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Theorem islptre 31484
Description: An equivalence condition for a limit point w.r.t. the standard topology on the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islptre.1  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
islptre.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
islptre.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
islptre  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  A. a  e.  RR*  A. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    A, a,
b    B, a, b    J, a, b    ph, a, b

Proof of Theorem islptre
Dummy variables  n  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islptre.1 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
2 retopon 21138 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
31, 2eqeltri 2551 . . . . . . 7  |-  J  e.  (TopOn `  RR )
4 istopon 19295 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  RR ) 
<->  ( J  e.  Top  /\  RR  =  U. J
) )
53, 4mpbi 208 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  /\  RR  =  U. J )
65simpli 458 . . . . 5  |-  J  e. 
Top
76a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
8 islptre.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
9 islptre.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
107, 8, 93jca 1176 . . 3  |-  ( ph  ->  ( J  e.  Top  /\  A  C_  RR  /\  B  e.  RR ) )
115simpri 462 . . . 4  |-  RR  =  U. J
1211islp2 19514 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
1310, 12syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
14 simp1r 1021 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) ( n  i^i  ( A 
\  { B }
) )  =/=  (/) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
15 ioossre 11598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a (,) b )  C_  RR
1615a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( a (,) b )  C_  RR )
17 iooretop 21141 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a (,) b )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
1817, 1eleqtrri 2554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a (,) b )  e.  J
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( a (,) b )  e.  J
)
20 snssi 4177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  { B }  C_  ( a (,) b ) )
2120adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  { B }  C_  ( a (,) b ) )
22 ssid 3528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a (,) b )  C_  ( a (,) b
)
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( a (,) b )  C_  (
a (,) b ) )
2419, 21, 23jca32 535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( (
a (,) b )  e.  J  /\  ( { B }  C_  (
a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  (
a (,) b ) ) ) )
25 sseq2 3531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( a (,) b )  ->  ( { B }  C_  v  <->  { B }  C_  (
a (,) b ) ) )
26 sseq1 3530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( a (,) b )  ->  (
v  C_  ( a (,) b )  <->  ( a (,) b )  C_  (
a (,) b ) ) )
2725, 26anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( a (,) b )  ->  (
( { B }  C_  v  /\  v  C_  ( a (,) b
) )  <->  ( { B }  C_  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( a (,) b ) ) ) )
2827rspcev 3219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a (,) b
)  e.  J  /\  ( { B }  C_  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  (
a (,) b ) ) )  ->  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  ( a (,) b ) ) )
2924, 28syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  ( a (,) b ) ) )
3016, 29jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( (
a (,) b ) 
C_  RR  /\  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  ( a (,) b ) ) ) )
316a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  J  e.  Top )
32 elioore 11571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  B  e.  RR )
33 snssi 4177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  RR  ->  { B }  C_  RR )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  { B }  C_  RR )
3534adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  { B }  C_  RR )
3631, 35jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( J  e.  Top  /\  { B }  C_  RR ) )
3711isnei 19472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { B }  C_  RR )  ->  ( ( a (,) b )  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } )  <->  ( (
a (,) b ) 
C_  RR  /\  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  ( a (,) b ) ) ) ) )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( (
a (,) b )  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } )  <->  ( (
a (,) b ) 
C_  RR  /\  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  ( a (,) b ) ) ) ) )
3930, 38mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( a (,) b )  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )
40393adant1 1014 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) ( n  i^i  ( A 
\  { B }
) )  =/=  (/) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( a (,) b )  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )
4114, 40jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) ( n  i^i  ( A 
\  { B }
) )  =/=  (/) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) ( n  i^i  ( A 
\  { B }
) )  =/=  (/)  /\  (
a (,) b )  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) ) )
42 ineq1 3698 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( a (,) b )  ->  (
n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) ) )
4342neeq1d 2744 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( a (,) b )  ->  (
( n  i^i  ( A  \  { B }
) )  =/=  (/)  <->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
4443rspccva 3218 . . . . . . 7  |-  ( ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/)  /\  ( a (,) b )  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  -> 
( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B }
) )  =/=  (/) )
4541, 44syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) ( n  i^i  ( A 
\  { B }
) )  =/=  (/) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
46453exp 1195 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )  ->  (
( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) ) )
4746ralrimivv 2887 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )  ->  A. a  e.  RR*  A. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
4847ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/)  ->  A. a  e.  RR*  A. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) ) )
49 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  ->  ph )
50 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  ->  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )
5149, 50jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  ->  ( ph  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) ) )
