MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islpir2 Structured version   Unicode version

Theorem islpir2 17678
Description: Principal ideal rings are where all ideals are principal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lpival.p  |-  P  =  (LPIdeal `  R )
lpiss.u  |-  U  =  (LIdeal `  R )
Assertion
Ref Expression
islpir2  |-  ( R  e. LPIR 
<->  ( R  e.  Ring  /\  U  C_  P )
)

Proof of Theorem islpir2
StepHypRef Expression
1 lpival.p . . 3  |-  P  =  (LPIdeal `  R )
2 lpiss.u . . 3  |-  U  =  (LIdeal `  R )
31, 2islpir 17676 . 2  |-  ( R  e. LPIR 
<->  ( R  e.  Ring  /\  U  =  P ) )
41, 2lpiss 17677 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  C_  U )
54biantrud 507 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( U 
C_  P  <->  ( U  C_  P  /\  P  C_  U ) ) )
6 eqss 3519 . . . 4  |-  ( U  =  P  <->  ( U  C_  P  /\  P  C_  U ) )
75, 6syl6rbbr 264 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( U  =  P  <->  U  C_  P
) )
87pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  U  =  P )  <->  ( R  e.  Ring  /\  U  C_  P
) )
93, 8bitri 249 1  |-  ( R  e. LPIR 
<->  ( R  e.  Ring  /\  U  C_  P )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   ` cfv 5586   Ringcrg 16983  LIdealclidl 17596  LPIdealclpidl 17668  LPIRclpir 17669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-0g 14690  df-mnd 15725  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-subg 15990  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-subrg 17207  df-lmod 17294  df-lss 17359  df-lsp 17398  df-sra 17598  df-rgmod 17599  df-lidl 17600  df-rsp 17601  df-lpidl 17670  df-lpir 17671
This theorem is referenced by:  drnglpir  17680  zringlpir  18276  zlpir  18281  ply1lpir  22311
  Copyright terms: Public domain W3C validator