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Theorem islly2 17500
Description: An alternative expression for  J  e. Locally  A when 
A passes to open subspaces: A space is locally  A if every point is contained in an open neighborhood with property  A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
restlly.1  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  x  e.  j ) )  -> 
( jt  x )  e.  A
)
islly2.2  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
islly2  |-  ( ph  ->  ( J  e. Locally  A  <->  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) ) )
Distinct variable groups:    u, j, x, y, A    j, J, u, x, y    ph, j, u, x, y    u, X, y
Allowed substitution hints:    X( x, j)

Proof of Theorem islly2
Dummy variables  v 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 llytop 17488 . . . 4  |-  ( J  e. Locally  A  ->  J  e. 
Top )
21adantl 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e. Locally  A )  ->  J  e.  Top )
3 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  J  e. Locally  A )
42adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  J  e.  Top )
5 islly2.2 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
65topopn 16934 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
74, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  X  e.  J )
8 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
9 llyi 17490 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  X  e.  J  /\  y  e.  X )  ->  E. u  e.  J  ( u  C_  X  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
103, 7, 8, 9syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  E. u  e.  J  ( u  C_  X  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A ) )
11 3simpc 956 . . . . . 6  |-  ( ( u  C_  X  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
1211reximi 2773 . . . . 5  |-  ( E. u  e.  J  ( u  C_  X  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
1310, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
1413ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e. Locally  A )  ->  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
152, 14jca 519 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  e. Locally  A )  ->  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )
16 simprl 733 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  J  e.  Top )
17 elssuni 4003 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  J  ->  z  C_ 
U. J )
1817, 5syl6sseqr 3355 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  J  ->  z  C_  X )
1918adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  z  e.  J )  ->  z  C_  X )
20 ssralv 3367 . . . . . . 7  |-  ( z 
C_  X  ->  ( A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  A. y  e.  z  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )
2119, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  z  e.  J )  ->  ( A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  A. y  e.  z  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )
22 simpllr 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  J  e.  Top )
23 simplrl 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
z  e.  J )
24 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  u  e.  J )
25 inopn 16927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  z  e.  J  /\  u  e.  J )  ->  ( z  i^i  u
)  e.  J )
2622, 23, 24, 25syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( z  i^i  u
)  e.  J )
27 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  i^i  u )  C_  z
28 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
2928elpw2 4324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  i^i  u )  e.  ~P z  <->  ( z  i^i  u )  C_  z
)
3027, 29mpbir 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  i^i  u )  e. 
~P z
3130a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( z  i^i  u
)  e.  ~P z
)
32 elin 3490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  i^i  u )  e.  ( J  i^i  ~P z )  <->  ( (
z  i^i  u )  e.  J  /\  (
z  i^i  u )  e.  ~P z ) )
3326, 31, 32sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( z  i^i  u
)  e.  ( J  i^i  ~P z ) )
34 simplrr 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
y  e.  z )
35 simprrl 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
y  e.  u )
36 elin 3490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( z  i^i  u )  <->  ( y  e.  z  /\  y  e.  u ) )
3734, 35, 36sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
y  e.  ( z  i^i  u ) )
38 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  i^i  u )  C_  u
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( z  i^i  u
)  C_  u )
40 restabs 17183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( z  i^i  u
)  C_  u  /\  u  e.  J )  ->  ( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) )  =  ( Jt  ( z  i^i  u ) ) )
4122, 39, 24, 40syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) )  =  ( Jt  ( z  i^i  u ) ) )
42 elrestr 13611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  u  e.  J  /\  z  e.  J )  ->  ( z  i^i  u
)  e.  ( Jt  u ) )
4322, 24, 23, 42syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( z  i^i  u
)  e.  ( Jt  u ) )
44 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( Jt  u )  e.  A
)
45 restlly.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  x  e.  j ) )  -> 
( jt  x )  e.  A
)
4645ralrimivva 2758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  A. x  e.  j 
( jt  x )  e.  A
)
4746ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  A. j  e.  A  A. x  e.  j 
( jt  x )  e.  A
)
48 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  ( Jt  u )  ->  ( jt  x )  =  ( ( Jt  u )t  x ) )
4948eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  ( Jt  u )  ->  ( ( jt  x )  e.  A  <->  ( ( Jt  u )t  x )  e.  A
) )
5049raleqbi1dv 2872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( Jt  u )  ->  ( A. x  e.  j  ( jt  x
)  e.  A  <->  A. x  e.  ( Jt  u ) ( ( Jt  u )t  x )  e.  A
) )
5150rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Jt  u )  e.  A  ->  ( A. j  e.  A  A. x  e.  j  ( jt  x )  e.  A  ->  A. x  e.  ( Jt  u ) ( ( Jt  u )t  x )  e.  A
) )
5244, 47, 51sylc 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  A. x  e.  ( Jt  u ) ( ( Jt  u )t  x )  e.  A
)
53 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( z  i^i  u )  ->  (
( Jt  u )t  x )  =  ( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) ) )
5453eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( z  i^i  u )  ->  (
( ( Jt  u )t  x )  e.  A  <->  ( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) )  e.  A ) )
5554rspcv 3008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  i^i  u )  e.  ( Jt  u )  ->  ( A. x  e.  ( Jt  u ) ( ( Jt  u )t  x )  e.  A  ->  ( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) )  e.  A ) )
5643, 52, 55sylc 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) )  e.  A )
5741, 56eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( Jt  ( z  i^i  u ) )  e.  A )
58 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  (
y  e.  v  <->  y  e.  ( z  i^i  u
) ) )
59 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  ( Jt  v )  =  ( Jt  ( z  i^i  u
) ) )
6059eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  (
( Jt  v )  e.  A  <->  ( Jt  ( z  i^i  u ) )  e.  A ) )
6158, 60anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  (
( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A )  <->  ( y  e.  ( z  i^i  u
)  /\  ( Jt  (
z  i^i  u )
)  e.  A ) ) )
6261rspcev 3012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  i^i  u
)  e.  ( J  i^i  ~P z )  /\  ( y  e.  ( z  i^i  u
)  /\  ( Jt  (
z  i^i  u )
)  e.  A ) )  ->  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) )
6333, 37, 57, 62syl12anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) )
6463rexlimdvaa 2791 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  (
z  e.  J  /\  y  e.  z )
)  ->  ( E. u  e.  J  (
y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
6564anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  z  e.  J
)  /\  y  e.  z )  ->  ( E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
6665ralimdva 2744 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  z  e.  J )  ->  ( A. y  e.  z  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  A. y  e.  z  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
6721, 66syld 42 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  z  e.  J )  ->  ( A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  A. y  e.  z  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
6867ralrimdva 2756 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  Top )  ->  ( A. y  e.  X  E. u  e.  J  (
y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  A. z  e.  J  A. y  e.  z  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
6968impr 603 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  A. z  e.  J  A. y  e.  z  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) )
70 islly 17484 . . 3  |-  ( J  e. Locally  A  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. z  e.  J  A. y  e.  z  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
7116, 69, 70sylanbrc 646 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  J  e. Locally  A )
7215, 71impbida 806 1  |-  ( ph  ->  ( J  e. Locally  A  <->  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975  (class class class)co 6040   ↾t crest 13603   Topctop 16913  Locally clly 17480
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-rest 13605  df-top 16918  df-lly 17482
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