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Theorem islly2 20151
Description: An alternative expression for  J  e. Locally  A when 
A passes to open subspaces: A space is locally  A if every point is contained in an open neighborhood with property  A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
restlly.1  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  x  e.  j ) )  -> 
( jt  x )  e.  A
)
islly2.2  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
islly2  |-  ( ph  ->  ( J  e. Locally  A  <->  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) ) )
Distinct variable groups:    u, j, x, y, A    j, J, u, x, y    ph, j, u, x, y    u, X, y
Allowed substitution hints:    X( x, j)

Proof of Theorem islly2
Dummy variables  v 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 llytop 20139 . . . 4  |-  ( J  e. Locally  A  ->  J  e. 
Top )
21adantl 464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e. Locally  A )  ->  J  e.  Top )
3 simplr 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  J  e. Locally  A )
42adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  J  e.  Top )
5 islly2.2 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
65topopn 19582 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
74, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  X  e.  J )
8 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
9 llyi 20141 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  X  e.  J  /\  y  e.  X )  ->  E. u  e.  J  ( u  C_  X  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
103, 7, 8, 9syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  E. u  e.  J  ( u  C_  X  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A ) )
11 3simpc 993 . . . . . 6  |-  ( ( u  C_  X  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
1211reximi 2922 . . . . 5  |-  ( E. u  e.  J  ( u  C_  X  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
1310, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
1413ralrimiva 2868 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e. Locally  A )  ->  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
152, 14jca 530 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  e. Locally  A )  ->  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )
16 simprl 754 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  J  e.  Top )
17 elssuni 4264 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  J  ->  z  C_ 
U. J )
1817, 5syl6sseqr 3536 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  J  ->  z  C_  X )
1918adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  z  e.  J )  ->  z  C_  X )
20 ssralv 3550 . . . . . . 7  |-  ( z 
C_  X  ->  ( A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  A. y  e.  z  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )
2119, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  z  e.  J )  ->  ( A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  A. y  e.  z  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )
22 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  J  e.  Top )
23 simplrl 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
z  e.  J )
24 simprl 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  u  e.  J )
25 inopn 19575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  z  e.  J  /\  u  e.  J )  ->  ( z  i^i  u
)  e.  J )
2622, 23, 24, 25syl3anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( z  i^i  u
)  e.  J )
27 inss1 3704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  i^i  u )  C_  z
28 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
2928elpw2 4601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  i^i  u )  e.  ~P z  <->  ( z  i^i  u )  C_  z
)
3027, 29mpbir 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  i^i  u )  e. 
~P z
3130a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( z  i^i  u
)  e.  ~P z
)
3226, 31elind 3674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( z  i^i  u
)  e.  ( J  i^i  ~P z ) )
33 simplrr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
y  e.  z )
34 simprrl 763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
y  e.  u )
3533, 34elind 3674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
y  e.  ( z  i^i  u ) )
36 inss2 3705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  i^i  u )  C_  u
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( z  i^i  u
)  C_  u )
38 restabs 19833 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( z  i^i  u
)  C_  u  /\  u  e.  J )  ->  ( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) )  =  ( Jt  ( z  i^i  u ) ) )
3922, 37, 24, 38syl3anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) )  =  ( Jt  ( z  i^i  u ) ) )
40 elrestr 14918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  u  e.  J  /\  z  e.  J )  ->  ( z  i^i  u
)  e.  ( Jt  u ) )
4122, 24, 23, 40syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( z  i^i  u
)  e.  ( Jt  u ) )
42 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( Jt  u )  e.  A
)
43 restlly.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  x  e.  j ) )  -> 
( jt  x )  e.  A
)
4443ralrimivva 2875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  A. x  e.  j 
( jt  x )  e.  A
)
4544ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  A. j  e.  A  A. x  e.  j 
( jt  x )  e.  A
)
46 oveq1 6277 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  ( Jt  u )  ->  ( jt  x )  =  ( ( Jt  u )t  x ) )
4746eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  ( Jt  u )  ->  ( ( jt  x )  e.  A  <->  ( ( Jt  u )t  x )  e.  A
) )
4847raleqbi1dv 3059 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( Jt  u )  ->  ( A. x  e.  j  ( jt  x
)  e.  A  <->  A. x  e.  ( Jt  u ) ( ( Jt  u )t  x )  e.  A
) )
4948rspcv 3203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Jt  u )  e.  A  ->  ( A. j  e.  A  A. x  e.  j  ( jt  x )  e.  A  ->  A. x  e.  ( Jt  u ) ( ( Jt  u )t  x )  e.  A
) )
5042, 45, 49sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  A. x  e.  ( Jt  u ) ( ( Jt  u )t  x )  e.  A
)
51 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( z  i^i  u )  ->  (
( Jt  u )t  x )  =  ( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) ) )
5251eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( z  i^i  u )  ->  (
( ( Jt  u )t  x )  e.  A  <->  ( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) )  e.  A ) )
5352rspcv 3203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  i^i  u )  e.  ( Jt  u )  ->  ( A. x  e.  ( Jt  u ) ( ( Jt  u )t  x )  e.  A  ->  ( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) )  e.  A ) )
5441, 50, 53sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) )  e.  A )
5539, 54eqeltrrd 2543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( Jt  ( z  i^i  u ) )  e.  A )
56 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  (
y  e.  v  <->  y  e.  ( z  i^i  u
) ) )
57 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  ( Jt  v )  =  ( Jt  ( z  i^i  u
) ) )
5857eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  (
( Jt  v )  e.  A  <->  ( Jt  ( z  i^i  u ) )  e.  A ) )
5956, 58anbi12d 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  (
( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A )  <->  ( y  e.  ( z  i^i  u
)  /\  ( Jt  (
z  i^i  u )
)  e.  A ) ) )
6059rspcev 3207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  i^i  u
)  e.  ( J  i^i  ~P z )  /\  ( y  e.  ( z  i^i  u
)  /\  ( Jt  (
z  i^i  u )
)  e.  A ) )  ->  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) )
6132, 35, 55, 60syl12anc 1224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) )
6261rexlimdvaa 2947 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  (
z  e.  J  /\  y  e.  z )
)  ->  ( E. u  e.  J  (
y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
6362anassrs 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  z  e.  J
)  /\  y  e.  z )  ->  ( E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
6463ralimdva 2862 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  z  e.  J )  ->  ( A. y  e.  z  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  A. y  e.  z  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
6521, 64syld 44 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  z  e.  J )  ->  ( A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  A. y  e.  z  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
6665ralrimdva 2872 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  Top )  ->  ( A. y  e.  X  E. u  e.  J  (
y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  A. z  e.  J  A. y  e.  z  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
6766impr 617 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  A. z  e.  J  A. y  e.  z  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) )
68 islly 20135 . . 3  |-  ( J  e. Locally  A  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. z  e.  J  A. y  e.  z  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
6916, 67, 68sylanbrc 662 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  J  e. Locally  A )
7015, 69impbida 830 1  |-  ( ph  ->  ( J  e. Locally  A  <->  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805    i^i cin 3460    C_ wss 3461   ~Pcpw 3999   U.cuni 4235  (class class class)co 6270   ↾t crest 14910   Topctop 19561  Locally clly 20131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-rest 14912  df-top 19566  df-lly 20133
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