Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islnr2 Structured version   Unicode version

Theorem islnr2 30997
Description: Property of being a left-Noetherian ring in terms of finite generation of ideals (the usual "pure ring theory" definition). (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islnr2.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
islnr2.u  |-  U  =  (LIdeal `  R )
islnr2.n  |-  N  =  (RSpan `  R )
Assertion
Ref Expression
islnr2  |-  ( R  e. LNoeR 
<->  ( R  e.  Ring  /\ 
A. i  e.  U  E. g  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
i  =  ( N `
 g ) ) )
Distinct variable groups:    g, i, R    i, N, g    U, i, g    B, i, g

Proof of Theorem islnr2
StepHypRef Expression
1 islnr 30994 . 2  |-  ( R  e. LNoeR 
<->  ( R  e.  Ring  /\  (ringLMod `  R )  e. LNoeM ) )
2 rlmlmod 17720 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  (ringLMod `  R
)  e.  LMod )
3 islnr2.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 rlmbas 17710 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (ringLMod `  R
) )
53, 4eqtri 2496 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  (ringLMod `  R ) )
6 islnr2.u . . . . . . 7  |-  U  =  (LIdeal `  R )
7 lidlval 17707 . . . . . . 7  |-  (LIdeal `  R )  =  (
LSubSp `  (ringLMod `  R
) )
86, 7eqtri 2496 . . . . . 6  |-  U  =  ( LSubSp `  (ringLMod `  R
) )
9 islnr2.n . . . . . . 7  |-  N  =  (RSpan `  R )
10 rspval 17708 . . . . . . 7  |-  (RSpan `  R )  =  (
LSpan `  (ringLMod `  R
) )
119, 10eqtri 2496 . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  (ringLMod `  R
) )
125, 8, 11islnm2 30958 . . . . 5  |-  ( (ringLMod `  R )  e. LNoeM  <->  ( (ringLMod `  R )  e.  LMod  /\ 
A. i  e.  U  E. g  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
i  =  ( N `
 g ) ) )
1312baib 901 . . . 4  |-  ( (ringLMod `  R )  e.  LMod  -> 
( (ringLMod `  R )  e. LNoeM  <->  A. i  e.  U  E. g  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
i  =  ( N `
 g ) ) )
142, 13syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (ringLMod `  R )  e. LNoeM  <->  A. i  e.  U  E. g  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) i  =  ( N `  g ) ) )
1514pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (ringLMod `  R )  e. LNoeM )  <->  ( R  e.  Ring  /\  A. i  e.  U  E. g  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) i  =  ( N `  g ) ) )
161, 15bitri 249 1  |-  ( R  e. LNoeR 
<->  ( R  e.  Ring  /\ 
A. i  e.  U  E. g  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
i  =  ( N `
 g ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818    i^i cin 3480   ~Pcpw 4016   ` cfv 5594   Fincfn 7528   Basecbs 14506   Ringcrg 17068   LModclmod 17381   LSubSpclss 17447   LSpanclspn 17486  ringLModcrglmod 17684  LIdealclidl 17685  RSpancrsp 17686  LNoeMclnm 30955  LNoeRclnr 30992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-0g 14713  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-sbg 15930  df-subg 16069  df-mgp 17012  df-ur 17024  df-ring 17070  df-subrg 17296  df-lmod 17383  df-lss 17448  df-lsp 17487  df-sra 17687  df-rgmod 17688  df-lidl 17689  df-rsp 17690  df-lfig 30948  df-lnm 30956  df-lnr 30993
This theorem is referenced by:  islnr3  30998  lnr2i  30999  lpirlnr  31000  hbt  31013
  Copyright terms: Public domain W3C validator