Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islpln2 Structured version   Unicode version

Theorem islpln2 34350
Description: The predicate "is a lattice plane" in terms of atoms. (Contributed by NM, 25-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islpln5.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
islpln5.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
islpln5.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
islpln5.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
islpln5.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
islpln2  |-  ( K  e.  HL  ->  ( X  e.  P  <->  ( X  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    q, p, r, A    B, p, q, r    .\/ , p, q, r    K, p, q, r    .<_ , p, q, r    X, p, q, r
Allowed substitution hints:    P( r, q, p)

Proof of Theorem islpln2
StepHypRef Expression
1 islpln5.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 islpln5.p . . . 4  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
31, 2lplnbase 34348 . . 3  |-  ( X  e.  P  ->  X  e.  B )
43pm4.71ri 633 . 2  |-  ( X  e.  P  <->  ( X  e.  B  /\  X  e.  P ) )
5 islpln5.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 islpln5.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
7 islpln5.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
81, 5, 6, 7, 2islpln5 34349 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  P  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
98pm5.32da 641 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( X  e.  B  /\  X  e.  P
)  <->  ( X  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) )
104, 9syl5bb 257 1  |-  ( K  e.  HL  ->  ( X  e.  P  <->  ( X  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   lecple 14562   joincjn 15431   Atomscatm 34078   HLchlt 34165   LPlanesclpl 34306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-poset 15433  df-plt 15445  df-lub 15461  df-glb 15462  df-join 15463  df-meet 15464  df-p0 15526  df-lat 15533  df-clat 15595  df-oposet 33991  df-ol 33993  df-oml 33994  df-covers 34081  df-ats 34082  df-atl 34113  df-cvlat 34137  df-hlat 34166  df-llines 34312  df-lplanes 34313
This theorem is referenced by:  lvolex3N  34352  llncvrlpln2  34371  islvol5  34393  lvolnlelpln  34399  lplncvrlvol2  34429  2lplnj  34434
  Copyright terms: Public domain W3C validator