Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islnr2 Structured version   Unicode version

Theorem islnr2 29482
Description: Property of being a left-Noetherian ring in terms of finite generation of ideals (the usual "pure ring theory" definition). (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islnr2.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
islnr2.u  |-  U  =  (LIdeal `  R )
islnr2.n  |-  N  =  (RSpan `  R )
Assertion
Ref Expression
islnr2  |-  ( R  e. LNoeR 
<->  ( R  e.  Ring  /\ 
A. i  e.  U  E. g  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
i  =  ( N `
 g ) ) )
Distinct variable groups:    g, i, R    i, N, g    U, i, g    B, i, g

Proof of Theorem islnr2
StepHypRef Expression
1 islnr 29479 . 2  |-  ( R  e. LNoeR 
<->  ( R  e.  Ring  /\  (ringLMod `  R )  e. LNoeM ) )
2 rlmlmod 17298 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  (ringLMod `  R
)  e.  LMod )
3 islnr2.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 rlmbas 17288 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (ringLMod `  R
) )
53, 4eqtri 2463 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  (ringLMod `  R ) )
6 islnr2.u . . . . . . 7  |-  U  =  (LIdeal `  R )
7 lidlval 17285 . . . . . . 7  |-  (LIdeal `  R )  =  (
LSubSp `  (ringLMod `  R
) )
86, 7eqtri 2463 . . . . . 6  |-  U  =  ( LSubSp `  (ringLMod `  R
) )
9 islnr2.n . . . . . . 7  |-  N  =  (RSpan `  R )
10 rspval 17286 . . . . . . 7  |-  (RSpan `  R )  =  (
LSpan `  (ringLMod `  R
) )
119, 10eqtri 2463 . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  (ringLMod `  R
) )
125, 8, 11islnm2 29443 . . . . 5  |-  ( (ringLMod `  R )  e. LNoeM  <->  ( (ringLMod `  R )  e.  LMod  /\ 
A. i  e.  U  E. g  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
i  =  ( N `
 g ) ) )
1312baib 896 . . . 4  |-  ( (ringLMod `  R )  e.  LMod  -> 
( (ringLMod `  R )  e. LNoeM  <->  A. i  e.  U  E. g  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
i  =  ( N `
 g ) ) )
142, 13syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (ringLMod `  R )  e. LNoeM  <->  A. i  e.  U  E. g  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) i  =  ( N `  g ) ) )
1514pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (ringLMod `  R )  e. LNoeM )  <->  ( R  e.  Ring  /\  A. i  e.  U  E. g  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) i  =  ( N `  g ) ) )
161, 15bitri 249 1  |-  ( R  e. LNoeR 
<->  ( R  e.  Ring  /\ 
A. i  e.  U  E. g  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
i  =  ( N `
 g ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   E.wrex 2728    i^i cin 3339   ~Pcpw 3872   ` cfv 5430   Fincfn 7322   Basecbs 14186   Ringcrg 16657   LModclmod 16960   LSubSpclss 17025   LSpanclspn 17064  ringLModcrglmod 17262  LIdealclidl 17263  RSpancrsp 17264  LNoeMclnm 29440  LNoeRclnr 29477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-ip 14268  df-0g 14392  df-mnd 15427  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-sbg 15559  df-subg 15690  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-subrg 16875  df-lmod 16962  df-lss 17026  df-lsp 17065  df-sra 17265  df-rgmod 17266  df-lidl 17267  df-rsp 17268  df-lfig 29433  df-lnm 29441  df-lnr 29478
This theorem is referenced by:  islnr3  29483  lnr2i  29484  lpirlnr  29485  hbt  29498
  Copyright terms: Public domain W3C validator