Theorem islly2 19221

Description: An alternative expression for J e. Locally A when A passes to open subspaces: A space is locally A if every point is contained in an open neighborhood with property A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
restlly.1	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ x e. j ) ) -> ( j ↾t x ) e. A )
islly2.2	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
islly2	|- ( ph -> ( J e. Locally A <-> ( J e. Top /\ A. y e. X E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) )

Distinct variable groups:   u, j, x, y, A   j, J, u, x, y   ph, j, u, x, y   u, X, y

Allowed substitution hints:   X( x, j)

Proof of Theorem islly2

Dummy variables v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		llytop 19209	. . . 4 |- ( J e. Locally A -> J e. Top )
2	1	adantl 466	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. Locally A ) -> J e. Top )
3		simplr 754	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J e. Locally A ) /\ y e. X ) -> J e. Locally A )
4	2	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ J e. Locally A ) /\ y e. X ) -> J e. Top )
5		islly2.2	. . . . . . . 8 |- X = U. J
6	5	topopn 18652	. . . . . . 7 |- ( J e. Top -> X e. J )
7	4, 6	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J e. Locally A ) /\ y e. X ) -> X e. J )
8		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J e. Locally A ) /\ y e. X ) -> y e. X )
9		llyi 19211	. . . . . 6 |- ( ( J e. Locally A /\ X e. J /\ y e. X ) -> E. u e. J ( u C_ X /\ y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) )
10	3, 7, 8, 9	syl3anc 1219	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ J e. Locally A ) /\ y e. X ) -> E. u e. J ( u C_ X /\ y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) )
11		3simpc 987	. . . . . 6 |- ( ( u C_ X /\ y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) -> ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) )
12	11	reximi 2929	. . . . 5 |- ( E. u e. J ( u C_ X /\ y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) -> E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) )
13	10, 12	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ J e. Locally A ) /\ y e. X ) -> E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) )
14	13	ralrimiva 2830	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. Locally A ) -> A. y e. X E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) )
15	2, 14	jca 532	. 2 |- ( ( ph /\ J e. Locally A ) -> ( J e. Top /\ A. y e. X E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) )
16		simprl 755	. . 3 |- ( ( ph /\ ( J e. Top /\ A. y e. X E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> J e. Top )
17		elssuni 4230	. . . . . . . . 9 |- ( z e. J -> z C_ U. J )
18	17, 5	syl6sseqr 3512	. . . . . . . 8 |- ( z e. J -> z C_ X )
19	18	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ z e. J ) -> z C_ X )
20		ssralv 3525	. . . . . . 7 |- ( z C_ X -> ( A. y e. X E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) -> A. y e. z E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) )
21	19, 20	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ z e. J ) -> ( A. y e. X E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) -> A. y e. z E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) )
22		simpllr 758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> J e. Top )
23		simplrl 759	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> z e. J )
24		simprl 755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> u e. J )
25		inopn 18645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ z e. J /\ u e. J ) -> ( z i^i u ) e. J )
26	22, 23, 24, 25	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> ( z i^i u ) e. J )
27		inss1 3679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z i^i u ) C_ z
28		vex 3081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
29	28	elpw2 4565	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z i^i u ) e. ~P z <-> ( z i^i u ) C_ z )
30	27, 29	mpbir 209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z i^i u ) e. ~P z
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> ( z i^i u ) e. ~P z )
32	26, 31	elind 3649	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> ( z i^i u ) e. ( J i^i ~P z ) )
33		simplrr 760	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> y e. z )
34		simprrl 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> y e. u )
35	33, 34	elind 3649	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> y e. ( z i^i u ) )
36		inss2 3680	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z i^i u ) C_ u
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> ( z i^i u ) C_ u )
38		restabs 18902	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ ( z i^i u ) C_ u /\ u e. J ) -> ( ( J ↾t u ) ↾t ( z i^i u ) ) = ( J ↾t ( z i^i u ) ) )
39	22, 37, 24, 38	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> ( ( J ↾t u ) ↾t ( z i^i u ) ) = ( J ↾t ( z i^i u ) ) )
40		elrestr 14487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ u e. J /\ z e. J ) -> ( z i^i u ) e. ( J ↾t u ) )
