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Theorem islmod 18030
Description: The predicate "is a left module". (Contributed by NM, 4-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
islmod.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
islmod.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
islmod.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
islmod.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
islmod.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
islmod.p  |-  .+^  =  ( +g  `  F )
islmod.t  |-  .X.  =  ( .r `  F )
islmod.u  |-  .1.  =  ( 1r `  F )
Assertion
Ref Expression
islmod  |-  ( W  e.  LMod  <->  ( W  e. 
Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. q  e.  K  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r 
.x.  w )  e.  V  /\  ( r 
.x.  ( w  .+  x ) )  =  ( ( r  .x.  w )  .+  (
r  .x.  x )
)  /\  ( (
q  .+^  r )  .x.  w )  =  ( ( q  .x.  w
)  .+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) )
Distinct variable groups:    r, q, w, x, F    K, q,
r, w, x    .+^ , q, r, w, x    V, q, r, w, x    .+ , q,
r, w, x    .1. , q, r, w, x    .X. , q,
r, w, x    .x. , q,
r, w, x
Allowed substitution hints:    W( x, w, r, q)

Proof of Theorem islmod
Dummy variables  f 
a  g  k  p  s  v  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5881 . . . . . 6  |-  ( g  =  W  ->  ( Base `  g )  =  ( Base `  W
) )
2 islmod.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
31, 2syl6eqr 2488 . . . . 5  |-  ( g  =  W  ->  ( Base `  g )  =  V )
4 fveq2 5881 . . . . . . 7  |-  ( g  =  W  ->  ( +g  `  g )  =  ( +g  `  W
) )
5 islmod.a . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  W )
64, 5syl6eqr 2488 . . . . . 6  |-  ( g  =  W  ->  ( +g  `  g )  = 
.+  )
7 fveq2 5881 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  W  ->  (Scalar `  g )  =  (Scalar `  W ) )
8 islmod.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (Scalar `  W )
97, 8syl6eqr 2488 . . . . . . 7  |-  ( g  =  W  ->  (Scalar `  g )  =  F )
10 fveq2 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  W  ->  ( .s `  g )  =  ( .s `  W
) )
11 islmod.s . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  ( .s `  W )
1210, 11syl6eqr 2488 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  W  ->  ( .s `  g )  = 
.x.  )
1312sbceq1d 3310 . . . . . . 7  |-  ( g  =  W  ->  ( [. ( .s `  g
)  /  s ]. [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [.  .x.  /  s ]. [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) ) )
149, 13sbceqbid 3312 . . . . . 6  |-  ( g  =  W  ->  ( [. (Scalar `  g )  /  f ]. [. ( .s `  g )  / 
s ]. [. ( Base `  f )  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [. F  / 
f ]. [.  .x.  /  s ]. [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) ) )
156, 14sbceqbid 3312 . . . . 5  |-  ( g  =  W  ->  ( [. ( +g  `  g
)  /  a ]. [. (Scalar `  g )  /  f ]. [. ( .s `  g )  / 
s ]. [. ( Base `  f )  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [.  .+  /  a ]. [. F  /  f ]. [.  .x.  /  s ]. [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) ) )
163, 15sbceqbid 3312 . . . 4  |-  ( g  =  W  ->  ( [. ( Base `  g
)  /  v ]. [. ( +g  `  g
)  /  a ]. [. (Scalar `  g )  /  f ]. [. ( .s `  g )  / 
s ]. [. ( Base `  f )  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [. V  / 
v ]. [.  .+  /  a ]. [. F  /  f ]. [.  .x.  /  s ]. [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) ) )
17 fvex 5891 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  e.  _V
182, 17eqeltri 2513 . . . . . 6  |-  V  e. 
_V
19 fvex 5891 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  W )  e.  _V
205, 19eqeltri 2513 . . . . . 6  |-  .+  e.  _V
21 fvex 5891 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  W )  e.  _V
228, 21eqeltri 2513 . . . . . 6  |-  F  e. 
