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Theorem islno 24153
Description: The predicate "is a linear operator." (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnoval.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
lnoval.2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
lnoval.3  |-  G  =  ( +v `  U
)
lnoval.4  |-  H  =  ( +v `  W
)
lnoval.5  |-  R  =  ( .sOLD `  U )
lnoval.6  |-  S  =  ( .sOLD `  W )
lnoval.7  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
Assertion
Ref Expression
islno  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( T  e.  L  <->  ( T : X --> Y  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( T `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `
 z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, U    x, W, y, z    y, X, z   
x, T, y, z
Allowed substitution hints:    R( x, y, z)    S( x, y, z)    G( x, y, z)    H( x, y, z)    L( x, y, z)    X( x)    Y( x, y, z)

Proof of Theorem islno
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnoval.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 lnoval.2 . . . 4  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
3 lnoval.3 . . . 4  |-  G  =  ( +v `  U
)
4 lnoval.4 . . . 4  |-  H  =  ( +v `  W
)
5 lnoval.5 . . . 4  |-  R  =  ( .sOLD `  U )
6 lnoval.6 . . . 4  |-  S  =  ( .sOLD `  W )
7 lnoval.7 . . . 4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7lnoval 24152 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  L  =  { w  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( w `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( w `  y ) ) H ( w `
 z ) ) } )
98eleq2d 2510 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( T  e.  L  <->  T  e.  { w  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
w `  ( (
x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( w `  y ) ) H ( w `  z
) ) } ) )
10 fveq1 5690 . . . . . . 7  |-  ( w  =  T  ->  (
w `  ( (
x R y ) G z ) )  =  ( T `  ( ( x R y ) G z ) ) )
11 fveq1 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  T  ->  (
w `  y )  =  ( T `  y ) )
1211oveq2d 6107 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  T  ->  (
x S ( w `
 y ) )  =  ( x S ( T `  y
) ) )
13 fveq1 5690 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  T  ->  (
w `  z )  =  ( T `  z ) )
1412, 13oveq12d 6109 . . . . . . 7  |-  ( w  =  T  ->  (
( x S ( w `  y ) ) H ( w `
 z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `  z
) ) )
1510, 14eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( w  =  T  ->  (
( w `  (
( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( w `
 y ) ) H ( w `  z ) )  <->  ( T `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `
 z ) ) ) )
16152ralbidv 2757 . . . . 5  |-  ( w  =  T  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( w `  (
( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( w `
 y ) ) H ( w `  z ) )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( T `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `
 z ) ) ) )
1716ralbidv 2735 . . . 4  |-  ( w  =  T  ->  ( A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
w `  ( (
x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( w `  y ) ) H ( w `  z
) )  <->  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( T `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `
 z ) ) ) )
1817elrab 3117 . . 3  |-  ( T  e.  { w  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( w `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( w `  y ) ) H ( w `
 z ) ) }  <->  ( T  e.  ( Y  ^m  X
)  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( T `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `
 z ) ) ) )
19 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( BaseSet `  W )  e.  _V
202, 19eqeltri 2513 . . . . 5  |-  Y  e. 
_V
21 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
221, 21eqeltri 2513 . . . . 5  |-  X  e. 
_V
2320, 22elmap 7241 . . . 4  |-  ( T  e.  ( Y  ^m  X )  <->  T : X
--> Y )
2423anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( T  e.  ( Y  ^m  X )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( T `  ( (
x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `  z
) ) )  <->  ( T : X --> Y  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( T `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `
 z ) ) ) )
2518, 24bitri 249 . 2  |-  ( T  e.  { w  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( w `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( w `  y ) ) H ( w `
 z ) ) }  <->  ( T : X
--> Y  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( T `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `
 z ) ) ) )
269, 25syl6bb 261 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( T  e.  L  <->  ( T : X --> Y  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( T `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `
 z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   {crab 2719   _Vcvv 2972   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    ^m cmap 7214   CCcc 9280   NrmCVeccnv 23962   +vcpv 23963   BaseSetcba 23964   .sOLDcns 23965    LnOp clno 24140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-map 7216  df-lno 24144
This theorem is referenced by:  lnolin  24154  lnof  24155  lnocoi  24157  0lno  24190  ipblnfi  24256
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