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Theorem islptre 37709
Description: An equivalence condition for a limit point w.r.t. the standard topology on the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islptre.1  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
islptre.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
islptre.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
islptre  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  A. a  e.  RR*  A. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    A, a,
b    B, a, b    J, a, b    ph, a, b

Proof of Theorem islptre
Dummy variables  n  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islptre.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
2 retopon 21796 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
31, 2eqeltri 2527 . . . . 5  |-  J  e.  (TopOn `  RR )
43topontopi 19958 . . . 4  |-  J  e. 
Top
54a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
6 islptre.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
7 islptre.3 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
83toponunii 19959 . . . 4  |-  RR  =  U. J
98islp2 20173 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
105, 6, 7, 9syl3anc 1269 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
11 simp1r 1034 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) ( n  i^i  ( A 
\  { B }
) )  =/=  (/) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
12 iooretop 21798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a (,) b )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
1312, 1eleqtrri 2530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a (,) b )  e.  J
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( a (,) b )  e.  J
)
15 snssi 4119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  { B }  C_  ( a (,) b ) )
1615adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  { B }  C_  ( a (,) b ) )
17 ssid 3453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a (,) b )  C_  ( a (,) b
)
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( a (,) b )  C_  (
a (,) b ) )
19 sseq2 3456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( a (,) b )  ->  ( { B }  C_  v  <->  { B }  C_  (
a (,) b ) ) )
20 sseq1 3455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( a (,) b )  ->  (
v  C_  ( a (,) b )  <->  ( a (,) b )  C_  (
a (,) b ) ) )
2119, 20anbi12d 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( a (,) b )  ->  (
( { B }  C_  v  /\  v  C_  ( a (,) b
) )  <->  ( { B }  C_  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( a (,) b ) ) ) )
2221rspcev 3152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a (,) b
)  e.  J  /\  ( { B }  C_  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  (
a (,) b ) ) )  ->  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  ( a (,) b ) ) )
2314, 16, 18, 22syl12anc 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  ( a (,) b ) ) )
24 ioossre 11703 . . . . . . . . 9  |-  ( a (,) b )  C_  RR
2523, 24jctil 540 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( (
a (,) b ) 
C_  RR  /\  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  ( a (,) b ) ) ) )
26 elioore 11673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  B  e.  RR )
2726snssd 4120 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  { B }  C_  RR )
2827adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  { B }  C_  RR )
298isnei 20131 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { B }  C_  RR )  ->  ( ( a (,) b )  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } )  <->  ( (
a (,) b ) 
C_  RR  /\  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  ( a (,) b ) ) ) ) )
304, 28, 29sylancr 670 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( (
a (,) b )  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } )  <->  ( (
a (,) b ) 
C_  RR  /\  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  ( a (,) b ) ) ) ) )
3125, 30mpbird 236 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( a (,) b )  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )
32313adant1 1027 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) ( n  i^i  ( A 
\  { B }
) )  =/=  (/) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( a (,) b )  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )
33 ineq1 3629 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( a (,) b )  ->  (
n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) ) )
3433neeq1d 2685 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( a (,) b )  ->  (
( n  i^i  ( A  \  { B }
) )  =/=  (/)  <->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
3534rspccva 3151 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/)  /\  ( a (,) b )  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  -> 
( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B }
) )  =/=  (/) )
3611, 32, 35syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) ( n  i^i  ( A 
\  { B }
) )  =/=  (/) )  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  B  e.  (
a (,) b ) )  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
37363exp 1208 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )  ->  (
( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) ) )
3837ralrimivv 2810 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )  ->  A. a  e.  RR*  A. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
397snssd 4120 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { B }  C_  RR )
408isnei 20131 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { B }  C_  RR )  ->  ( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } )  <->  ( n  C_  RR  /\  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) ) ) )
414, 39, 40sylancr 670 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } )  <->  ( n  C_  RR  /\  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) ) ) )
4241simplbda 630 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  ->  E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n
) )
431eleq2i 2523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  J  <->  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
4443biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  J  ->  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)
45443ad2ant2 1031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  -> 
v  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
46 simp1 1009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  ->  ph )
47 simp3l 1037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  ->  { B }  C_  v
)
48 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  { B }  C_  v )  ->  { B }  C_  v
)
497adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  { B }  C_  v )  ->  B  e.  RR )
50 snssg 4108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  e.  v  <->  { B }  C_  v ) )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  { B }  C_  v )  -> 
( B  e.  v  <->  { B }  C_  v
) )
5248, 51mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  { B }  C_  v )  ->  B  e.  v )
5346, 47, 52syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  ->  B  e.  v )
5445, 53jca 535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  -> 
( v  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  B  e.  v
) )
55 tg2 19992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  B  e.  v )  ->  E. u  e.  ran  (,) ( B  e.  u  /\  u  C_  v ) )
56 ioof 11739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
57 ffn 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
58 ovelrn 6450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( u  e. 
ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  u  =  ( a (,) b ) ) )
5956, 57, 58mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  u  =  ( a (,) b ) )
6059biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  ran  (,)  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  u  =  ( a (,) b ) )
6160adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ran  (,)  /\  ( B  e.  u  /\  u  C_  v ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  u  =  ( a (,) b ) )
62 simpll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  /\  u  =  ( a (,) b ) )  ->  B  e.  u )
63 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  /\  u  =  ( a (,) b ) )  ->  u  =  ( a (,) b
) )
6462, 63eleqtrd 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  /\  u  =  ( a (,) b ) )  ->  B  e.  ( a (,) b
) )
65 simplr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  /\  u  =  ( a (,) b ) )  ->  u  C_  v
)
6663, 65eqsstr3d 3469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  /\  u  =  ( a (,) b ) )  ->  ( a (,) b )  C_  v
)
6764, 66jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  /\  u  =  ( a (,) b ) )  ->  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  v
) )
6867ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  -> 
( u  =  ( a (,) b )  ->  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  v
) ) )
6968adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  ran  (,)  /\  ( B  e.  u  /\  u  C_  v ) )  ->  ( u  =  ( a (,) b )  ->  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  v ) ) )
7069reximdv 2863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  ran  (,)  /\  ( B  e.  u  /\  u  C_  v ) )  ->  ( E. b  e.  RR*  u  =  ( a (,) b
)  ->  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  v
) ) )
7170reximdv 2863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  ran  (,)  /\  ( B  e.  u  /\  u  C_  v ) )  ->  ( E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  u  =  ( a (,) b )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  v ) ) )
7261, 71mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  ran  (,)  /\  ( B  e.  u  /\  u  C_  v ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  v
) )
7372rexlimiva 2877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. u  e.  ran  (,) ( B  e.  u  /\  u  C_  v )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  v ) )
7454, 55, 733syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  v
) )
75 simpl3r 1065 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  /\  a  e. 
RR* )  ->  v  C_  n )
7675adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n
) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR* )  ->  v  C_  n )
77 sstr 3442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a (,) b
)  C_  v  /\  v  C_  n )  -> 
( a (,) b
)  C_  n )
7877expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v 
C_  n  ->  (
( a (,) b
)  C_  v  ->  ( a (,) b ) 
C_  n ) )
7976, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n
) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR* )  ->  (
( a (,) b
)  C_  v  ->  ( a (,) b ) 
C_  n ) )
8079anim2d 569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n
) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR* )  ->  (
( B  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  v
)  ->  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
) ) )
8180reximdva 2864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  /\  a  e. 
RR* )  ->  ( E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  v )  ->  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) ) )
8281reximdva 2864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  -> 
( E. a  e. 