_V
23 simp3 1007 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  f  =  F )
2423fveq2d 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( Base `  f )  =  ( Base `  F
) )
25 islmod.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( Base `  F
)
2624, 25syl6eqr 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( Base `  f )  =  K )
2723fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( +g  `  f )  =  ( +g  `  F
) )
28 islmod.p . . . . . . . . . 10  |-  .+^  =  ( +g  `  F )
2927, 28syl6eqr 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( +g  `  f )  = 
.+^  )
3023fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( .r `  f )  =  ( .r `  F
) )
31 islmod.t . . . . . . . . . . . 12  |-  .X.  =  ( .r `  F )
3230, 31syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( .r `  f )  = 
.X.  )
3332sbceq1d 3310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [.  .X.  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) ) )
34 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .r
`  F )  e. 
_V
3531, 34eqeltri 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  .X.  e.  _V
36 oveq 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  .X.  ->  ( q t r )  =  ( q  .X.  r
) )
3736oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  .X.  ->  ( ( q t r ) s w )  =  ( ( q  .X.  r ) s w ) )
3837eqeq1d 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  .X.  ->  ( ( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  <->  ( (
q  .X.  r )
s w )  =  ( q s ( r s w ) ) ) )
3938anbi1d 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  .X.  ->  ( ( ( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w )  <-> 
( ( ( q 
.X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r
`  f ) s w )  =  w ) ) )
4039anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  .X.  ->  ( ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (
( 1r `  f
) s w )  =  w ) )  <-> 
( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) )
41402ralbidv 2876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  .X.  ->  ( A. x  e.  v  A. w  e.  v  (
( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (
( 1r `  f
) s w )  =  w ) )  <->  A. x  e.  v  A. w  e.  v 
( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) )
42412ralbidv 2876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  .X.  ->  ( A. q  e.  k  A. r  e.  k  A. x  e.  v  A. w  e.  v  (
( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (
( 1r `  f
) s w )  =  w ) )  <->  A. q  e.  k  A. r  e.  k  A. x  e.  v  A. w  e.  v 
( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) )
4342anbi2d 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  .X.  ->  ( ( f  e.  Ring  /\  A. q  e.  k  A. r  e.  k  A. x  e.  v  A. w  e.  v  (
( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (
( 1r `  f
) s w )  =  w ) ) )  <->  ( f  e. 
Ring  /\  A. q  e.  k  A. r  e.  k  A. x  e.  v  A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  (
r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  (
( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q 
.X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r
`  f ) s w )  =  w ) ) ) ) )
4435, 43sbcie 3340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [.  .X.  /  t ]. (
f  e.  Ring  /\  A. q  e.  k  A. r  e.  k  A. x  e.  v  A. w  e.  v  (
( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (
( 1r `  f
) s w )  =  w ) ) )  <->  ( f  e. 
