Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islpln5 Structured version   Unicode version

Theorem islpln5 33069
Description: The predicate "is a lattice plane" in terms of atoms. (Contributed by NM, 24-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islpln5.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
islpln5.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
islpln5.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
islpln5.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
islpln5.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
islpln5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  P  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
Distinct variable groups:    q, p, r, A    B, p, q, r    .\/ , p, q, r    K, p, q, r    .<_ , p, q, r    X, p, q, r
Allowed substitution hints:    P( r, q, p)

Proof of Theorem islpln5
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islpln5.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 islpln5.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 islpln5.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 islpln5.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
5 eqid 2422 . . 3  |-  ( LLines `  K )  =  (
LLines `  K )
6 islpln5.p . . 3  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
71, 2, 3, 4, 5, 6islpln3 33067 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  P  <->  E. y  e.  ( LLines `  K ) E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) )
8 rexcom4 3101 . . . . . . 7  |-  ( E. q  e.  A  E. y E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) )  <->  E. y E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
98rexbii 2924 . . . . . 6  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. y E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) )  <->  E. p  e.  A  E. y E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
10 rexcom4 3101 . . . . . 6  |-  ( E. p  e.  A  E. y E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) )  <->  E. y E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
119, 10bitri 252 . . . . 5  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. y E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) )  <->  E. y E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
12 simpll 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A ) )  ->  K  e.  HL )
13 simprl 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A ) )  ->  p  e.  A )
14 simprr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A ) )  -> 
q  e.  A )
151, 3, 4hlatjcl 32901 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  q  e.  A )  ->  ( p  .\/  q
)  e.  B )
1612, 13, 14, 15syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A ) )  -> 
( p  .\/  q
)  e.  B )
1716biantrurd 510 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A ) )  -> 
( E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  <->  ( (
p  .\/  q )  e.  B  /\  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) )
18 r19.41v 2977 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <-> 
( E. r  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
19 an13 806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. r  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <-> 
( y  =  ( p  .\/  q )  /\  ( p  =/=  q  /\  E. r  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) ) )
2018, 19bitri 252 . . . . . . . . 9  |-  ( E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <-> 
( y  =  ( p  .\/  q )  /\  ( p  =/=  q  /\  E. r  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) ) )
2120exbii 1712 . . . . . . . 8  |-  ( E. y E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) )  <->  E. y
( y  =  ( p  .\/  q )  /\  ( p  =/=  q  /\  E. r  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) ) )
22 ovex 6333 . . . . . . . . 9  |-  ( p 
.\/  q )  e. 
_V
23 an12 804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =/=  q  /\  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) )  <->  ( y  e.  B  /\  (
p  =/=  q  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) )
24 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  (
y  e.  B  <->  ( p  .\/  q )  e.  B
) )
25 breq2 4427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  (
r  .<_  y  <->  r  .<_  ( p  .\/  q ) ) )
2625notbid 295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  ( -.  r  .<_  y  <->  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) ) )
27 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  (
y  .\/  r )  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r ) )
2827eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  ( X  =  ( y  .\/  r )  <->  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )
2926, 28anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  (
( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) )  <->  ( -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
3029anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  (
( p  =/=  q  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  <->  ( p  =/=  q  /\  ( -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) ) )
31 3anass 986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) )  <->  ( p  =/=  q  /\  ( -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
3230, 31syl6bbr 266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  (
( p  =/=  q  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  <->  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
3324, 32anbi12d 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  (
( y  e.  B  /\  ( p  =/=  q  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) )  <->  ( (
p  .\/  q )  e.  B  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) ) )
3423, 33syl5bb 260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  (
( p  =/=  q  /\  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) )  <->  ( (
p  .\/  q )  e.  B  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) ) )
3534rexbidv 2936 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  ( E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) )  <->  E. r  e.  A  ( (
p  .\/  q )  e.  B  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) ) )
36 r19.42v 2980 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) )  <->  ( p  =/=  q  /\  E. r  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) )
37 r19.42v 2980 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. r  e.  A  ( ( p  .\/  q
)  e.  B  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <-> 
( ( p  .\/  q )  e.  B  /\  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
3835, 36, 373bitr3g 290 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  (
( p  =/=  q  /\  E. r  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) )  <->  ( (
p  .\/  q )  e.  B  /\  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) )
3922, 38ceqsexv 3118 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( y  =  ( p  .\/  q
)  /\  ( p  =/=  q  /\  E. r  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) )  <->  ( (
p  .\/  q )  e.  B  /\  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
4021, 39bitri 252 . . . . . . 7  |-  ( E. y E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) )  <->  ( (
p  .\/  q )  e.  B  /\  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
4117, 40syl6rbbr 267 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A ) )  -> 
( E. y E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <->  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
42412rexbidva 2942 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. y E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
4311, 42syl5rbbr 263 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  <->  E. y E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) ) )
441, 3, 4, 5islln2 33045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  (
y  e.  ( LLines `  K )  <->  ( y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) ) ) )
4544adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( y  e.  (
LLines `  K )  <->  ( y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) ) ) )
4645anbi1d 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  <->  ( (
y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r
) ) ) ) )
47 r19.42v 2980 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. p  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  E. q  e.  A  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <-> 
( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
48 r19.42v 2980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. q  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <-> 
( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
4948rexbii 2924 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <->  E. p  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
50 an32 805 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  y  =  (
p  .\/  q )
) )  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  <-> 
( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
5147, 49, 503bitr4ri 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  y  =  (
p  .\/  q )
) )  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
5246, 51syl6bb 264 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( (
y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) ) ) )
5352rexbidv 2936 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. r  e.  A  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  <->  E. r  e.  A  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( (
y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) ) ) )
54 rexcom 2987 . . . . . . . . 9  |-  ( E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <->  E. r  e.  A  E. q  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
5554rexbii 2924 . . . . . . . 8  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <->  E. p  e.  A  E. r  e.  A  E. q  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
56 rexcom 2987 . . . . . . . 8  |-  ( E. p  e.  A  E. r  e.  A  E. q  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <->  E. r  e.  A  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
5755, 56bitri 252 . . . . . . 7  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <->  E. r  e.  A  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
5853, 57syl6rbbr 267 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) )  <->  E. r  e.  A  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) )
59 r19.42v 2980 . . . . . 6  |-  ( E. r  e.  A  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  <-> 
( y  e.  (
LLines `  K )  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) )
6058, 59syl6bb 264 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) )  <->  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) )
6160exbidv 1762 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. y E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <->  E. y ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) )
6243, 61bitrd 256 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  <->  E. y
( y  e.  (
LLines `  K )  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) )
63 df-rex 2777 . . 3  |-  ( E. y  e.  ( LLines `  K ) E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) )  <->  E. y
( y  e.  (
LLines `  K )  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) )
6462, 63syl6rbbr 267 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. y  e.  ( LLines `  K ) E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) )  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
657, 64bitrd 256 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  P  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2614   E.wrex 2772   class class class wbr 4423   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15120   lecple 15196   joincjn 16188   Atomscatm 32798   HLchlt 32885   LLinesclln 33025   LPlanesclpl 33026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-preset 16172  df-poset 16190  df-plt 16203  df-lub 16219  df-glb 16220  df-join 16221  df-meet 16222  df-p0 16284  df-lat 16291  df-clat 16353  df-oposet 32711  df-ol 32713  df-oml 32714  df-covers 32801  df-ats 32802  df-atl 32833  df-cvlat 32857  df-hlat 32886  df-llines 33032  df-lplanes 33033
This theorem is referenced by:  islpln2  33070  lplni2  33071
  Copyright terms: Public domain W3C validator