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Theorem islly2 17500
 Description: An alternative expression for Locally when passes to open subspaces: A space is locally if every point is contained in an open neighborhood with property . (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
restlly.1 t
islly2.2
Assertion
Ref Expression
islly2 Locally t
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem islly2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 llytop 17488 . . . 4 Locally
21adantl 453 . . 3 Locally
3 simplr 732 . . . . . 6 Locally Locally
42adantr 452 . . . . . . 7 Locally
5 islly2.2 . . . . . . . 8
65topopn 16934 . . . . . . 7
74, 6syl 16 . . . . . 6 Locally
8 simpr 448 . . . . . 6 Locally
9 llyi 17490 . . . . . 6 Locally t
103, 7, 8, 9syl3anc 1184 . . . . 5 Locally t
11 3simpc 956 . . . . . 6 t t
1211reximi 2773 . . . . 5 t t
1310, 12syl 16 . . . 4 Locally t
1413ralrimiva 2749 . . 3 Locally t
152, 14jca 519 . 2 Locally t
16 simprl 733 . . 3 t
17 elssuni 4003 . . . . . . . . 9
1817, 5syl6sseqr 3355 . . . . . . . 8
1918adantl 453 . . . . . . 7
20 ssralv 3367 . . . . . . 7 t t
2119, 20syl 16 . . . . . 6 t t
22 simpllr 736 . . . . . . . . . . . 12 t
23 simplrl 737 . . . . . . . . . . . 12 t
24 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12 t
25 inopn 16927 . . . . . . . . . . . 12
2622, 23, 24, 25syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11 t
27 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . 13
28 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . 14
2928elpw2 4324 . . . . . . . . . . . . 13
3027, 29mpbir 201 . . . . . . . . . . . 12
3130a1i 11 . . . . . . . . . . 11 t
32 elin 3490 . . . . . . . . . . 11
3326, 31, 32sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10 t
34 simplrr 738 . . . . . . . . . . 11 t
35 simprrl 741 . . . . . . . . . . 11 t
36 elin 3490 . . . . . . . . . . 11
3734, 35, 36sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10 t
38 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . 13
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 t
40 restabs 17183 . . . . . . . . . . . 12 t t t
4122, 39, 24, 40syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11 t t t t
42 elrestr 13611 . . . . . . . . . . . . 13 t
4322, 24, 23, 42syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12 t t
44 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . 13 t t
45 restlly.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 t
4645ralrimivva 2758 . . . . . . . . . . . . . 14 t
4746ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . 13 t t
48 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 t t t t
4948eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15 t t t t
5049raleqbi1dv 2872 . . . . . . . . . . . . . 14 t t t t t
5150rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . 13 t t t t t
5244, 47, 51sylc 58 . . . . . . . . . . . 12 t t t t
53 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . 14 t t t t
5453eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . 13 t t t t
5554rspcv 3008 . . . . . . . . . . . 12 t t t t t t
5643, 52, 55sylc 58 . . . . . . . . . . 11 t t t
5741, 56eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . 10 t t
58 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . 12
59 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . 13 t t
6059eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . 12 t t
6158, 60anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11 t t
6261rspcev 3012 . . . . . . . . . 10 t t
6333, 37, 57, 62syl12anc 1182 . . . . . . . . 9 t t
6463rexlimdvaa 2791 . . . . . . . 8 t t
6564anassrs 630 . . . . . . 7 t t
6665ralimdva 2744 . . . . . 6 t t
6721, 66syld 42 . . . . 5 t t
6867ralrimdva 2756 . . . 4 t t
6968impr 603 . . 3 t t
70 islly 17484 . . 3 Locally t
7116, 69, 70sylanbrc 646 . 2 t Locally
7215, 71impbida 806 1 Locally t
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721  wral 2666  wrex 2667   cin 3279   wss 3280  cpw 3759  cuni 3975  (class class class)co 6040   ↾t crest 13603  ctop 16913  Locally clly 17480 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363  ax-un 4660 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-rest 13605  df-top 16918  df-lly 17482
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