MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islp Structured version   Unicode version

Theorem islp 19746
Description: The predicate " P is a limit point of  S." (Contributed by NM, 10-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
lpfval.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
islp  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  S )  <->  P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { P } ) ) ) )

Proof of Theorem islp
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lpfval.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
21lpval 19745 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( limPt `  J
) `  S )  =  { x  |  x  e.  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x }
) ) } )
32eleq2d 2462 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  S )  <->  P  e.  { x  |  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) } ) )
4 elex 3056 . . 3  |-  ( P  e.  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { P }
) )  ->  P  e.  _V )
5 id 22 . . . 4  |-  ( x  =  P  ->  x  =  P )
6 sneq 3967 . . . . . 6  |-  ( x  =  P  ->  { x }  =  { P } )
76difeq2d 3549 . . . . 5  |-  ( x  =  P  ->  ( S  \  { x }
)  =  ( S 
\  { P }
) )
87fveq2d 5791 . . . 4  |-  ( x  =  P  ->  (
( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  =  ( ( cls `  J ) `
 ( S  \  { P } ) ) )
95, 8eleq12d 2474 . . 3  |-  ( x  =  P  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 ( S  \  { x } ) )  <->  P  e.  (
( cls `  J
) `  ( S  \  { P } ) ) ) )
104, 9elab3 3191 . 2  |-  ( P  e.  { x  |  x  e.  ( ( cls `  J ) `
 ( S  \  { x } ) ) }  <->  P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { P } ) ) )
113, 10syl6bb 261 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  S )  <->  P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { P } ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836   {cab 2377    \ cdif 3399    C_ wss 3402   {csn 3957   U.cuni 4176   ` cfv 5509   Topctop 19498   clsccl 19623   limPtclp 19740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-rep 4491  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-op 3964  df-uni 4177  df-int 4213  df-iun 4258  df-iin 4259  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-id 4722  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-top 19503  df-cld 19624  df-cls 19626  df-lp 19742
This theorem is referenced by:  lpdifsn  19749  lpss3  19750  islp2  19751  islp3  19752  maxlp  19753  restlp  19789  lpcls  19970  limcnlp  22386  limcflflem  22388
  Copyright terms: Public domain W3C validator