Theorem islininds2 40381

Description: Implication of being a linearly independent subset of a (left) module over a nonzero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
islindeps2.b	|- B = ( Base ` M )
islindeps2.z	|- Z = ( 0g ` M )
islindeps2.r	|- R = (Scalar ` M )
islindeps2.e	|- E = ( Base ` R )
islindeps2.0	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
islininds2	|- ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B /\ R e. NzRing ) -> ( S linIndS M -> A. s e. S A. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( -. f finSupp .0. \/ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) ) )

Distinct variable groups:   B, f, s   f, E, s   f, M, s   R, f, s   S, f, s   f, Z, s   .0. , f, s

Proof of Theorem islininds2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lindepsnlininds 40349	. . . . 5 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod ) -> ( S linDepS M <-> -. S linIndS M ) )
2	1	ancoms 455	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) -> ( S linDepS M <-> -. S linIndS M ) )
3	2	3adant3 1029	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B /\ R e. NzRing ) -> ( S linDepS M <-> -. S linIndS M ) )
4	3	con2bid 331	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B /\ R e. NzRing ) -> ( S linIndS M <-> -. S linDepS M ) )
5		notnot 293	. . . . . . . . . 10 |- ( f finSupp .0. <-> -. -. f finSupp .0. )
6		nne 2630	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s <-> ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s )
7	6	bicomi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s <-> -. ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s )
8	5, 7	anbi12i 704	. . . . . . . . 9 |- ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) <-> ( -. -. f finSupp .0. /\ -. ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) )
9		pm4.56 498	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. -. f finSupp .0. /\ -. ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) <-> -. ( -. f finSupp .0. \/ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) )
10	8, 9	bitri 253	. . . . . . . 8 |- ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) <-> -. ( -. f finSupp .0. \/ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) )
11	10	rexbii 2891	. . . . . . 7 |- ( E. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) <-> E. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) -. ( -. f finSupp .0. \/ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) )
12		rexnal 2838	. . . . . . 7 |- ( E. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) -. ( -. f finSupp .0. \/ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) <-> -. A. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( -. f finSupp .0. \/ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) )
13	11, 12	bitri 253	. . . . . 6 |- ( E. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) <-> -. A. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( -. f finSupp .0. \/ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) )
14	13	rexbii 2891	. . . . 5 |- ( E. s e. S E. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) <-> E. s e. S -. A. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( -. f finSupp .0. \/ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) )
15		rexnal 2838	. . . . 5 |- ( E. s e. S -. A. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( -. f finSupp .0. \/ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) <-> -. A. s e. S A. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( -. f finSupp .0. \/ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) )
16	14, 15	bitri 253	. . . 4 |- ( E. s e. S E. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) <-> -. A. s e. S A. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( -. f finSupp .0. \/ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) )
17		islindeps2.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` M )
18		islindeps2.z	. . . . 5 |- Z = ( 0g ` M )
19		islindeps2.r	. . . . 5 |- R = (Scalar ` M )
20		islindeps2.e	. . . . 5 |- E = ( Base ` R )
21		islindeps2.0	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
22	17, 18, 19, 20, 21	islindeps2 40380	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B /\ R e. NzRing ) -> ( E. s e. S E. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) -> S linDepS M ) )
23	16, 22	syl5bir 222	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B /\ R e. NzRing ) -> ( -. A. s e. S A. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( -. f finSupp .0. \/ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) -> S linDepS M ) )
24	23	con1d 128	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B /\ R e. NzRing ) -> ( -. S linDepS M -> A. s e. S A. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( -. f finSupp .0. \/ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) ) )
25	4, 24	sylbid 219	1 |- ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B /\ R e. NzRing ) -> ( S linIndS M -> A. s e. S A. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( -. f finSupp .0. \/ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   \ cdif 3403   ~Pcpw 3953   {csn 3970   class class class wbr 4405   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   ^m cmap 7477   finSupp cfsupp 7888   Basecbs 15133  Scalarcsca 15205   0gc0g 15350   LModclmod 18103  NzRingcnzr 18493   linC clinc 40301   linIndS clininds 40337   linDepS clindeps 40338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-hash 12523  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-abl 17445  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-oppr 17863  df-dvdsr 17881  df-unit 17882  df-invr 17912  df-lmod 18105  df-nzr 18494  df-linc 40303  df-lininds 40339  df-lindeps 40341

This theorem is referenced by: (None)