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Theorem islly2 19063
Description: An alternative expression for  J  e. Locally  A when 
A passes to open subspaces: A space is locally  A if every point is contained in an open neighborhood with property  A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
restlly.1  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  x  e.  j ) )  -> 
( jt  x )  e.  A
)
islly2.2  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
islly2  |-  ( ph  ->  ( J  e. Locally  A  <->  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) ) )
Distinct variable groups:    u, j, x, y, A    j, J, u, x, y    ph, j, u, x, y    u, X, y
Allowed substitution hints:    X( x, j)

Proof of Theorem islly2
Dummy variables  v 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 llytop 19051 . . . 4  |-  ( J  e. Locally  A  ->  J  e. 
Top )
21adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e. Locally  A )  ->  J  e.  Top )
3 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  J  e. Locally  A )
42adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  J  e.  Top )
5 islly2.2 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
65topopn 18494 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
74, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  X  e.  J )
8 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
9 llyi 19053 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  X  e.  J  /\  y  e.  X )  ->  E. u  e.  J  ( u  C_  X  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
103, 7, 8, 9syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  E. u  e.  J  ( u  C_  X  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A ) )
11 3simpc 987 . . . . . 6  |-  ( ( u  C_  X  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
1211reximi 2818 . . . . 5  |-  ( E. u  e.  J  ( u  C_  X  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
1310, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
1413ralrimiva 2794 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e. Locally  A )  ->  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
152, 14jca 532 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  e. Locally  A )  ->  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )
16 simprl 755 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  J  e.  Top )
17 elssuni 4116 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  J  ->  z  C_ 
U. J )
1817, 5syl6sseqr 3398 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  J  ->  z  C_  X )
1918adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  z  e.  J )  ->  z  C_  X )
20 ssralv 3411 . . . . . . 7  |-  ( z 
C_  X  ->  ( A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  A. y  e.  z  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )
2119, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  z  e.  J )  ->  ( A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  A. y  e.  z  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )
22 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  J  e.  Top )
23 simplrl 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
z  e.  J )
24 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  u  e.  J )
25 inopn 18487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  z  e.  J  /\  u  e.  J )  ->  ( z  i^i  u
)  e.  J )
2622, 23, 24, 25syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( z  i^i  u
)  e.  J )
27 inss1 3565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  i^i  u )  C_  z
28 vex 2970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
2928elpw2 4451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  i^i  u )  e.  ~P z  <->  ( z  i^i  u )  C_  z
)
3027, 29mpbir 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  i^i  u )  e. 
~P z
3130a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( z  i^i  u
)  e.  ~P z
)
3226, 31elind 3535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( z  i^i  u
)  e.  ( J  i^i  ~P z ) )
33 simplrr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
y  e.  z )
34 simprrl 763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
y  e.  u )
3533, 34elind 3535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
y  e.  ( z  i^i  u ) )
36 inss2 3566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  i^i  u )  C_  u
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( z  i^i  u
)  C_  u )
38 restabs 18744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( z  i^i  u
)  C_  u  /\  u  e.  J )  ->  ( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) )  =  ( Jt  ( z  i^i  u ) ) )
3922, 37, 24, 38syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) )  =  ( Jt  ( z  i^i  u ) ) )
40 elrestr 14359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  u  e.  J  /\  z  e.  J )  ->  ( z  i^i  u
)  e.  ( Jt  u ) )
4122, 24, 23, 40syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( z  i^i  u
)  e.  ( Jt  u ) )
42 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( Jt  u )  e.  A
)
43 restlly.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  x  e.  j ) )  -> 
( jt  x )  e.  A
)
4443ralrimivva 2803 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  A. x  e.  j 
( jt  x )  e.  A
)
4544ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  A. j  e.  A  A. x  e.  j 
( jt  x )  e.  A
)
46 oveq1 6093 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  ( Jt  u )  ->  ( jt  x )  =  ( ( Jt  u )t  x ) )
4746eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  ( Jt  u )  ->  ( ( jt  x )  e.  A  <->  ( ( Jt  u )t  x )  e.  A
) )
4847raleqbi1dv 2920 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( Jt  u )  ->  ( A. x  e.  j  ( jt  x
)  e.  A  <->  A. x  e.  ( Jt  u ) ( ( Jt  u )t  x )  e.  A
) )
4948rspcv 3064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Jt  u )  e.  A  ->  ( A. j  e.  A  A. x  e.  j  ( jt  x )  e.  A  ->  A. x  e.  ( Jt  u ) ( ( Jt  u )t  x )  e.  A
) )
5042, 45, 49sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  A. x  e.  ( Jt  u ) ( ( Jt  u )t  x )  e.  A
)
51 oveq2 6094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( z  i^i  u )  ->  (
( Jt  u )t  x )  =  ( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) ) )
5251eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( z  i^i  u )  ->  (
( ( Jt  u )t  x )  e.  A  <->  ( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) )  e.  A ) )
5352rspcv 3064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  i^i  u )  e.  ( Jt  u )  ->  ( A. x  e.  ( Jt  u ) ( ( Jt  u )t  x )  e.  A  ->  ( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) )  e.  A ) )
5441, 50, 53sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) )  e.  A )
5539, 54eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( Jt  ( z  i^i  u ) )  e.  A )
56 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  (
y  e.  v  <->  y  e.  ( z  i^i  u
) ) )
57 oveq2 6094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  ( Jt  v )  =  ( Jt  ( z  i^i  u
) ) )
5857eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  (
( Jt  v )  e.  A  <->  ( Jt  ( z  i^i  u ) )  e.  A ) )
5956, 58anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  (
( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A )  <->  ( y  e.  ( z  i^i  u
)  /\  ( Jt  (
z  i^i  u )
)  e.  A ) ) )
6059rspcev 3068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  i^i  u
)  e.  ( J  i^i  ~P z )  /\  ( y  e.  ( z  i^i  u
)  /\  ( Jt  (
z  i^i  u )
)  e.  A ) )  ->  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) )
6132, 35, 55, 60syl12anc 1216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) )
6261rexlimdvaa 2837 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  (
z  e.  J  /\  y  e.  z )
)  ->  ( E. u  e.  J  (
y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
6362anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  z  e.  J
)  /\  y  e.  z )  ->  ( E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
6463ralimdva 2789 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  z  e.  J )  ->  ( A. y  e.  z  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  A. y  e.  z  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
6521, 64syld 44 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  z  e.  J )  ->  ( A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  A. y  e.  z  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
6665ralrimdva 2801 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  Top )  ->  ( A. y  e.  X  E. u  e.  J  (
y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  A. z  e.  J  A. y  e.  z  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
6766impr 619 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  A. z  e.  J  A. y  e.  z  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) )
68 islly 19047 . . 3  |-  ( J  e. Locally  A  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. z  e.  J  A. y  e.  z  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
6916, 67, 68sylanbrc 664 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  J  e. Locally  A )
7015, 69impbida 828 1  |-  ( ph  ->  ( J  e. Locally  A  <->  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711    i^i cin 3322    C_ wss 3323   ~Pcpw 3855   U.cuni 4086  (class class class)co 6086   ↾t crest 14351   Topctop 18473  Locally clly 19043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-rest 14353  df-top 18478  df-lly 19045
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