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Theorem islocfin 28493
Description: The statement "is a locally finite cover." (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
islocfin.1  |-  X  = 
U. J
islocfin.2  |-  Y  = 
U. A
Assertion
Ref Expression
islocfin  |-  ( A  e.  ( LocFin `  J
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
Distinct variable groups:    n, s, x, A    n, J, x   
x, X
Allowed substitution hints:    J( s)    X( n, s)    Y( x, n, s)

Proof of Theorem islocfin
Dummy variables  j 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-locfin 28463 . . . . 5  |-  LocFin  =  ( j  e.  Top  |->  { y  |  ( U. j  =  U. y  /\  A. x  e.  U. j E. n  e.  j  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) } )
21dmmptss 5331 . . . 4  |-  dom  LocFin  C_  Top
3 elfvdm 5713 . . . 4  |-  ( A  e.  ( LocFin `  J
)  ->  J  e.  dom  LocFin )
42, 3sseldi 3351 . . 3  |-  ( A  e.  ( LocFin `  J
)  ->  J  e.  Top )
5 eqimss2 3406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  =  U. y  ->  U. y  C_  X )
6 sspwuni 4253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  ~P X  <->  U. y  C_  X )
75, 6sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  U. y  -> 
y  C_  ~P X
)
8 selpw 3864 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~P ~P X  <->  y 
C_  ~P X )
97, 8sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  U. y  -> 
y  e.  ~P ~P X )
109adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  y  e.  ~P ~P X )
1110abssi 3424 . . . . . . 7  |-  { y  |  ( X  = 
U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) }  C_  ~P ~P X
12 islocfin.1 . . . . . . . . 9  |-  X  = 
U. J
1312topopn 18478 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
14 pwexg 4473 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  J  ->  ~P X  e.  _V )
15 pwexg 4473 . . . . . . . 8  |-  ( ~P X  e.  _V  ->  ~P ~P X  e.  _V )
1613, 14, 153syl 20 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  ~P ~P X  e.  _V )
17 ssexg 4435 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  |  ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) }  C_  ~P ~P X  /\  ~P ~P X  e.  _V )  ->  { y  |  ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) }  e.  _V )
1811, 16, 17sylancr 658 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  { y  |  ( X  = 
U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) }  e.  _V )
19 unieq 4096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  J  ->  U. j  =  U. J )
2019, 12syl6eqr 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  J  ->  U. j  =  X )
2120eqeq1d 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  ( U. j  =  U. y 
<->  X  =  U. y
) )
22 rexeq 2916 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  J  ->  ( E. n  e.  j 
( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin )  <->  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
2320, 22raleqbidv 2929 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  ( A. x  e.  U. j E. n  e.  j 
( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin )  <->  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
2421, 23anbi12d 705 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  (
( U. j  = 
U. y  /\  A. x  e.  U. j E. n  e.  j 
( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  <->  ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) ) )
2524abbidv 2555 . . . . . . 7  |-  ( j  =  J  ->  { y  |  ( U. j  =  U. y  /\  A. x  e.  U. j E. n  e.  j 
( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) }  =  { y  |  ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) } )
2625, 1fvmptg 5769 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { y  |  ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) }  e.  _V )  ->  ( LocFin `  J )  =  {
y  |  ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) } )
2718, 26mpdan 663 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( LocFin `
 J )  =  { y  |  ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) } )
2827eleq2d 2508 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  ( LocFin `  J )  <->  A  e.  { y  |  ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) } ) )
29 elex 2979 . . . . . 6  |-  ( A  e.  { y  |  ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) }  ->  A  e.  _V )
3029adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  { y  |  ( X  = 
U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) } )  ->  A  e.  _V )
31 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  Y )  ->  X  =  Y )
32 islocfin.2 . . . . . . . . . 10  |-  Y  = 
U. A
3331, 32syl6eq 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  Y )  ->  X  =  U. A
)
3413adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  Y )  ->  X  e.  J )
3533, 34eqeltrrd 2516 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  Y )  ->  U. A  e.  J
)
36 elex 2979 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  e.  J  ->  U. A  e.  _V )
3735, 36syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  Y )  ->  U. A  e.  _V )
38 uniexb 6385 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  <->  U. A  e. 
_V )
3937, 38sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  Y )  ->  A  e.  _V )
4039adantrr 711 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )  ->  A  e.  _V )
41 unieq 4096 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  U. y  =  U. A )
4241, 32syl6eqr 2491 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  U. y  =  Y )
4342eqeq2d 2452 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  ( X  =  U. y  <->  X  =  Y ) )
44 rabeq 2964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  =  {
s  e.  A  | 
( s  i^i  n
)  =/=  (/) } )
4544eleq1d 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin 
<->  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
4645anbi2d 698 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  (
( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin )  <->  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
4746rexbidv 2734 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin )  <->  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
4847ralbidv 2733 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  ( A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin )  <->  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
4943, 48anbi12d 705 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  <->  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) ) )
5049elabg 3104 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  { y  |  ( X  = 
U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) }  <->  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) ) )
5130, 40, 50pm5.21nd 888 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  { y  |  ( X  = 
U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) }  <->  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) ) )
5228, 51bitrd 253 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  ( LocFin `  J )  <->  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) ) )
534, 52biadan2 637 . 2  |-  ( A  e.  ( LocFin `  J
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) ) )
54 3anass 964 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  A  | 
( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  <->  ( J  e.  Top  /\  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  A  | 
( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) ) )
5553, 54bitr4i 252 1  |-  ( A  e.  ( LocFin `  J
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   {cab 2427    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   U.cuni 4088   dom cdm 4836   ` cfv 5415   Fincfn 7306   Topctop 18457   LocFinclocfin 28459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fv 5423  df-top 18462  df-locfin 28463
This theorem is referenced by:  finlocfin  28496  locfintop  28497  locfinbas  28498  locfinnei  28499  locfindis  28502  locfincf  28503
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