Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islpln3 Structured version   Unicode version

Theorem islpln3 34997
Description: The predicate "is a lattice plane". (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islpln3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
islpln3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
islpln3.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
islpln3.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
islpln3.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
islpln3.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
islpln3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  P  <->  E. y  e.  N  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    y, p, B    K, p, y   
.<_ , p    N, p, y    X, p, y
Allowed substitution hints:    A( y)    P( y, p)    .\/ ( y, p)    .<_ ( y)

Proof of Theorem islpln3
StepHypRef Expression
1 islpln3.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2443 . . 3  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
3 islpln3.n . . 3  |-  N  =  ( LLines `  K )
4 islpln3.p . . 3  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
51, 2, 3, 4islpln4 34995 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  P  <->  E. y  e.  N  y (  <o  `  K ) X ) )
6 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  N
)  ->  K  e.  HL )
71, 3llnbase 34973 . . . . . 6  |-  ( y  e.  N  ->  y  e.  B )
87adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  N
)  ->  y  e.  B )
9 simplr 755 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  N
)  ->  X  e.  B )
10 islpln3.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
11 islpln3.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
12 islpln3.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
131, 10, 11, 2, 12cvrval3 34877 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( y (  <o  `  K ) X  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  (
y  .\/  p )  =  X ) ) )
146, 8, 9, 13syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  N
)  ->  ( y
(  <o  `  K ) X 
<->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  ( y  .\/  p )  =  X ) ) )
15 eqcom 2452 . . . . . . 7  |-  ( ( y  .\/  p )  =  X  <->  X  =  ( y  .\/  p
) )
1615a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  N )  /\  p  e.  A )  ->  (
( y  .\/  p
)  =  X  <->  X  =  ( y  .\/  p
) ) )
1716anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  N )  /\  p  e.  A )  ->  (
( -.  p  .<_  y  /\  ( y  .\/  p )  =  X )  <->  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p
) ) ) )
1817rexbidva 2951 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  N
)  ->  ( E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  ( y  .\/  p
)  =  X )  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p ) ) ) )
1914, 18bitrd 253 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  N
)  ->  ( y
(  <o  `  K ) X 
<->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p ) ) ) )
2019rexbidva 2951 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. y  e.  N  y (  <o  `  K ) X  <->  E. y  e.  N  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p ) ) ) )
215, 20bitrd 253 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  P  <->  E. y  e.  N  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   E.wrex 2794   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14613   lecple 14685   joincjn 15551    <o ccvr 34727   Atomscatm 34728   HLchlt 34815   LLinesclln 34955   LPlanesclpl 34956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-preset 15535  df-poset 15553  df-plt 15566  df-lub 15582  df-glb 15583  df-join 15584  df-meet 15585  df-p0 15647  df-lat 15654  df-clat 15716  df-oposet 34641  df-ol 34643  df-oml 34644  df-covers 34731  df-ats 34732  df-atl 34763  df-cvlat 34787  df-hlat 34816  df-llines 34962  df-lplanes 34963
This theorem is referenced by:  islpln5  34999  lplnexllnN  35028
  Copyright terms: Public domain W3C validator