Ring  /\  A. q  e.  k  A. r  e.  k  A. x  e.  v  A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  (
r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  (
( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q 
.X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r
`  f ) s w )  =  w ) ) ) )
4523eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  (
f  e.  Ring  <->  F  e.  Ring ) )
46 simp1 1005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  v  =  V )
4746eleq2d 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  (
( r s w )  e.  v  <->  ( r
s w )  e.  V ) )
48 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  a  =  .+  )
4948oveqd 6322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  (
w a x )  =  ( w  .+  x ) )
5049oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  (
r s ( w a x ) )  =  ( r s ( w  .+  x
) ) )
5148oveqd 6322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  (
( r s w ) a ( r s x ) )  =  ( ( r s w )  .+  ( r s x ) ) )
5250, 51eqeq12d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  (
( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  <->  ( r
s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  (
r s x ) ) ) )
5348oveqd 6322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  (
( q s w ) a ( r s w ) )  =  ( ( q s w )  .+  ( r s w ) ) )
5453eqeq2d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  (
( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) )  <->  ( (
q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  (
r s w ) ) ) )
5547, 52, 543anbi123d 1335 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  (
( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  <->  ( ( r s w )  e.  V  /\  ( r s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  (
r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  (
r s w ) ) ) ) )
5623fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( 1r `  f )  =  ( 1r `  F
) )
57 islmod.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  .1.  =  ( 1r `  F )
5856, 57syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( 1r `  f )  =  .1.  )
5958oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  (
( 1r `  f
) s w )  =  (  .1.  s
w ) )
6059eqeq1d 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  (
( ( 1r `  f ) s w )  =  w  <->  (  .1.  s w )  =  w ) )
6160anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  (
( ( ( q 
.X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r
`  f ) s w )  =  w )  <->  ( ( ( q  .X.  r )
s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s w )  =  w ) ) )
6255, 61anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  (
( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) )  <->  ( ( ( r s w )  e.  V  /\  (
r s ( w 
.+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  ( r s x ) )  /\  (
( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q 
.X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s
w )  =  w ) ) ) )
6346, 62raleqbidv 3046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( A. w  e.  v 
( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) )  <->  A. w  e.  V  ( ( ( r s w )  e.  V  /\  ( r s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  (
r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  (
r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s w )  =  w ) ) ) )
6446, 63raleqbidv 3046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( A. x  e.  v  A. w  e.  v 
( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) )  <->  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r s w )  e.  V  /\  ( r s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  (
r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  (
r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s w )  =  w ) ) ) )
65642ralbidv 2876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( A. q  e.  k  A. r  e.  k  A. x  e.  v  A. w  e.  v 
( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) )  <->  A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r s w )  e.  V  /\  ( r s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  (
r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  (
r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s w )  =  w ) ) ) )
6645, 65anbi12d 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  (
( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  ( F  e.  Ring  /\  A. q  e.  k  A. r  e.  k  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( r s w )  e.  V  /\  ( r s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w ) 
.+  ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) 
.+  ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )
s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s w )  =  w ) ) ) ) )
6744, 66syl5bb 260 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( [.  .X.  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  ( F  e.  Ring  /\  A. q  e.  k  A. r  e.  k  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( r s w )  e.  V  /\  ( r s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w ) 
.+  ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) 
.+  ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )
s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s w )  =  w ) ) ) ) )
6833, 67bitrd 256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  ( F  e.  Ring  /\  A. q  e.  k  A. r  e.  k  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( r s w )  e.  V  /\  ( r s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w ) 
.+  ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) 
.+  ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )
s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s w )  =  w ) ) ) ) )
6929, 68sbceqbid 3312 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [.  .+^  /  p ]. ( F  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r s w )  e.  V  /\  ( r s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  (
r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  (
r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s w )  =  w ) ) ) ) )
7026, 69sbceqbid 3312 . . . . . . 7  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [. K  / 
k ]. [.  .+^  /  p ]. ( F  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r s w )  e.  V  /\  ( r s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  (
r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  (
r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s w )  =  w ) ) ) ) )
7170sbcbidv 3360 . . . . . 6  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( [.  .x.  /  s ]. [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [.  .x.  /  s ]. [. K  /  k ]. [.  .+^  /  p ]. ( F  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r s w )  e.  V  /\  ( r s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  (
r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  (
r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s w )  =  w ) ) ) ) )
7218, 20, 22, 71sbc3ie 3375 . . . . 5  |-  ( [. V  /  v ]. [.  .+  /  a ]. [. F  /  f ]. [.  .x.  /  s ]. [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [.  .x.  /  s ]. [. K  /  k ]. [.  .+^  /  p ]. ( F  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r s w )  e.  V  /\  ( r s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  (
r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  (
r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s w )  =  w ) ) ) )
73 fvex 5891 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  W )  e. 
_V
7411, 73eqeltri 2513 . . . . . 6  |-  .x.  e.  _V
75 fvex 5891 . . . . . . 7  |-  ( Base `  F )  e.  _V
7625, 75eqeltri 2513 . . . . . 6  |-  K  e. 
