Theorem islocfin 15506

Description: The statement "is a locally finite cover."

Hypotheses

Ref	Expression
islocfin.1	|- X = U.J
islocfin.2	|- Y = U.A

Assertion

Ref	Expression
islocfin	|- (A e. B -> (<.J, A>. e. LocFin <-> (J e. Top /\ X = Y /\ A.x e. X E.n e. ((nei` J)` {x}){s e. A | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin)))

Distinct variable groups:   n,s,x,A   B,n,s,x   n,J,s,x   n,X,s,x   n,Y,s,x

Proof of Theorem islocfin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 3339	. . . . 5 |- (JLocFinA <-> <.J, A>. e. LocFin)
2		relopab 4104	. . . . . . 7 |- Rel {<.j, a>. | (j e. Top /\ U.j = U.a /\ A.x e. U.jE.n e. ((nei` j)` {x}){s e. a | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin)}
3		df-locfin 15466	. . . . . . . 8 |- LocFin = {<.j, a>. | (j e. Top /\ U.j = U.a /\ A.x e. U.jE.n e. ((nei` j)` {x}){s e. a | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin)}
4	3	releqi 4072	. . . . . . 7 |- (Rel LocFin <-> Rel {<.j, a>. | (j e. Top /\ U.j = U.a /\ A.x e. U.jE.n e. ((nei` j)` {x}){s e. a | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin)})
5	2, 4	mpbir 207	. . . . . 6 |- Rel LocFin
6	5	brrelexi 4029	. . . . 5 |- (JLocFinA -> J e. _V)
7	1, 6	sylbir 218	. . . 4 |- (<.J, A>. e. LocFin -> J e. _V)
8	7	adantl 424	. . 3 |- ((A e. B /\ <.J, A>. e. LocFin) -> J e. _V)
9		simpl 346	. . 3 |- ((A e. B /\ <.J, A>. e. LocFin) -> A e. B)
10	8, 9	jca 310	. 2 |- ((A e. B /\ <.J, A>. e. LocFin) -> (J e. _V /\ A e. B))
11		elisset 2299	. . . . 5 |- (J e. Top -> J e. _V)
12	11	3ad2ant1 897	. . . 4 |- ((J e. Top /\ X = Y /\ A.x e. X E.n e. ((nei` J)` {x}){s e. A | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin) -> J e. _V)
13	12	adantl 424	. . 3 |- ((A e. B /\ (J e. Top /\ X = Y /\ A.x e. X E.n e. ((nei` J)` {x}){s e. A | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin)) -> J e. _V)
14		simpl 346	. . 3 |- ((A e. B /\ (J e. Top /\ X = Y /\ A.x e. X E.n e. ((nei` J)` {x}){s e. A | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin)) -> A e. B)
15	13, 14	jca 310	. 2 |- ((A e. B /\ (J e. Top /\ X = Y /\ A.x e. X E.n e. ((nei` J)` {x}){s e. A | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin)) -> (J e. _V /\ A e. B))
16		eleq1 1957	. . . . 5 |- (j = J -> (j e. Top <-> J e. Top))
17		unieq 3185	. . . . . . 7 |- (j = J -> U.j = U.J)
18		islocfin.1	. . . . . . 7 |- X = U.J
19	17, 18	syl6eqr 1946	. . . . . 6 |- (j = J -> U.j = X)
20	19	eqeq1d 1892	. . . . 5 |- (j = J -> (U.j = U.a <-> X = U.a))
21		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (j = J -> (nei` j) = (nei` J))
22	21	fveq1d 4683	. . . . . . 7 |- (j = J -> ((nei` j)` {x}) = ((nei` J)` {x}))
23	22	rexeqdv 2270	. . . . . 6 |- (j = J -> (E.n e. ((nei` j)` {x}){s e. a | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin <-> E.n e. ((nei` J)` {x}){s e. a | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin))
24	19, 23	raleqbidv 2274	. . . . 5 |- (j = J -> (A.x e. U.jE.n e. ((nei` j)` {x}){s e. a | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin <-> A.x e. X E.n e. ((nei` J)` {x}){s e. a | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin))
25	16, 20, 24	3anbi123d 1168	. . . 4 |- (j = J -> ((j e. Top /\ U.j = U.a /\ A.x e. U.jE.n e. ((nei` j)` {x}){s e. a | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin) <-> (J e. Top /\ X = U.a /\ A.x e. X E.n e. ((nei` J)` {x}){s e. a | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin)))
26		unieq 3185	. . . . . . 7 |- (a = A -> U.a = U.A)
27		islocfin.2	. . . . . . 7 |- Y = U.A
28	26, 27	syl6eqr 1946	. . . . . 6 |- (a = A -> U.a = Y)
29	28	eqeq2d 1895	. . . . 5 |- (a = A -> (X = U.a <-> X = Y))
30		rabeq 2289	. . . . . . . 8 |- (a = A -> {s e. a | (s i^i n) =/= (/)} = {s e. A | (s i^i n) =/= (/)})
31	30	eleq1d 1963	. . . . . . 7 |- (a = A -> ({s e. a | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin <-> {s e. A | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin))
32	31	rexbidv 2124	. . . . . 6 |- (a = A -> (E.n e. ((nei` J)` {x}){s e. a | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin <-> E.n e. ((nei` J)` {x}){s e. A | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin))
33	32	ralbidv 2123	. . . . 5 |- (a = A -> (A.x e. X E.n e. ((nei` J)` {x}){s e. a | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin <-> A.x e. X E.n e. ((nei` J)` {x}){s e. A | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin))
34	29, 33	3anbi23d 1171	. . . 4 |- (a = A -> ((J e. Top /\ X = U.a /\ A.x e. X E.n e. ((nei` J)` {x}){s e. a | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin) <-> (J e. Top /\ X = Y /\ A.x e. X E.n e. ((nei` J)` {x}){s e. A | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin)))
35	25, 34	opelopabg 3567	. . 3 |- ((J e. _V /\ A e. B) -> (<.J, A>. e. {<.j, a>. | (j e. Top /\ U.j = U.a /\ A.x e. U.jE.n e. ((nei` j)` {x}){s e. a | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin)} <-> (J e. Top /\ X = Y /\ A.x e. X E.n e. ((nei` J)` {x}){s e. A | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin)))
36	3	eleq2i 1961	. . 3 |- (<.J, A>. e. LocFin <-> <.J, A>. e. {<.j, a>. | (j e. Top /\ U.j = U.a /\ A.x e. U.jE.n e. ((nei` j)` {x}){s e. a | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin)})
37	35, 36	syl5bb 591	. 2 |- ((J e. _V /\ A e. B) -> (<.J, A>. e. LocFin <-> (J e. Top /\ X = Y /\ A.x e. X E.n e. ((nei` J)` {x}){s e. A | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin)))
38	10, 15, 37	pm5.21nd 744	1 |- (A e. B -> (<.J, A>. e. LocFin <-> (J e. Top /\ X = Y /\ A.x e. X E.n e. ((nei` J)` {x}){s e. A | (s i^i n) =/= (/)} e. Fin)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108  _Vcvv 2292   i^i cin 2592  (/)c0 2875  {csn 3044  <.cop 3046  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  {copab 3395  Rel wrel 3991  ` cfv 3998  Fincfn 5426  Topctop 8857  neicnei 8988  LocFinclocfin 15460

This theorem is referenced by:  finlocfin 15509  locfintop 15510  locfinbas 15511  locfinnei 15512  lfinpfin 15513  locfindsc 15515  locfincf 15516

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fv 4014  df-locfin 15466

Copyright terms: Public domain