RR*  E. b  e.  RR*  ( B  e.  (
a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  v
)  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
) ) )
8374, 82mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  v  e.  J  /\  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
) )
84833exp 1208 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( v  e.  J  ->  ( ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
) ) ) )
8584rexlimdv 2879 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
) ) )
8685adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  -> 
( E. v  e.  J  ( { B }  C_  v  /\  v  C_  n )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
) ) )
8742, 86mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
) )
8887adantlr 722 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  ->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )
89 nfv 1763 . . . . . . . 8  |-  F/ a
ph
90 nfra1 2771 . . . . . . . 8  |-  F/ a A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
9189, 90nfan 2013 . . . . . . 7  |-  F/ a ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
92 nfv 1763 . . . . . . 7  |-  F/ a  n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { B }
)
9391, 92nfan 2013 . . . . . 6  |-  F/ a ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )
94 nfv 1763 . . . . . 6  |-  F/ a ( n  i^i  ( A  \  { B }
) )  =/=  (/)
95 nfv 1763 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ b
ph
96 nfra2 2777 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ b A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
9795, 96nfan 2013 . . . . . . . . . 10  |-  F/ b ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
98 nfv 1763 . . . . . . . . . 10  |-  F/ b  n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { B }
)
9997, 98nfan 2013 . . . . . . . . 9  |-  F/ b ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )
100 nfv 1763 . . . . . . . . 9  |-  F/ b  a  e.  RR*
10199, 100nfan 2013 . . . . . . . 8  |-  F/ b ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )
102 nfv 1763 . . . . . . . 8  |-  F/ b ( n  i^i  ( A  \  { B }
) )  =/=  (/)
103 inss1 3654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) ) 
C_  ( a (,) b )
104 simp3r 1038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( a (,) b )  C_  n
)
105103, 104syl5ss 3445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  C_  n )
106 inss2 3655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) ) 
C_  ( A  \  { B } )
107106a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  C_  ( A  \  { B } ) )
108105, 107ssind 3658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  C_  ( n  i^i  ( A  \  { B }
) ) )
109 simpllr 770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  ->  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
1101093ad2ant1 1030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
111 simp1r 1034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  a  e.  RR* )
112 simp2 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  b  e.  RR* )
113111, 112jca 535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( a  e. 
RR*  /\  b  e.  RR* ) )
114 simp3l 1037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  B  e.  ( a (,) b ) )
115 rsp2 2764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )  ->  (
( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) ) )
116110, 113, 114, 115syl3c 63 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
117 ssn0 3769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B }
) )  C_  (
n  i^i  ( A  \  { B } ) )  /\  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )  ->  (
n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
118108, 116, 117syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  /\  b  e.  RR*  /\  ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n ) )  ->  ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
1191183exp 1208 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  ->  ( b  e. 
RR*  ->  ( ( B  e.  ( a (,) b )  /\  (
a (,) b ) 
C_  n )  -> 
( n  i^i  ( A  \  { B }
) )  =/=  (/) ) ) )
120101, 102, 119rexlimd 2873 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  /\  a  e.  RR* )  ->  ( E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
)  ->  ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
121120ex 436 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  ->  ( a  e. 
RR*  ->  ( E. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
)  ->  ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) ) )
12293, 94, 121rexlimd 2873 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  ->  ( E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  n
)  ->  ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
12388, 122mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { B } ) )  ->  ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
124123ralrimiva 2804 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. a  e.  RR*  A. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )  ->  A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) )
12538, 124impbida 844 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { B } ) ( n  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/)  <->  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) ) )
12610, 125bitrd 257 1  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( limPt `  J ) `  A )  <->  A. a  e.  RR*  A. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { B } ) )  =/=  (/) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740    \ cdif 3403    i^i cin 3405    C_ wss 3406   (/)c0 3733   ~Pcpw 3953   {csn 3970    X. cxp 4835   ran crn 4838    Fn wfn 5580   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   RRcr 9543   RR*cxr 9679   (,)cioo 11642   topGenctg 15348   Topctop 19929  TopOnctopon 19930   neicnei 20125   limPtclp 20162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7961  df-inf 7962  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-ioo 11646  df-topgen 15354  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164
This theorem is referenced by:  lptioo2  37721  lptioo1  37722  lptre2pt  37730
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