MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islpidl Structured version   Unicode version

Theorem islpidl 17452
Description: Property of being a principal ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lpival.p  |-  P  =  (LPIdeal `  R )
lpival.k  |-  K  =  (RSpan `  R )
lpival.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
islpidl  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( I  e.  P  <->  E. g  e.  B  I  =  ( K `  { g } ) ) )
Distinct variable groups:    R, g    P, g    B, g    g, K   
g, I

Proof of Theorem islpidl
StepHypRef Expression
1 lpival.p . . . 4  |-  P  =  (LPIdeal `  R )
2 lpival.k . . . 4  |-  K  =  (RSpan `  R )
3 lpival.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
41, 2, 3lpival 17451 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  = 
U_ g  e.  B  { ( K `  { g } ) } )
54eleq2d 2524 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( I  e.  P  <->  I  e.  U_ g  e.  B  {
( K `  {
g } ) } ) )
6 eliun 4284 . . 3  |-  ( I  e.  U_ g  e.  B  { ( K `
 { g } ) }  <->  E. g  e.  B  I  e.  { ( K `  {
g } ) } )
7 fvex 5810 . . . . 5  |-  ( K `
 { g } )  e.  _V
87elsnc2 4017 . . . 4  |-  ( I  e.  { ( K `
 { g } ) }  <->  I  =  ( K `  { g } ) )
98rexbii 2862 . . 3  |-  ( E. g  e.  B  I  e.  { ( K `
 { g } ) }  <->  E. g  e.  B  I  =  ( K `  { g } ) )
106, 9bitri 249 . 2  |-  ( I  e.  U_ g  e.  B  { ( K `
 { g } ) }  <->  E. g  e.  B  I  =  ( K `  { g } ) )
115, 10syl6bb 261 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( I  e.  P  <->  E. g  e.  B  I  =  ( K `  { g } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2800   {csn 3986   U_ciun 4280   ` cfv 5527   Basecbs 14293   Ringcrg 16769  RSpancrsp 17376  LPIdealclpidl 17447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fv 5535  df-lpidl 17449
This theorem is referenced by:  lpi0  17453  lpi1  17454  lpiss  17456  lpigen  17462  ply1lpir  21784  lpirlnr  29622
  Copyright terms: Public domain W3C validator