Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islpln3 Structured version   Unicode version

Theorem islpln3 33273
Description: The predicate "is a lattice plane". (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islpln3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
islpln3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
islpln3.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
islpln3.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
islpln3.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
islpln3.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
islpln3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  P  <->  E. y  e.  N  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    y, p, B    K, p, y   
.<_ , p    N, p, y    X, p, y
Allowed substitution hints:    A( y)    P( y, p)    .\/ ( y, p)    .<_ ( y)

Proof of Theorem islpln3
StepHypRef Expression
1 islpln3.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2443 . . 3  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
3 islpln3.n . . 3  |-  N  =  ( LLines `  K )
4 islpln3.p . . 3  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
51, 2, 3, 4islpln4 33271 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  P  <->  E. y  e.  N  y (  <o  `  K ) X ) )
6 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  N
)  ->  K  e.  HL )
71, 3llnbase 33249 . . . . . 6  |-  ( y  e.  N  ->  y  e.  B )
87adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  N
)  ->  y  e.  B )
9 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  N
)  ->  X  e.  B )
10 islpln3.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
11 islpln3.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
12 islpln3.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
131, 10, 11, 2, 12cvrval3 33153 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( y (  <o  `  K ) X  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  (
y  .\/  p )  =  X ) ) )
146, 8, 9, 13syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  N
)  ->  ( y
(  <o  `  K ) X 
<->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  ( y  .\/  p )  =  X ) ) )
15 eqcom 2445 . . . . . . 7  |-  ( ( y  .\/  p )  =  X  <->  X  =  ( y  .\/  p
) )
1615a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  N )  /\  p  e.  A )  ->  (
( y  .\/  p
)  =  X  <->  X  =  ( y  .\/  p
) ) )
1716anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  N )  /\  p  e.  A )  ->  (
( -.  p  .<_  y  /\  ( y  .\/  p )  =  X )  <->  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p
) ) ) )
1817rexbidva 2753 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  N
)  ->  ( E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  ( y  .\/  p
)  =  X )  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p ) ) ) )
1914, 18bitrd 253 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  N
)  ->  ( y
(  <o  `  K ) X 
<->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p ) ) ) )
2019rexbidva 2753 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. y  e.  N  y (  <o  `  K ) X  <->  E. y  e.  N  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p ) ) ) )
215, 20bitrd 253 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  P  <->  E. y  e.  N  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2737   class class class wbr 4313   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Basecbs 14195   lecple 14266   joincjn 15135    <o ccvr 33003   Atomscatm 33004   HLchlt 33091   LLinesclln 33231   LPlanesclpl 33232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-poset 15137  df-plt 15149  df-lub 15165  df-glb 15166  df-join 15167  df-meet 15168  df-p0 15230  df-lat 15237  df-clat 15299  df-oposet 32917  df-ol 32919  df-oml 32920  df-covers 33007  df-ats 33008  df-atl 33039  df-cvlat 33063  df-hlat 33092  df-llines 33238  df-lplanes 33239
This theorem is referenced by:  islpln5  33275  lplnexllnN  33304
  Copyright terms: Public domain W3C validator