Theorem islly2 20499

Description: An alternative expression for J e. Locally A when A passes to open subspaces: A space is locally A if every point is contained in an open neighborhood with property A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
restlly.1	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ x e. j ) ) -> ( j ↾t x ) e. A )
islly2.2	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
islly2	|- ( ph -> ( J e. Locally A <-> ( J e. Top /\ A. y e. X E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) )

Distinct variable groups:   u, j, x, y, A   j, J, u, x, y   ph, j, u, x, y   u, X, y

Allowed substitution hints:   X( x, j)

Proof of Theorem islly2

Dummy variables v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		llytop 20487	. . . 4 |- ( J e. Locally A -> J e. Top )
2	1	adantl 468	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. Locally A ) -> J e. Top )
3		simplr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J e. Locally A ) /\ y e. X ) -> J e. Locally A )
4	2	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ J e. Locally A ) /\ y e. X ) -> J e. Top )
5		islly2.2	. . . . . . . 8 |- X = U. J
6	5	topopn 19936	. . . . . . 7 |- ( J e. Top -> X e. J )
7	4, 6	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J e. Locally A ) /\ y e. X ) -> X e. J )
8		simpr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J e. Locally A ) /\ y e. X ) -> y e. X )
9		llyi 20489	. . . . . 6 |- ( ( J e. Locally A /\ X e. J /\ y e. X ) -> E. u e. J ( u C_ X /\ y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) )
10	3, 7, 8, 9	syl3anc 1268	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ J e. Locally A ) /\ y e. X ) -> E. u e. J ( u C_ X /\ y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) )
11		3simpc 1007	. . . . . 6 |- ( ( u C_ X /\ y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) -> ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) )
12	11	reximi 2855	. . . . 5 |- ( E. u e. J ( u C_ X /\ y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) -> E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) )
13	10, 12	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ J e. Locally A ) /\ y e. X ) -> E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) )
14	13	ralrimiva 2802	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. Locally A ) -> A. y e. X E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) )
15	2, 14	jca 535	. 2 |- ( ( ph /\ J e. Locally A ) -> ( J e. Top /\ A. y e. X E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) )
16		simprl 764	. . 3 |- ( ( ph /\ ( J e. Top /\ A. y e. X E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> J e. Top )
17		elssuni 4227	. . . . . . . . 9 |- ( z e. J -> z C_ U. J )
18	17, 5	syl6sseqr 3479	. . . . . . . 8 |- ( z e. J -> z C_ X )
19	18	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ z e. J ) -> z C_ X )
20		ssralv 3493	. . . . . . 7 |- ( z C_ X -> ( A. y e. X E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) -> A. y e. z E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ z e. J ) -> ( A. y e. X E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) -> A. y e. z E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) )
22		simpllr 769	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> J e. Top )
23		simplrl 770	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> z e. J )
24		simprl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> u e. J )
25		inopn 19929	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ z e. J /\ u e. J ) -> ( z i^i u ) e. J )
26	22, 23, 24, 25	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> ( z i^i u ) e. J )
27		inss1 3652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z i^i u ) C_ z
28		vex 3048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
29	28	elpw2 4567	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z i^i u ) e. ~P z <-> ( z i^i u ) C_ z )
30	27, 29	mpbir 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z i^i u ) e. ~P z
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> ( z i^i u ) e. ~P z )
32	26, 31	elind 3618	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> ( z i^i u ) e. ( J i^i ~P z ) )
33		simplrr 771	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> y e. z )
34		simprrl 774	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> y e. u )
35	33, 34	elind 3618	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> y e. ( z i^i u ) )
36		inss2 3653	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z i^i u ) C_ u
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> ( z i^i u ) C_ u )
38		restabs 20181	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ ( z i^i u ) C_ u /\ u e. J ) -> ( ( J ↾t u ) ↾t ( z i^i u ) ) = ( J ↾t ( z i^i u ) ) )
39	22, 37, 24, 38	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> ( ( J ↾t u ) ↾t ( z i^i u ) ) = ( J ↾t ( z i^i u ) ) )
40		elrestr 15327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ u e. J /\ z e. J ) -> ( z i^i u ) e. ( J ↾t u ) )