_V
77 fvex 5891 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  F )  e.  _V
7828, 77eqeltri 2513 . . . . . 6  |-  .+^  e.  _V
79 simp2 1006 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
k  =  K )
80 simp1 1005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
s  =  .x.  )
8180oveqd 6322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( r s w )  =  ( r 
.x.  w ) )
8281eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( ( r s w )  e.  V  <->  ( r  .x.  w )  e.  V ) )
8380oveqd 6322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( r s ( w  .+  x ) )  =  ( r 
.x.  ( w  .+  x ) ) )
8480oveqd 6322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( r s x )  =  ( r 
.x.  x ) )
8581, 84oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( ( r s w )  .+  (
r s x ) )  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) ) )
8683, 85eqeq12d 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( ( r s ( w  .+  x
) )  =  ( ( r s w )  .+  ( r s x ) )  <-> 
( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) ) ) )
87 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  ->  p  =  .+^  )
8887oveqd 6322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( q p r )  =  ( q 
.+^  r ) )
8988oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( ( q p r ) s w )  =  ( ( q  .+^  r )
s w ) )
9080oveqd 6322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( ( q  .+^  r ) s w )  =  ( ( q  .+^  r )  .x.  w ) )
9189, 90eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( ( q p r ) s w )  =  ( ( q  .+^  r )  .x.  w ) )
9280oveqd 6322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( q s w )  =  ( q 
.x.  w ) )
9392, 81oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( ( q s w )  .+  (
r s w ) )  =  ( ( q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) )
9491, 93eqeq12d 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  ( r s w ) )  <-> 
( ( q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) ) )
9582, 86, 943anbi123d 1335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( ( ( r s w )  e.  V  /\  ( r s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  (
r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  (
r s w ) ) )  <->  ( (
r  .x.  w )  e.  V  /\  (
r  .x.  ( w  .+  x ) )  =  ( ( r  .x.  w )  .+  (
r  .x.  x )
)  /\  ( (
q  .+^  r )  .x.  w )  =  ( ( q  .x.  w
)  .+  ( r  .x.  w ) ) ) ) )
9680oveqd 6322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( ( q  .X.  r )  .x.  w ) )
9781oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( q s ( r s w ) )  =  ( q s ( r  .x.  w ) ) )
9880oveqd 6322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( q s ( r  .x.  w ) )  =  ( q 
.x.  ( r  .x.  w ) ) )
9997, 98eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( q s ( r s w ) )  =  ( q 
.x.  ( r  .x.  w ) ) )
10096, 99eqeq12d 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( ( ( q 
.X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  <-> 
( ( q  .X.  r )  .x.  w
)  =  ( q 
.x.  ( r  .x.  w ) ) ) )
10180oveqd 6322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
(  .1.  s w )  =  (  .1. 
.x.  w ) )
102101eqeq1d 2431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( (  .1.  s
w )  =  w  <-> 
(  .1.  .x.  w
)  =  w ) )
103100, 102anbi12d 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( ( ( ( q  .X.  r )
s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s w )  =  w )  <->  ( (
( q  .X.  r
)  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r  .x.  w
) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) )
10495, 103anbi12d 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( ( ( ( r s w )  e.  V  /\  (
r s ( w 
.+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  ( r s x ) )  /\  (
( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q 
.X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s
w )  =  w ) )  <->  ( (
( r  .x.  w
)  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) )  /\  ( ( q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) )
1051042ralbidv 2876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r s w )  e.  V  /\  (
r s ( w 
.+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  ( r s x ) )  /\  (
( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q 
.X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s
w )  =  w ) )  <->  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( r  .x.  w
)  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) )  /\  ( ( q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) )
10679, 105raleqbidv 3046 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( A. r  e.  k  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r s w )  e.  V  /\  (
r s ( w 
.+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  ( r s x ) )  /\  (
( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q 
.X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s
w )  =  w ) )  <->  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( r  .x.  w
)  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) )  /\  ( ( q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) )
10779, 106raleqbidv 3046 . . . . . . 7  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( A. q  e.  k  A. r  e.  k  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r s w )  e.  V  /\  (
r s ( w 
.+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  ( r s x ) )  /\  (
( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q 
.X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s
w )  =  w ) )  <->  A. q  e.  K  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( r  .x.  w
)  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) )  /\  ( ( q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) )
108107anbi2d 708 . . . . . 6  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( ( F  e. 
