Theorem islp 9020

Description: The predicate "P is a limit point of S."

Hypothesis

Ref	Expression
lpfval.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
islp	|- ((J e. Top /\ S C_ X) -> (P e. ((limPt` J)` S) <-> P e. ((cls` J)` (S \ {P}))))

Proof of Theorem islp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpfval.1	. . . 4 |- X = U.J
2	1	lpval 9019	. . 3 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> ((limPt` J)` S) = {x | x e. ((cls` J)` (S \ {x}))})
3	2	eleq2d 1964	. 2 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> (P e. ((limPt` J)` S) <-> P e. {x | x e. ((cls` J)` (S \ {x}))}))
4		elisset 2299	. . 3 |- (P e. ((cls` J)` (S \ {P})) -> P e. _V)
5		id 73	. . . 4 |- (x = P -> x = P)
6		sneq 3054	. . . . . 6 |- (x = P -> {x} = {P})
7	6	difeq2d 2726	. . . . 5 |- (x = P -> (S \ {x}) = (S \ {P}))
8	7	fveq2d 4685	. . . 4 |- (x = P -> ((cls` J)` (S \ {x})) = ((cls` J)` (S \ {P})))
9	5, 8	eleq12d 1965	. . 3 |- (x = P -> (x e. ((cls` J)` (S \ {x})) <-> P e. ((cls` J)` (S \ {P}))))
10	4, 9	elab3 2412	. 2 |- (P e. {x | x e. ((cls` J)` (S \ {x}))} <-> P e. ((cls` J)` (S \ {P})))
11	3, 10	syl6bb 595	1 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> (P e. ((limPt` J)` S) <-> P e. ((cls` J)` (S \ {P}))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871   \ cdif 2590   C_ wss 2593  {csn 3044  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  clsccl 8938  limPtclp 9016

This theorem is referenced by:  islp2 9023  islp3 14861  lpss2 15842

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-top 8861  df-cld 8939  df-cls 8941  df-lp 9017

Copyright terms: Public domain