Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islln2 Structured version   Unicode version

Theorem islln2 35648
Description: The predicate "is a lattice line". (Contributed by NM, 23-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islln3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
islln3.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
islln3.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
islln3.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
Assertion
Ref Expression
islln2  |-  ( K  e.  HL  ->  ( X  e.  N  <->  ( X  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p  .\/  q
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    q, p, A    B, p, q    K, p, q    X, p, q
Allowed substitution hints:    .\/ ( q, p)    N( q, p)

Proof of Theorem islln2
StepHypRef Expression
1 islln3.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 islln3.n . . . 4  |-  N  =  ( LLines `  K )
31, 2llnbase 35646 . . 3  |-  ( X  e.  N  ->  X  e.  B )
43pm4.71ri 631 . 2  |-  ( X  e.  N  <->  ( X  e.  B  /\  X  e.  N ) )
5 islln3.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
6 islln3.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
71, 5, 6, 2islln3 35647 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  N  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  (
p  =/=  q  /\  X  =  ( p  .\/  q ) ) ) )
87pm5.32da 639 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( X  e.  B  /\  X  e.  N
)  <->  ( X  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p  .\/  q
) ) ) ) )
94, 8syl5bb 257 1  |-  ( K  e.  HL  ->  ( X  e.  N  <->  ( X  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p  .\/  q
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   E.wrex 2733   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Basecbs 14634   joincjn 15690   Atomscatm 35401   HLchlt 35488   LLinesclln 35628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-preset 15674  df-poset 15692  df-plt 15705  df-lub 15721  df-glb 15722  df-join 15723  df-meet 15724  df-p0 15786  df-lat 15793  df-clat 15855  df-oposet 35314  df-ol 35316  df-oml 35317  df-covers 35404  df-ats 35405  df-atl 35436  df-cvlat 35460  df-hlat 35489  df-llines 35635
This theorem is referenced by:  islpln5  35672  lplnnlelln  35680  llncvrlpln2  35694  2llnjN  35704  lvolnlelln  35721
  Copyright terms: Public domain W3C validator