Ring  /\  A. q  e.  k  A. r  e.  k  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r s w )  e.  V  /\  (
r s ( w 
.+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  ( r s x ) )  /\  (
( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q 
.X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s
w )  =  w ) ) )  <->  ( F  e.  Ring  /\  A. q  e.  K  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( r  .x.  w
)  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) )  /\  ( ( q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) ) )
10974, 76, 78, 108sbc3ie 3375 . . . . 5  |-  ( [.  .x.  /  s ]. [. K  /  k ]. [.  .+^  /  p ]. ( F  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r s w )  e.  V  /\  ( r s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  (
r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  (
r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s w )  =  w ) ) )  <->  ( F  e. 
Ring  /\  A. q  e.  K  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r  .x.  w )  e.  V  /\  (
r  .x.  ( w  .+  x ) )  =  ( ( r  .x.  w )  .+  (
r  .x.  x )
)  /\  ( (
q  .+^  r )  .x.  w )  =  ( ( q  .x.  w
)  .+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) )
11072, 109bitri 252 . . . 4  |-  ( [. V  /  v ]. [.  .+  /  a ]. [. F  /  f ]. [.  .x.  /  s ]. [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  ( F  e.  Ring  /\  A. q  e.  K  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( r  .x.  w
)  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) )  /\  ( ( q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) )
11116, 110syl6bb 264 . . 3  |-  ( g  =  W  ->  ( [. ( Base `  g
)  /  v ]. [. ( +g  `  g
)  /  a ]. [. (Scalar `  g )  /  f ]. [. ( .s `  g )  / 
s ]. [. ( Base `  f )  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  ( F  e.  Ring  /\  A. q  e.  K  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( r  .x.  w
)  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) )  /\  ( ( q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) ) )
112 df-lmod 18028 . . 3  |-  LMod  =  { g  e.  Grp  | 
[. ( Base `  g
)  /  v ]. [. ( +g  `  g
)  /  a ]. [. (Scalar `  g )  /  f ]. [. ( .s `  g )  / 
s ]. [. ( Base `  f )  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) }
113111, 112elrab2 3237 . 2  |-  ( W  e.  LMod  <->  ( W  e. 
Grp  /\  ( F  e.  Ring  /\  A. q  e.  K  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( r  .x.  w
)  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) )  /\  ( ( q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) ) )
114 3anass 986 . 2  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. q  e.  K  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. w  e.  V  (
( ( r  .x.  w )  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) )  /\  ( ( q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) )  <->  ( W  e.  Grp  /\  ( F  e.  Ring  /\  A. q  e.  K  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( r  .x.  w
)  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) )  /\  ( ( q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) ) )
115113, 114bitr4i 255 1  |-  ( W  e.  LMod  <->  ( W  e. 
Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. q  e.  K  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r 
.x.  w )  e.  V  /\  ( r 
.x.  ( w  .+  x ) )  =  ( ( r  .x.  w )  .+  (
r  .x.  x )
)  /\  ( (
q  .+^  r )  .x.  w )  =  ( ( q  .x.  w
)  .+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   _Vcvv 3087   [.wsbc 3305   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   .rcmulr 15153  Scalarcsca 15155   .scvsca 15156   Grpcgrp 16620   1rcur 17670   Ringcrg 17715   LModclmod 18026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-nul 4556
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-iota 5565  df-fv 5609  df-ov 6308  df-lmod 18028
This theorem is referenced by:  lmodlema  18031  islmodd  18032  lmodgrp  18033  lmodring  18034  lmodprop2d  18085  lmodslmd  28358  lmod1  39045
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