Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islpln3 Structured version   Unicode version

Theorem islpln3 34204
Description: The predicate "is a lattice plane". (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islpln3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
islpln3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
islpln3.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
islpln3.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
islpln3.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
islpln3.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
islpln3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  P  <->  E. y  e.  N  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    y, p, B    K, p, y   
.<_ , p    N, p, y    X, p, y
Allowed substitution hints:    A( y)    P( y, p)    .\/ ( y, p)    .<_ ( y)

Proof of Theorem islpln3
StepHypRef Expression
1 islpln3.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2460 . . 3  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
3 islpln3.n . . 3  |-  N  =  ( LLines `  K )
4 islpln3.p . . 3  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
51, 2, 3, 4islpln4 34202 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  P  <->  E. y  e.  N  y (  <o  `  K ) X ) )
6 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  N
)  ->  K  e.  HL )
71, 3llnbase 34180 . . . . . 6  |-  ( y  e.  N  ->  y  e.  B )
87adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  N
)  ->  y  e.  B )
9 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  N
)  ->  X  e.  B )
10 islpln3.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
11 islpln3.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
12 islpln3.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
131, 10, 11, 2, 12cvrval3 34084 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( y (  <o  `  K ) X  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  (
y  .\/  p )  =  X ) ) )
146, 8, 9, 13syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  N
)  ->  ( y
(  <o  `  K ) X 
<->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  ( y  .\/  p )  =  X ) ) )
15 eqcom 2469 . . . . . . 7  |-  ( ( y  .\/  p )  =  X  <->  X  =  ( y  .\/  p
) )
1615a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  N )  /\  p  e.  A )  ->  (
( y  .\/  p
)  =  X  <->  X  =  ( y  .\/  p
) ) )
1716anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  N )  /\  p  e.  A )  ->  (
( -.  p  .<_  y  /\  ( y  .\/  p )  =  X )  <->  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p
) ) ) )
1817rexbidva 2963 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  N
)  ->  ( E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  ( y  .\/  p
)  =  X )  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p ) ) ) )
1914, 18bitrd 253 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  N
)  ->  ( y
(  <o  `  K ) X 
<->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p ) ) ) )
2019rexbidva 2963 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. y  e.  N  y (  <o  `  K ) X  <->  E. y  e.  N  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p ) ) ) )
215, 20bitrd 253 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  P  <->  E. y  e.  N  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   E.wrex 2808   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   lecple 14551   joincjn 15420    <o ccvr 33934   Atomscatm 33935   HLchlt 34022   LLinesclln 34162   LPlanesclpl 34163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-poset 15422  df-plt 15434  df-lub 15450  df-glb 15451  df-join 15452  df-meet 15453  df-p0 15515  df-lat 15522  df-clat 15584  df-oposet 33848  df-ol 33850  df-oml 33851  df-covers 33938  df-ats 33939  df-atl 33970  df-cvlat 33994  df-hlat 34023  df-llines 34169  df-lplanes 34170
This theorem is referenced by:  islpln5  34206  lplnexllnN  34235
  Copyright terms: Public domain W3C validator