MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islp Structured version   Unicode version

Theorem islp 18862
Description: The predicate " P is a limit point of  S." (Contributed by NM, 10-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
lpfval.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
islp  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  S )  <->  P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { P } ) ) ) )

Proof of Theorem islp
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lpfval.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
21lpval 18861 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( limPt `  J
) `  S )  =  { x  |  x  e.  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x }
) ) } )
32eleq2d 2521 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  S )  <->  P  e.  { x  |  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) } ) )
4 elex 3079 . . 3  |-  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { P }
) )  ->  P  e.  _V )
5 id 22 . . . 4  |-  ( x  =  P  ->  x  =  P )
6 sneq 3987 . . . . . 6  |-  ( x  =  P  ->  { x }  =  { P } )
76difeq2d 3574 . . . . 5  |-  ( x  =  P  ->  ( S  \  { x }
)  =  ( S 
\  { P }
) )
87fveq2d 5795 . . . 4  |-  ( x  =  P  ->  (
( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  =  ( ( cls `  J ) `
 ( S  \  { P } ) ) )
95, 8eleq12d 2533 . . 3  |-  ( x  =  P  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 ( S  \  { x } ) )  <->  P  e.  (
( cls `  J
) `  ( S  \  { P } ) ) ) )
104, 9elab3 3212 . 2  |-  ( P  e.  { x  |  x  e.  ( ( cls `  J ) `
 ( S  \  { x } ) ) }  <->  P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { P } ) ) )
113, 10syl6bb 261 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  S )  <->  P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { P } ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2436    \ cdif 3425    C_ wss 3428   {csn 3977   U.cuni 4191   ` cfv 5518   Topctop 18616   clsccl 18740   limPtclp 18856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-top 18621  df-cld 18741  df-cls 18743  df-lp 18858
This theorem is referenced by:  lpdifsn  18865  lpss3  18866  islp2  18867  islp3  18868  maxlp  18869  restlp  18905  lpcls  19086  limcnlp  21471  limcflflem  21473
  Copyright terms: Public domain W3C validator