529, 33syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { B }  C_  RR )
537, 52jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( J  e.  Top  /\ 
{ B }  C_  RR ) )
5411isnei 19472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { B }  C_  RR )  ->  ( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } )  <->  ( n  C_  RR  /\  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) ) ) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } )  <->  ( n  C_  RR  /\  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) ) ) )
5655biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  -> 
( n  C_  RR  /\ 
E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n
) ) )
5756simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  ->  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n
) )
581eleq2i 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  J  <->  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
5958biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  J  ->  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
6059adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n
) )  ->  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
61603adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  -> 
v  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
62 simp1 996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  ->  ph )
63 simp3l 1024 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  ->  { B }  C_  v
)
6462, 63jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  -> 
( ph  /\  { B }  C_  v ) )
65 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  { B }  C_  v )  ->  { B }  C_  v
)
669adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  { B }  C_  v )  ->  B  e.  RR )
67 snssg 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  e.  v  <->  { B }  C_  v ) )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  { B }  C_  v )  -> 
( B  e.  v  <->  { B }  C_  v
) )
6965, 68mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  { B }  C_  v )  ->  B  e.  v )
7064, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  ->  B  e.  v )
7161, 70jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  -> 
( v  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  B  e.  v
) )
72 tg2 19335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  B  e.  v )  ->  E. u  e.  ran  (,) ( B  e.  u  /\  u  C_  v ) )
73 ioof 11634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
74 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
75 ovelrn 6446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( u  e. 
ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  u  =  ( a (,) b ) ) )
7673, 74, 75mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  u  =  ( a (,) b ) )
7776biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  u  =  ( a (,) b ) )
7877adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  ran  (,)  /\  ( B  e.  u  /\  u  C_  v ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  u  =  ( a (,) b ) )
79 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  /\  u  =  ( a (,) b ) )  ->  B  e.  u )
80 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  /\  u  =  ( a (,) b ) )  ->  u  =  ( a (,) b
) )
8179, 80eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  /\  u  =  ( a (,) b ) )  ->  B  e.  ( a (,) b
) )
8280eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  /\  u  =  ( a (,) b ) )  ->  ( a (,) b )  =  u )
83 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  /\  u  =  ( a (,) b ) )  ->  u  C_  v
)
8482, 83eqsstrd 3543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  /\  u  =  ( a (,) b ) )  ->  ( a (,) b )  C_  v
)
8581, 84jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  /\  u  =  ( a (,) b ) )  ->  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  v
) )
8685ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  -> 
( u  =  ( a (,) b )  ->  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  v
) ) )
8786adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  e.  ran  (,)  /\  ( B  e.  u  /\  u  C_  v ) )  ->  ( u  =  ( a (,) b )  ->  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  v ) ) )
8887reximdv 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  ran  (,)  /\  ( B  e.  u  /\  u  C_  v ) )  ->  ( E. b  e.  RR*  u  =  ( a (,) b
)  ->  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  v
) ) )
8988reximdv 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  ran  (,)  /\  ( B  e.  u  /\  u  C_  v ) )  ->  ( E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  u  =  ( a (,) b )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  v ) ) )
9078, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ran  (,)  /\  ( B  e.  u  /\  u  C_  v ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  v
) )
9190ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  v ) ) )
9291rexlimiv 2953 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. u  e.  ran  (,) ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  v ) )
9372, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  B  e.  v )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  v
) )
9471, 93syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  v
) )
95 simpl3r 1052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  /\  a  e. 
RR* )  ->  v  C_  n )
9695adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n
) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR* )  ->  v  C_  n )
97 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  C_  n  /\  ( a (,) b
)  C_  v )  ->  ( a (,) b
)  C_  v )
98 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  C_  n  /\  ( a (,) b
)  C_  v )  ->  v  C_  n )
9997, 98jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  C_  n  /\  ( a (,) b
)  C_  v )  ->  ( ( a (,) b )  C_  v  /\  v  C_  n ) )
100 sstr 3517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a (,) b
)  C_  v  /\  v  C_  n )  -> 
( a (,) b
)  C_  n )
10199, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  C_  n  /\  ( a (,) b
)  C_  v )  ->  ( a (,) b
)  C_  n )
102101ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v 
C_  n  ->  (
( a (,) b
)  C_  v  ->  ( a (,) b ) 
C_  n ) )
10396, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n
) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR* )  ->  (
( a (,) b
)  C_  v  ->  ( a (,) b ) 
C_  n ) )
104103anim2d 565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n
) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR* )  ->  (
( B  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  v
)  ->  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
) ) )
105104reximdva 2942 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  /\  a  e. 
