Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islpln5 Structured version   Unicode version

Theorem islpln5 34961
Description: The predicate "is a lattice plane" in terms of atoms. (Contributed by NM, 24-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islpln5.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
islpln5.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
islpln5.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
islpln5.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
islpln5.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
islpln5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  P  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
Distinct variable groups:    q, p, r, A    B, p, q, r    .\/ , p, q, r    K, p, q, r    .<_ , p, q, r    X, p, q, r
Allowed substitution hints:    P( r, q, p)

Proof of Theorem islpln5
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islpln5.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 islpln5.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 islpln5.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 islpln5.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
5 eqid 2441 . . 3  |-  ( LLines `  K )  =  (
LLines `  K )
6 islpln5.p . . 3  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
71, 2, 3, 4, 5, 6islpln3 34959 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  P  <->  E. y  e.  ( LLines `  K ) E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) )
8 rexcom4 3113 . . . . . . 7  |-  ( E. q  e.  A  E. y E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) )  <->  E. y E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
98rexbii 2943 . . . . . 6  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. y E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) )  <->  E. p  e.  A  E. y E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
10 rexcom4 3113 . . . . . 6  |-  ( E. p  e.  A  E. y E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) )  <->  E. y E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
119, 10bitri 249 . . . . 5  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. y E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) )  <->  E. y E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
12 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A ) )  ->  K  e.  HL )
13 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A ) )  ->  p  e.  A )
14 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A ) )  -> 
q  e.  A )
151, 3, 4hlatjcl 34793 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  q  e.  A )  ->  ( p  .\/  q
)  e.  B )
1612, 13, 14, 15syl3anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A ) )  -> 
( p  .\/  q
)  e.  B )
1716biantrurd 508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A ) )  -> 
( E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  <->  ( (
p  .\/  q )  e.  B  /\  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) )
18 r19.41v 2994 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <-> 
( E. r  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
19 an13 797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. r  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <-> 
( y  =  ( p  .\/  q )  /\  ( p  =/=  q  /\  E. r  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) ) )
2018, 19bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <-> 
( y  =  ( p  .\/  q )  /\  ( p  =/=  q  /\  E. r  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) ) )
2120exbii 1652 . . . . . . . 8  |-  ( E. y E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) )  <->  E. y
( y  =  ( p  .\/  q )  /\  ( p  =/=  q  /\  E. r  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) ) )
22 ovex 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( p 
.\/  q )  e. 
_V
23 an12 795 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =/=  q  /\  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) )  <->  ( y  e.  B  /\  (
p  =/=  q  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) )
24 eleq1 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  (
y  e.  B  <->  ( p  .\/  q )  e.  B
) )
25 breq2 4437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  (
r  .<_  y  <->  r  .<_  ( p  .\/  q ) ) )
2625notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  ( -.  r  .<_  y  <->  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) ) )
27 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  (
y  .\/  r )  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r ) )
2827eqeq2d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  ( X  =  ( y  .\/  r )  <->  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )
2926, 28anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  (
( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) )  <->  ( -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
3029anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  (
( p  =/=  q  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  <->  ( p  =/=  q  /\  ( -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) ) )
31 3anass 976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) )  <->  ( p  =/=  q  /\  ( -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
3230, 31syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  (
( p  =/=  q  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  <->  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
3324, 32anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  (
( y  e.  B  /\  ( p  =/=  q  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) )  <->  ( (
p  .\/  q )  e.  B  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) ) )
3423, 33syl5bb 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  (
( p  =/=  q  /\  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) )  <->  ( (
p  .\/  q )  e.  B  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) ) )
3534rexbidv 2952 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  ( E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) )  <->  E. r  e.  A  ( (
p  .\/  q )  e.  B  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) ) )
36 r19.42v 2996 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) )  <->  ( p  =/=  q  /\  E. r  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) )
37 r19.42v 2996 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. r  e.  A  ( ( p  .\/  q
)  e.  B  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <-> 
( ( p  .\/  q )  e.  B  /\  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
3835, 36, 373bitr3g 287 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  (
( p  =/=  q  /\  E. r  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) )  <->  ( (
p  .\/  q )  e.  B  /\  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) )
3922, 38ceqsexv 3130 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( y  =  ( p  .\/  q
)  /\  ( p  =/=  q  /\  E. r  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) )  <->  ( (
p  .\/  q )  e.  B  /\  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
4021, 39bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( E. y E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) )  <->  ( (
p  .\/  q )  e.  B  /\  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
4117, 40syl6rbbr 264 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A ) )  -> 
( E. y E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <->  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
42412rexbidva 2958 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. y E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
4311, 42syl5rbbr 260 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  <->  E. y E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) ) )
441, 3, 4, 5islln2 34937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  (
y  e.  ( LLines `  K )  <->  ( y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) ) ) )
4544adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( y  e.  (
LLines `  K )  <->  ( y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) ) ) )
4645anbi1d 704 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  <->  ( (
y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r
) ) ) ) )
47 r19.42v 2996 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. p  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  E. q  e.  A  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <-> 
( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
48 r19.42v 2996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. q  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <-> 
( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
4948rexbii 2943 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <->  E. p  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
50 an32 796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  y  =  (
p  .\/  q )
) )  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  <-> 
( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
5147, 49, 503bitr4ri 278 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  y  =  (
p  .\/  q )
) )  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
5246, 51syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( (
y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) ) ) )
5352rexbidv 2952 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. r  e.  A  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  <->  E. r  e.  A  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( (
y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) ) ) )
54 rexcom 3003 . . . . . . . . 9  |-  ( E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <->  E. r  e.  A  E. q  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
5554rexbii 2943 . . . . . . . 8  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <->  E. p  e.  A  E. r  e.  A  E. q  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
56 rexcom 3003 . . . . . . . 8  |-  ( E. p  e.  A  E. r  e.  A  E. q  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <->  E. r  e.  A  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
5755, 56bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <->  E. r  e.  A  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
5853, 57syl6rbbr 264 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) )  <->  E. r  e.  A  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) )
59 r19.42v 2996 . . . . . 6  |-  ( E. r  e.  A  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  <-> 
( y  e.  (
LLines `  K )  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) )
6058, 59syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) )  <->  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) )
6160exbidv 1699 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. y E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <->  E. y ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) )
6243, 61bitrd 253 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  <->  E. y
( y  e.  (
LLines `  K )  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) )
63 df-rex 2797 . . 3  |-  ( E. y  e.  ( LLines `  K ) E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) )  <->  E. y
( y  e.  (
LLines `  K )  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) )
6462, 63syl6rbbr 264 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. y  e.  ( LLines `  K ) E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) )  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
657, 64bitrd 253 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  P  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381   E.wex 1597    e. wcel 1802    =/= wne 2636   E.wrex 2792   class class class wbr 4433   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   Basecbs 14504   lecple 14576   joincjn 15442   Atomscatm 34690   HLchlt 34777   LLinesclln 34917   LPlanesclpl 34918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-preset 15426  df-poset 15444  df-plt 15457  df-lub 15473  df-glb 15474  df-join 15475  df-meet 15476  df-p0 15538  df-lat 15545  df-clat 15607  df-oposet 34603  df-ol 34605  df-oml 34606  df-covers 34693  df-ats 34694  df-atl 34725  df-cvlat 34749  df-hlat 34778  df-llines 34924  df-lplanes 34925
This theorem is referenced by:  islpln2  34962  lplni2  34963
  Copyright terms: Public domain W3C validator