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Theorem islpolN 37332
Description: The predicate "is a polarity". (Contributed by NM, 24-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lpolset.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lpolset.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lpolset.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lpolset.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lpolset.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lpolset.p  |-  P  =  (LPol `  W )
Assertion
Ref Expression
islpolN  |-  ( W  e.  X  ->  (  ._|_  e.  P  <->  (  ._|_  : ~P V --> S  /\  ( (  ._|_  `  V
)  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, W    x,  ._|_ , y
Allowed substitution hints:    A( y)    P( x, y)    S( x, y)    H( x, y)    V( x, y)    X( x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem islpolN
Dummy variable  o is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lpolset.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lpolset.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
3 lpolset.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
4 lpolset.a . . . 4  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
5 lpolset.h . . . 4  |-  H  =  (LSHyp `  W )
6 lpolset.p . . . 4  |-  P  =  (LPol `  W )
71, 2, 3, 4, 5, 6lpolsetN 37331 . . 3  |-  ( W  e.  X  ->  P  =  { o  e.  ( S  ^m  ~P V
)  |  ( ( o `  V )  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y
( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  ( o `  y )  C_  (
o `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (
o `  x )  e.  H  /\  (
o `  ( o `  x ) )  =  x ) ) } )
87eleq2d 2527 . 2  |-  ( W  e.  X  ->  (  ._|_  e.  P  <->  ._|_  e.  {
o  e.  ( S  ^m  ~P V )  |  ( ( o `
 V )  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  -> 
( o `  y
)  C_  ( o `  x ) )  /\  A. x  e.  A  ( ( o `  x
)  e.  H  /\  ( o `  (
o `  x )
)  =  x ) ) } ) )
9 fveq1 5871 . . . . . 6  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( o `
 V )  =  (  ._|_  `  V ) )
109eqeq1d 2459 . . . . 5  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( ( o `  V )  =  {  .0.  }  <->  ( 
._|_  `  V )  =  {  .0.  } ) )
11 fveq1 5871 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( o `
 y )  =  (  ._|_  `  y ) )
12 fveq1 5871 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( o `
 x )  =  (  ._|_  `  x ) )
1311, 12sseq12d 3528 . . . . . . 7  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( ( o `  y ) 
C_  ( o `  x )  <->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x ) ) )
1413imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( ( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  -> 
( o `  y
)  C_  ( o `  x ) )  <->  ( (
x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
) ) )
15142albidv 1716 . . . . 5  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( A. x A. y ( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (
o `  y )  C_  ( o `  x
) )  <->  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
) ) )
1612eleq1d 2526 . . . . . . 7  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( ( o `  x )  e.  H  <->  (  ._|_  `  x )  e.  H
) )
17 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  ._|_  ->  o  = 
._|_  )
1817, 12fveq12d 5878 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( o `
 ( o `  x ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) ) )
1918eqeq1d 2459 . . . . . . 7  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( ( o `  ( o `
 x ) )  =  x  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) )
2016, 19anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( ( ( o `  x
)  e.  H  /\  ( o `  (
o `  x )
)  =  x )  <-> 
( (  ._|_  `  x
)  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) )
2120ralbidv 2896 . . . . 5  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( A. x  e.  A  (
( o `  x
)  e.  H  /\  ( o `  (
o `  x )
)  =  x )  <->  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x
)  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) )
2210, 15, 213anbi123d 1299 . . . 4  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( ( ( o `  V
)  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (
o `  y )  C_  ( o `  x
) )  /\  A. x  e.  A  (
( o `  x
)  e.  H  /\  ( o `  (
o `  x )
)  =  x ) )  <->  ( (  ._|_  `  V )  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) ) )
2322elrab 3257 . . 3  |-  (  ._|_  e. 
{ o  e.  ( S  ^m  ~P V
)  |  ( ( o `  V )  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y
( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  ( o `  y )  C_  (
o `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (
o `  x )  e.  H  /\  (
o `  ( o `  x ) )  =  x ) ) }  <-> 
(  ._|_  e.  ( S  ^m  ~P V )  /\  ( (  ._|_  `  V )  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) ) )
24 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  e.  _V
252, 24eqeltri 2541 . . . . 5  |-  S  e. 
_V
26 fvex 5882 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  e.  _V
271, 26eqeltri 2541 . . . . . 6  |-  V  e. 
_V
2827pwex 4639 . . . . 5  |-  ~P V  e.  _V
2925, 28elmap 7466 . . . 4  |-  (  ._|_  e.  ( S  ^m  ~P V )  <->  ._|_  : ~P V
--> S )
3029anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( 
._|_  e.  ( S  ^m  ~P V )  /\  ( (  ._|_  `  V
)  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) )  <->  (  ._|_  : ~P V --> S  /\  ( (  ._|_  `  V
)  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) ) )
3123, 30bitri 249 . 2  |-  (  ._|_  e. 
{ o  e.  ( S  ^m  ~P V
)  |  ( ( o `  V )  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y
( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  ( o `  y )  C_  (
o `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (
o `  x )  e.  H  /\  (
o `  ( o `  x ) )  =  x ) ) }  <-> 
(  ._|_  : ~P V --> S  /\  ( (  ._|_  `  V )  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) ) )
328, 31syl6bb 261 1  |-  ( W  e.  X  ->  (  ._|_  e.  P  <->  (  ._|_  : ~P V --> S  /\  ( (  ._|_  `  V
)  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1393    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   {csn 4032   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   Basecbs 14644   0gc0g 14857   LSubSpclss 17705  LSAtomsclsa 34821  LSHypclsh 34822  LPolclpoN 37329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-map 7440  df-lpolN 37330
This theorem is referenced by:  islpoldN  37333  lpolfN  37334  lpolvN  37335  lpolconN  37336  lpolsatN  37337  lpolpolsatN  37338
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