41	22, 24, 23, 40	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> ( z i^i u ) e. ( J ↾t u ) )
42		simprrr 775	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> ( J ↾t u ) e. A )
43		restlly.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ x e. j ) ) -> ( j ↾t x ) e. A )
44	43	ralrimivva 2809	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. j e. A A. x e. j ( j ↾t x ) e. A )
45	44	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> A. j e. A A. x e. j ( j ↾t x ) e. A )
46		oveq1 6297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = ( J ↾t u ) -> ( j ↾t x ) = ( ( J ↾t u ) ↾t x ) )
47	46	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = ( J ↾t u ) -> ( ( j ↾t x ) e. A <-> ( ( J ↾t u ) ↾t x ) e. A ) )
48	47	raleqbi1dv 2995	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = ( J ↾t u ) -> ( A. x e. j ( j ↾t x ) e. A <-> A. x e. ( J ↾t u ) ( ( J ↾t u ) ↾t x ) e. A ) )
49	48	rspcv 3146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J ↾t u ) e. A -> ( A. j e. A A. x e. j ( j ↾t x ) e. A -> A. x e. ( J ↾t u ) ( ( J ↾t u ) ↾t x ) e. A ) )
50	42, 45, 49	sylc 62	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> A. x e. ( J ↾t u ) ( ( J ↾t u ) ↾t x ) e. A )
51		oveq2 6298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( z i^i u ) -> ( ( J ↾t u ) ↾t x ) = ( ( J ↾t u ) ↾t ( z i^i u ) ) )
52	51	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( z i^i u ) -> ( ( ( J ↾t u ) ↾t x ) e. A <-> ( ( J ↾t u ) ↾t ( z i^i u ) ) e. A ) )
53	52	rspcv 3146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z i^i u ) e. ( J ↾t u ) -> ( A. x e. ( J ↾t u ) ( ( J ↾t u ) ↾t x ) e. A -> ( ( J ↾t u ) ↾t ( z i^i u ) ) e. A ) )
54	41, 50, 53	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> ( ( J ↾t u ) ↾t ( z i^i u ) ) e. A )
55	39, 54	eqeltrrd 2530	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> ( J ↾t ( z i^i u ) ) e. A )
56		eleq2 2518	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( z i^i u ) -> ( y e. v <-> y e. ( z i^i u ) ) )
57		oveq2 6298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ( z i^i u ) -> ( J ↾t v ) = ( J ↾t ( z i^i u ) ) )
58	57	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( z i^i u ) -> ( ( J ↾t v ) e. A <-> ( J ↾t ( z i^i u ) ) e. A ) )
59	56, 58	anbi12d 717	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( z i^i u ) -> ( ( y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) <-> ( y e. ( z i^i u ) /\ ( J ↾t ( z i^i u ) ) e. A ) ) )
60	59	rspcev 3150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z i^i u ) e. ( J i^i ~P z ) /\ ( y e. ( z i^i u ) /\ ( J ↾t ( z i^i u ) ) e. A ) ) -> E. v e. ( J i^i ~P z ) ( y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) )
61	32, 35, 55, 60	syl12anc 1266	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> E. v e. ( J i^i ~P z ) ( y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) )
62	61	rexlimdvaa 2880	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) -> ( E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) -> E. v e. ( J i^i ~P z ) ( y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) )
63	62	anassrs 654	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ z e. J ) /\ y e. z ) -> ( E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) -> E. v e. ( J i^i ~P z ) ( y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) )
64	63	ralimdva 2796	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ z e. J ) -> ( A. y e. z E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) -> A. y e. z E. v e. ( J i^i ~P z ) ( y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) )
65	21, 64	syld 45	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ z e. J ) -> ( A. y e. X E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) -> A. y e. z E. v e. ( J i^i ~P z ) ( y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) )
66	65	ralrimdva 2806	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. Top ) -> ( A. y e. X E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) -> A. z e. J A. y e. z E. v e. ( J i^i ~P z ) ( y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) )
67	66	impr 625	. . 3 |- ( ( ph /\ ( J e. Top /\ A. y e. X E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> A. z e. J A. y e. z E. v e. ( J i^i ~P z ) ( y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) )
68		islly 20483	. . 3 |- ( J e. Locally A <-> ( J e. Top /\ A. z e. J A. y e. z E. v e. ( J i^i ~P z ) ( y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) )
69	16, 67, 68	sylanbrc 670	. 2 |- ( ( ph /\ ( J e. Top /\ A. y e. X E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> J e. Locally A )
70	15, 69	impbida 843	1 |- ( ph -> ( J e. Locally A <-> ( J e. Top /\ A. y e. X E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   i^i cin 3403   C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198  (class class class)co 6290   ↾_t crest 15319   Topctop 19917  Locally clly 20479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-rest 15321  df-top 19921  df-lly 20481

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