84833exp 1194 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( v  e.  J  ->  ( ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
) ) ) )
8584rexlimdv 2891 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
) ) )
8685adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  -> 
( E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
) ) )
8742, 86mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
) )
8887adantlr 713 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )
89 nfv 1726 . . . . . . . 8  |-  F/ a
ph
90 nfra1 2782 . . . . . . . 8  |-  F/ a A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
9189, 90nfan 1954 . . . . . . 7  |-  F/ a ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
92 nfv 1726 . . . . . . 7  |-  F/ a  n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { B }
)
9391, 92nfan 1954 . . . . . 6  |-  F/ a ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )
94 nfv 1726 . . . . . 6  |-  F/ a ( n  i^i  ( A  \  { B }
) )  =/=  (/)
95 nfv 1726 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ b
ph
96 nfra2 2788 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ b A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
9795, 96nfan 1954 . . . . . . . . . 10  |-  F/ b ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
98 nfv 1726 . . . . . . . . . 10  |-  F/ b  n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { B }
)
9997, 98nfan 1954 . . . . . . . . 9  |-  F/ b ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )
100 nfv 1726 . . . . . . . . 9  |-  F/ b  a  e.  RR*
10199, 100nfan 1954 . . . . . . . 8  |-  F/ b ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )
102 nfv 1726 . . . . . . . 8  |-  F/ b ( n  i^i  ( A  \  { B }
) )  =/=  (/)
103 inss1 3656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) ) 
C_  ( a (,) b )
104 simp3r 1024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( a (,) b )  C_  n
)
105103, 104syl5ss 3450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  C_  n )
106 inss2 3657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) ) 
C_  ( A  \  { B } )
107106a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  C_  ( A  \  { B } ) )
108105, 107ssind 3660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  C_  ( n  i^i  ( A  \  { B }
) ) )
109 simpllr 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  ->  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
1101093ad2ant1 1016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
111 simp1r 1020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  a  e.  RR* )
112 simp2 996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  b  e.  RR* )
113111, 112jca 530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( a  e. 
RR*  /\  b  e.  RR* ) )
114 simp3l 1023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  B  e.  ( a (,) b ) )
115 rsp2 2775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )  ->  (
( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) ) )
116110, 113, 114, 115syl3c 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
117 ssn0 3769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B }
) )  C_  (
n  i^i  ( A  \  { B } ) )  /\  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )  ->  (
n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
118108, 116, 117syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
1191183exp 1194 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  ->  ( b  e. 
RR*  ->  ( ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n )  -> 
( n  i^i  ( A  \  { B }
) )  =/=  (/) ) ) )
120101, 102, 119rexlimd 2885 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  ->  ( E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
)  ->  ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
121120ex 432 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  ->  ( a  e. 
RR*  ->  ( E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
)  ->  ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) ) )
12293, 94, 121rexlimd 2885 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  ->  ( E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
)  ->  ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
12388, 122mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  ->  ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
124123ralrimiva 2815 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  ->  A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
12538, 124impbida 831 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/)  <->  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) ) )
12610, 125bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  A. a  e.  RR*  A. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 972    = wceq 1403    e. wcel 1840    =/= wne 2596   A.wral 2751   E.wrex 2752    \ cdif 3408    i^i cin 3410    C_ wss 3411   (/)c0 3735   ~Pcpw 3952   {csn 3969    X. cxp 4938   ran crn 4941    Fn wfn 5518   -->wf 5519   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   RRcr 9439   RR*cxr 9575   (,)cioo 11498   topGenctg 14942   Topctop 19576  TopOnctopon 19577   neicnei 19781   limPtclp 19818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-iin 4271  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-sup 7853  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-q 11144  df-ioo 11502  df-topgen 14948  df-top 19581  df-bases 19583  df-topon 19584  df-cld 19702  df-ntr 19703  df-cls 19704  df-nei 19782  df-lp 19820
This theorem is referenced by:  lptioo2  36972  lptioo1  36973  lptre2pt  36981
  Copyright terms: Public domain W3C validator