41	22, 24, 23, 40	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> ( z i^i u ) e. ( J ↾t u ) )
42		simprrr 764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> ( J ↾t u ) e. A )
43		restlly.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ x e. j ) ) -> ( j ↾t x ) e. A )
44	43	ralrimivva 2914	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. j e. A A. x e. j ( j ↾t x ) e. A )
45	44	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> A. j e. A A. x e. j ( j ↾t x ) e. A )
46		oveq1 6208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = ( J ↾t u ) -> ( j ↾t x ) = ( ( J ↾t u ) ↾t x ) )
47	46	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = ( J ↾t u ) -> ( ( j ↾t x ) e. A <-> ( ( J ↾t u ) ↾t x ) e. A ) )
48	47	raleqbi1dv 3031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = ( J ↾t u ) -> ( A. x e. j ( j ↾t x ) e. A <-> A. x e. ( J ↾t u ) ( ( J ↾t u ) ↾t x ) e. A ) )
49	48	rspcv 3175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J ↾t u ) e. A -> ( A. j e. A A. x e. j ( j ↾t x ) e. A -> A. x e. ( J ↾t u ) ( ( J ↾t u ) ↾t x ) e. A ) )
50	42, 45, 49	sylc 60	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> A. x e. ( J ↾t u ) ( ( J ↾t u ) ↾t x ) e. A )
51		oveq2 6209	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( z i^i u ) -> ( ( J ↾t u ) ↾t x ) = ( ( J ↾t u ) ↾t ( z i^i u ) ) )
52	51	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( z i^i u ) -> ( ( ( J ↾t u ) ↾t x ) e. A <-> ( ( J ↾t u ) ↾t ( z i^i u ) ) e. A ) )
53	52	rspcv 3175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z i^i u ) e. ( J ↾t u ) -> ( A. x e. ( J ↾t u ) ( ( J ↾t u ) ↾t x ) e. A -> ( ( J ↾t u ) ↾t ( z i^i u ) ) e. A ) )
54	41, 50, 53	sylc 60	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> ( ( J ↾t u ) ↾t ( z i^i u ) ) e. A )
55	39, 54	eqeltrrd 2543	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> ( J ↾t ( z i^i u ) ) e. A )
56		eleq2 2527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( z i^i u ) -> ( y e. v <-> y e. ( z i^i u ) ) )
57		oveq2 6209	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ( z i^i u ) -> ( J ↾t v ) = ( J ↾t ( z i^i u ) ) )
58	57	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = ( z i^i u ) -> ( ( J ↾t v ) e. A <-> ( J ↾t ( z i^i u ) ) e. A ) )
59	56, 58	anbi12d 710	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( z i^i u ) -> ( ( y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) <-> ( y e. ( z i^i u ) /\ ( J ↾t ( z i^i u ) ) e. A ) ) )
60	59	rspcev 3179	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z i^i u ) e. ( J i^i ~P z ) /\ ( y e. ( z i^i u ) /\ ( J ↾t ( z i^i u ) ) e. A ) ) -> E. v e. ( J i^i ~P z ) ( y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) )
61	32, 35, 55, 60	syl12anc 1217	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> E. v e. ( J i^i ~P z ) ( y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) )
62	61	rexlimdvaa 2948	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ ( z e. J /\ y e. z ) ) -> ( E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) -> E. v e. ( J i^i ~P z ) ( y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) )
63	62	anassrs 648	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ z e. J ) /\ y e. z ) -> ( E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) -> E. v e. ( J i^i ~P z ) ( y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) )
64	63	ralimdva 2832	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ z e. J ) -> ( A. y e. z E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) -> A. y e. z E. v e. ( J i^i ~P z ) ( y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) )
65	21, 64	syld 44	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ J e. Top ) /\ z e. J ) -> ( A. y e. X E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) -> A. y e. z E. v e. ( J i^i ~P z ) ( y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) )
66	65	ralrimdva 2912	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. Top ) -> ( A. y e. X E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) -> A. z e. J A. y e. z E. v e. ( J i^i ~P z ) ( y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) )
67	66	impr 619	. . 3 |- ( ( ph /\ ( J e. Top /\ A. y e. X E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> A. z e. J A. y e. z E. v e. ( J i^i ~P z ) ( y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) )
68		islly 19205	. . 3 |- ( J e. Locally A <-> ( J e. Top /\ A. z e. J A. y e. z E. v e. ( J i^i ~P z ) ( y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) )
69	16, 67, 68	sylanbrc 664	. 2 |- ( ( ph /\ ( J e. Top /\ A. y e. X E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) -> J e. Locally A )
70	15, 69	impbida 828	1 |- ( ph -> ( J e. Locally A <-> ( J e. Top /\ A. y e. X E. u e. J ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   i^i cin 3436   C_ wss 3437   ~Pcpw 3969   U.cuni 4200  (class class class)co 6201   ↾_t crest 14479   Topctop 18631  Locally clly 19201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pr 4640  ax-un 6483

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-rest 14481  df-top 18636  df-lly 19203

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