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Theorem islpolN 35128
Description: The predicate "is a polarity". (Contributed by NM, 24-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lpolset.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lpolset.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lpolset.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lpolset.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lpolset.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lpolset.p  |-  P  =  (LPol `  W )
Assertion
Ref Expression
islpolN  |-  ( W  e.  X  ->  (  ._|_  e.  P  <->  (  ._|_  : ~P V --> S  /\  ( (  ._|_  `  V
)  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, W    x,  ._|_ , y
Allowed substitution hints:    A( y)    P( x, y)    S( x, y)    H( x, y)    V( x, y)    X( x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem islpolN
Dummy variable  o is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lpolset.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lpolset.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
3 lpolset.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
4 lpolset.a . . . 4  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
5 lpolset.h . . . 4  |-  H  =  (LSHyp `  W )
6 lpolset.p . . . 4  |-  P  =  (LPol `  W )
71, 2, 3, 4, 5, 6lpolsetN 35127 . . 3  |-  ( W  e.  X  ->  P  =  { o  e.  ( S  ^m  ~P V
)  |  ( ( o `  V )  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y
( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  ( o `  y )  C_  (
o `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (
o `  x )  e.  H  /\  (
o `  ( o `  x ) )  =  x ) ) } )
87eleq2d 2510 . 2  |-  ( W  e.  X  ->  (  ._|_  e.  P  <->  ._|_  e.  {
o  e.  ( S  ^m  ~P V )  |  ( ( o `
 V )  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  -> 
( o `  y
)  C_  ( o `  x ) )  /\  A. x  e.  A  ( ( o `  x
)  e.  H  /\  ( o `  (
o `  x )
)  =  x ) ) } ) )
9 fveq1 5690 . . . . . 6  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( o `
 V )  =  (  ._|_  `  V ) )
109eqeq1d 2451 . . . . 5  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( ( o `  V )  =  {  .0.  }  <->  ( 
._|_  `  V )  =  {  .0.  } ) )
11 fveq1 5690 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( o `
 y )  =  (  ._|_  `  y ) )
12 fveq1 5690 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( o `
 x )  =  (  ._|_  `  x ) )
1311, 12sseq12d 3385 . . . . . . 7  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( ( o `  y ) 
C_  ( o `  x )  <->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x ) ) )
1413imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( ( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  -> 
( o `  y
)  C_  ( o `  x ) )  <->  ( (
x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
) ) )
15142albidv 1681 . . . . 5  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( A. x A. y ( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (
o `  y )  C_  ( o `  x
) )  <->  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
) ) )
1612eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( ( o `  x )  e.  H  <->  (  ._|_  `  x )  e.  H
) )
17 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  ._|_  ->  o  = 
._|_  )
1817, 12fveq12d 5697 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( o `
 ( o `  x ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) ) )
1918eqeq1d 2451 . . . . . . 7  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( ( o `  ( o `
 x ) )  =  x  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) )
2016, 19anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( ( ( o `  x
)  e.  H  /\  ( o `  (
o `  x )
)  =  x )  <-> 
( (  ._|_  `  x
)  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) )
2120ralbidv 2735 . . . . 5  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( A. x  e.  A  (
( o `  x
)  e.  H  /\  ( o `  (
o `  x )
)  =  x )  <->  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x
)  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) )
2210, 15, 213anbi123d 1289 . . . 4  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( ( ( o `  V
)  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (
o `  y )  C_  ( o `  x
) )  /\  A. x  e.  A  (
( o `  x
)  e.  H  /\  ( o `  (
o `  x )
)  =  x ) )  <->  ( (  ._|_  `  V )  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) ) )
2322elrab 3117 . . 3  |-  (  ._|_  e. 
{ o  e.  ( S  ^m  ~P V
)  |  ( ( o `  V )  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y
( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  ( o `  y )  C_  (
o `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (
o `  x )  e.  H  /\  (
o `  ( o `  x ) )  =  x ) ) }  <-> 
(  ._|_  e.  ( S  ^m  ~P V )  /\  ( (  ._|_  `  V )  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) ) )
24 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  e.  _V
252, 24eqeltri 2513 . . . . 5  |-  S  e. 
_V
26 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  e.  _V
271, 26eqeltri 2513 . . . . . 6  |-  V  e. 
_V
2827pwex 4475 . . . . 5  |-  ~P V  e.  _V
2925, 28elmap 7241 . . . 4  |-  (  ._|_  e.  ( S  ^m  ~P V )  <->  ._|_  : ~P V
--> S )
3029anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( 
._|_  e.  ( S  ^m  ~P V )  /\  ( (  ._|_  `  V
)  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) )  <->  (  ._|_  : ~P V --> S  /\  ( (  ._|_  `  V
)  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) ) )
3123, 30bitri 249 . 2  |-  (  ._|_  e. 
{ o  e.  ( S  ^m  ~P V
)  |  ( ( o `  V )  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y
( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  ( o `  y )  C_  (
o `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (
o `  x )  e.  H  /\  (
o `  ( o `  x ) )  =  x ) ) }  <-> 
(  ._|_  : ~P V --> S  /\  ( (  ._|_  `  V )  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) ) )
328, 31syl6bb 261 1  |-  ( W  e.  X  ->  (  ._|_  e.  P  <->  (  ._|_  : ~P V --> S  /\  ( (  ._|_  `  V
)  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   {crab 2719   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   ~Pcpw 3860   {csn 3877   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    ^m cmap 7214   Basecbs 14174   0gc0g 14378   LSubSpclss 17013  LSAtomsclsa 32619  LSHypclsh 32620  LPolclpoN 35125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-map 7216  df-lpolN 35126
This theorem is referenced by:  islpoldN  35129  lpolfN  35130  lpolvN  35131  lpolconN  35132  lpolsatN  35133  lpolpolsatN  35134
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