Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islininds2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem islininds2 40381
 Description: Implication of being a linearly independent subset of a (left) module over a nonzero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islindeps2.b
islindeps2.z
islindeps2.r Scalar
islindeps2.e
islindeps2.0
Assertion
Ref Expression
islininds2 NzRing linIndS finSupp linC
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem islininds2
StepHypRef Expression
1 lindepsnlininds 40349 . . . . 5 linDepS linIndS
21ancoms 455 . . . 4 linDepS linIndS
323adant3 1029 . . 3 NzRing linDepS linIndS
43con2bid 331 . 2 NzRing linIndS linDepS
5 notnot 293 . . . . . . . . . 10 finSupp finSupp
6 nne 2630 . . . . . . . . . . 11 linC linC
76bicomi 206 . . . . . . . . . 10 linC linC
85, 7anbi12i 704 . . . . . . . . 9 finSupp linC finSupp linC
9 pm4.56 498 . . . . . . . . 9 finSupp linC finSupp linC
108, 9bitri 253 . . . . . . . 8 finSupp linC finSupp linC
1110rexbii 2891 . . . . . . 7 finSupp linC finSupp linC
12 rexnal 2838 . . . . . . 7 finSupp linC finSupp linC
1311, 12bitri 253 . . . . . 6 finSupp linC finSupp linC
1413rexbii 2891 . . . . 5 finSupp linC finSupp linC
15 rexnal 2838 . . . . 5 finSupp linC finSupp linC
1614, 15bitri 253 . . . 4 finSupp linC finSupp linC
17 islindeps2.b . . . . 5
18 islindeps2.z . . . . 5
19 islindeps2.r . . . . 5 Scalar
20 islindeps2.e . . . . 5
21 islindeps2.0 . . . . 5
2217, 18, 19, 20, 21islindeps2 40380 . . . 4 NzRing finSupp linC linDepS
2316, 22syl5bir 222 . . 3 NzRing finSupp linC linDepS
2423con1d 128 . 2 NzRing linDepS finSupp linC
254, 24sylbid 219 1 NzRing linIndS finSupp linC
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wo 370   wa 371   w3a 986   wceq 1446   wcel 1889   wne 2624  wral 2739  wrex 2740   cdif 3403  cpw 3953  csn 3970   class class class wbr 4405  cfv 5585  (class class class)co 6295   cmap 7477   finSupp cfsupp 7888  cbs 15133  Scalarcsca 15205  c0g 15350  clmod 18103  NzRingcnzr 18493   linC clinc 40301   linIndS clininds 40337   linDepS clindeps 40338 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-hash 12523  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-abl 17445  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-oppr 17863  df-dvdsr 17881  df-unit 17882  df-invr 17912  df-lmod 18105  df-nzr 18494  df-linc 40303  df-lininds 40339  df-lindeps 40341 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator