Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islln2 Structured version   Unicode version

Theorem islln2 34307
Description: The predicate "is a lattice line". (Contributed by NM, 23-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islln3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
islln3.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
islln3.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
islln3.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
Assertion
Ref Expression
islln2  |-  ( K  e.  HL  ->  ( X  e.  N  <->  ( X  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p  .\/  q
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    q, p, A    B, p, q    K, p, q    X, p, q
Allowed substitution hints:    .\/ ( q, p)    N( q, p)

Proof of Theorem islln2
StepHypRef Expression
1 islln3.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 islln3.n . . . 4  |-  N  =  ( LLines `  K )
31, 2llnbase 34305 . . 3  |-  ( X  e.  N  ->  X  e.  B )
43pm4.71ri 633 . 2  |-  ( X  e.  N  <->  ( X  e.  B  /\  X  e.  N ) )
5 islln3.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
6 islln3.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
71, 5, 6, 2islln3 34306 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  N  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  (
p  =/=  q  /\  X  =  ( p  .\/  q ) ) ) )
87pm5.32da 641 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( X  e.  B  /\  X  e.  N
)  <->  ( X  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p  .\/  q
) ) ) ) )
94, 8syl5bb 257 1  |-  ( K  e.  HL  ->  ( X  e.  N  <->  ( X  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p  .\/  q
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14483   joincjn 15424   Atomscatm 34060   HLchlt 34147   LLinesclln 34287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-poset 15426  df-plt 15438  df-lub 15454  df-glb 15455  df-join 15456  df-meet 15457  df-p0 15519  df-lat 15526  df-clat 15588  df-oposet 33973  df-ol 33975  df-oml 33976  df-covers 34063  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148  df-llines 34294
This theorem is referenced by:  islpln5  34331  lplnnlelln  34339  llncvrlpln2  34353  2llnjN  34363  lvolnlelln  34380
  Copyright terms: Public domain W3C validator