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Theorem islly2 20576
Description: An alternative expression for  J  e. Locally  A when 
A passes to open subspaces: A space is locally  A if every point is contained in an open neighborhood with property  A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
restlly.1  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  x  e.  j ) )  -> 
( jt  x )  e.  A
)
islly2.2  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
islly2  |-  ( ph  ->  ( J  e. Locally  A  <->  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) ) )
Distinct variable groups:    u, j, x, y, A    j, J, u, x, y    ph, j, u, x, y    u, X, y
Allowed substitution hints:    X( x, j)

Proof of Theorem islly2
Dummy variables  v 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 llytop 20564 . . . 4  |-  ( J  e. Locally  A  ->  J  e. 
Top )
21adantl 473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e. Locally  A )  ->  J  e.  Top )
3 simplr 770 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  J  e. Locally  A )
42adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  J  e.  Top )
5 islly2.2 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
65topopn 20013 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
74, 6syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  X  e.  J )
8 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
9 llyi 20566 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  X  e.  J  /\  y  e.  X )  ->  E. u  e.  J  ( u  C_  X  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
103, 7, 8, 9syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  E. u  e.  J  ( u  C_  X  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A ) )
11 3simpc 1029 . . . . . 6  |-  ( ( u  C_  X  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
1211reximi 2852 . . . . 5  |-  ( E. u  e.  J  ( u  C_  X  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
1310, 12syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
1413ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e. Locally  A )  ->  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
152, 14jca 541 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  e. Locally  A )  ->  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )
16 simprl 772 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  J  e.  Top )
17 elssuni 4219 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  J  ->  z  C_ 
U. J )
1817, 5syl6sseqr 3465 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  J  ->  z  C_  X )
1918adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  z  e.  J )  ->  z  C_  X )
20 ssralv 3479 . . . . . . 7  |-  ( z 
C_  X  ->  ( A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  A. y  e.  z  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )
2119, 20syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  z  e.  J )  ->  ( A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  A. y  e.  z  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )
22 simpllr 777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  J  e.  Top )
23 simplrl 778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
z  e.  J )
24 simprl 772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  u  e.  J )
25 inopn 20006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  z  e.  J  /\  u  e.  J )  ->  ( z  i^i  u
)  e.  J )
2622, 23, 24, 25syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( z  i^i  u
)  e.  J )
27 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  i^i  u )  C_  z
28 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
2928elpw2 4565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  i^i  u )  e.  ~P z  <->  ( z  i^i  u )  C_  z
)
3027, 29mpbir 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  i^i  u )  e. 
~P z
3130a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( z  i^i  u
)  e.  ~P z
)
3226, 31elind 3609 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( z  i^i  u
)  e.  ( J  i^i  ~P z ) )
33 simplrr 779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
y  e.  z )
34 simprrl 782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
y  e.  u )
3533, 34elind 3609 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
y  e.  ( z  i^i  u ) )
36 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  i^i  u )  C_  u
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( z  i^i  u
)  C_  u )
38 restabs 20258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( z  i^i  u
)  C_  u  /\  u  e.  J )  ->  ( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) )  =  ( Jt  ( z  i^i  u ) ) )
3922, 37, 24, 38syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) )  =  ( Jt  ( z  i^i  u ) ) )
40 elrestr 15405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  u  e.  J  /\  z  e.  J )  ->  ( z  i^i  u
)  e.  ( Jt  u ) )
4122, 24, 23, 40syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( z  i^i  u
)  e.  ( Jt  u ) )
42 simprrr 783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( Jt  u )  e.  A
)
43 restlly.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  x  e.  j ) )  -> 
( jt  x )  e.  A
)
4443ralrimivva 2814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  A. x  e.  j 
( jt  x )  e.  A
)
4544ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  A. j  e.  A  A. x  e.  j 
( jt  x )  e.  A
)
46 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  ( Jt  u )  ->  ( jt  x )  =  ( ( Jt  u )t  x ) )
4746eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  ( Jt  u )  ->  ( ( jt  x )  e.  A  <->  ( ( Jt  u )t  x )  e.  A
) )
4847raleqbi1dv 2981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( Jt  u )  ->  ( A. x  e.  j  ( jt  x
)  e.  A  <->  A. x  e.  ( Jt  u ) ( ( Jt  u )t  x )  e.  A
) )
4948rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Jt  u )  e.  A  ->  ( A. j  e.  A  A. x  e.  j  ( jt  x )  e.  A  ->  A. x  e.  ( Jt  u ) ( ( Jt  u )t  x )  e.  A
) )
5042, 45, 49sylc 61 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  A. x  e.  ( Jt  u ) ( ( Jt  u )t  x )  e.  A
)
51 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( z  i^i  u )  ->  (
( Jt  u )t  x )  =  ( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) ) )
5251eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( z  i^i  u )  ->  (
( ( Jt  u )t  x )  e.  A  <->  ( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) )  e.  A ) )
5352rspcv 3132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  i^i  u )  e.  ( Jt  u )  ->  ( A. x  e.  ( Jt  u ) ( ( Jt  u )t  x )  e.  A  ->  ( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) )  e.  A ) )
5441, 50, 53sylc 61 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) )  e.  A )
5539, 54eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( Jt  ( z  i^i  u ) )  e.  A )
56 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  (
y  e.  v  <->  y  e.  ( z  i^i  u
) ) )
57 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  ( Jt  v )  =  ( Jt  ( z  i^i  u
) ) )
5857eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  (
( Jt  v )  e.  A  <->  ( Jt  ( z  i^i  u ) )  e.  A ) )
5956, 58anbi12d 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  (
( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A )  <->  ( y  e.  ( z  i^i  u
)  /\  ( Jt  (
z  i^i  u )
)  e.  A ) ) )
6059rspcev 3136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  i^i  u
)  e.  ( J  i^i  ~P z )  /\  ( y  e.  ( z  i^i  u
)  /\  ( Jt  (
z  i^i  u )
)  e.  A ) )  ->  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) )
6132, 35, 55, 60syl12anc 1290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) )
6261rexlimdvaa 2872 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  (
z  e.  J  /\  y  e.  z )
)  ->  ( E. u  e.  J  (
y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
6362anassrs 660 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  z  e.  J
)  /\  y  e.  z )  ->  ( E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
6463ralimdva 2805 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  z  e.  J )  ->  ( A. y  e.  z  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  A. y  e.  z  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
6521, 64syld 44 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  z  e.  J )  ->  ( A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  A. y  e.  z  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
6665ralrimdva 2812 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  Top )  ->  ( A. y  e.  X  E. u  e.  J  (
y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  A. z  e.  J  A. y  e.  z  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
6766impr 631 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  A. z  e.  J  A. y  e.  z  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) )
68 islly 20560 . . 3  |-  ( J  e. Locally  A  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. z  e.  J  A. y  e.  z  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
6916, 67, 68sylanbrc 677 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  J  e. Locally  A )
7015, 69impbida 850 1  |-  ( ph  ->  ( J  e. Locally  A  <->  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397   Topctop 19994  Locally clly 20556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-rest 15399  df-top 19998  df-lly 20558
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