RR* )  ->  ( E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  v )  ->  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) ) )
106105reximdva 2942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  -> 
( E. a  e. 
RR*  E. b  e.  RR*  ( B  e.  (
a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  v
)  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
) ) )
10794, 106mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
) )
1081073exp 1195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( v  e.  J  ->  ( ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
) ) ) )
109108rexlimdv 2957 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
) ) )
110109adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  -> 
( E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
) ) )
11157, 110mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
) )
11251, 111syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )
113 nfv 1683 . . . . . . . . 9  |-  F/ a
ph
114 nfra1 2848 . . . . . . . . 9  |-  F/ a A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
115113, 114nfan 1875 . . . . . . . 8  |-  F/ a ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
116 nfv 1683 . . . . . . . 8  |-  F/ a  n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { B }
)
117115, 116nfan 1875 . . . . . . 7  |-  F/ a ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )
118 nfv 1683 . . . . . . 7  |-  F/ a ( n  i^i  ( A  \  { B }
) )  =/=  (/)
119 nfv 1683 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ b
ph
120 nfra2 2854 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ b A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
121119, 120nfan 1875 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ b ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
122 nfv 1683 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ b  n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { B }
)
123121, 122nfan 1875 . . . . . . . . . 10  |-  F/ b ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )
124 nfv 1683 . . . . . . . . . 10  |-  F/ b  a  e.  RR*
125123, 124nfan 1875 . . . . . . . . 9  |-  F/ b ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )
126 nfv 1683 . . . . . . . . 9  |-  F/ b ( n  i^i  ( A  \  { B }
) )  =/=  (/)
127 inss1 3723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) ) 
C_  ( a (,) b )
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  C_  ( a (,) b
) )
129 simp3r 1025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( a (,) b )  C_  n
)
130128, 129jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) ) 
C_  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )
131 sstr 3517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B }
) )  C_  (
a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  n
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) ) 
C_  n )
132130, 131syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  C_  n )
133 inss2 3724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) ) 
C_  ( A  \  { B } )
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  C_  ( A  \  { B } ) )
135132, 134ssind 3727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  C_  ( n  i^i  ( A  \  { B }
) ) )
136 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  ->  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
1371363ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
138 simp1r 1021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  a  e.  RR* )
139 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  b  e.  RR* )
140138, 139jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( a  e. 
RR*  /\  b  e.  RR* ) )
141 simp3l 1024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  B  e.  ( a (,) b ) )
142137, 140, 141jca31 534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( ( A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  B  e.  ( a (,) b ) ) )
143 rsp2 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )  ->  (
( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) ) )
144143imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )
)  ->  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
145144imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. a  e. 
RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  (
a (,) b )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  B  e.  ( a (,) b ) )  -> 
( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B }
) )  =/=  (/) )
146142, 145syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
147135, 146jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) ) 
C_  ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  /\  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B }
) )  =/=  (/) ) )
148 ssn0 3823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B }
) )  C_  (
n  i^i  ( A  \  { B } ) )  /\  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )  ->  (
n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
149147, 148syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
1501493exp 1195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  ->  ( b  e. 
RR*  ->  ( ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n )  -> 
( n  i^i  ( A  \  { B }
) )  =/=  (/) ) ) )
151125, 126, 150rexlimd 2951 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  ->  ( E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
)  ->  ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
152151ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  ->  ( a  e. 
RR*  ->  ( E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
)  ->  ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) ) )
153117, 118, 152rexlimd 2951 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  ->  ( E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
)  ->  ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
154112, 153mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  ->  ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
155154ralrimiva 2881 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  ->  A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
156155ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. a  e. 
RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  (
a (,) b )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )  ->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
15748, 156impbid 191 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/)  <->  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) ) )
15813, 157bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  A. a  e.  RR*  A. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818    \ cdif 3478    i^i cin 3480    C_ wss 3481   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   {csn 4033   U.cuni 4251    X. cxp 5003   ran crn 5006    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   RR*cxr 9639   (,)cioo 11541   topGenctg 14710   Topctop 19263  TopOnctopon 19264   neicnei 19466   limPtclp 19503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-ioo 11545  df-topgen 14716  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505
This theorem is referenced by:  lptioo2  31496  lptioo1  31497  lptre2pt  31505
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