Theorem islininds2 32033

Description: Implication of being a linearly independent subset of a (left) module over a nonzero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
islindeps2.b	|- B = ( Base ` M )
islindeps2.z	|- Z = ( 0g ` M )
islindeps2.r	|- R = (Scalar ` M )
islindeps2.e	|- E = ( Base ` R )
islindeps2.0	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
islininds2	|- ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B /\ R e. NzRing ) -> ( S linIndS M -> A. s e. S A. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( -. f finSupp .0. \/ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) ) )

Distinct variable groups:   B, f, s   f, E, s   f, M, s   R, f, s   S, f, s   f, Z, s   .0. , f, s

Proof of Theorem islininds2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lindepsnlininds 32001	. . . . 5 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod ) -> ( S linDepS M <-> -. S linIndS M ) )
2	1	ancoms 453	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B ) -> ( S linDepS M <-> -. S linIndS M ) )
3	2	3adant3 1011	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B /\ R e. NzRing ) -> ( S linDepS M <-> -. S linIndS M ) )
4	3	con2bid 329	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B /\ R e. NzRing ) -> ( S linIndS M <-> -. S linDepS M ) )
5		notnot 291	. . . . . . . . . 10 |- ( f finSupp .0. <-> -. -. f finSupp .0. )
6		nne 2661	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s <-> ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s )
7	6	bicomi 202	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s <-> -. ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s )
8	5, 7	anbi12i 697	. . . . . . . . 9 |- ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) <-> ( -. -. f finSupp .0. /\ -. ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) )
9		pm4.56 495	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. -. f finSupp .0. /\ -. ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) <-> -. ( -. f finSupp .0. \/ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) )
10	8, 9	bitri 249	. . . . . . . 8 |- ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) <-> -. ( -. f finSupp .0. \/ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) )
11	10	rexbii 2958	. . . . . . 7 |- ( E. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) <-> E. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) -. ( -. f finSupp .0. \/ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) )
12		rexnal 2905	. . . . . . 7 |- ( E. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) -. ( -. f finSupp .0. \/ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) <-> -. A. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( -. f finSupp .0. \/ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) )
13	11, 12	bitri 249	. . . . . 6 |- ( E. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) <-> -. A. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( -. f finSupp .0. \/ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) )
14	13	rexbii 2958	. . . . 5 |- ( E. s e. S E. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) <-> E. s e. S -. A. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( -. f finSupp .0. \/ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) )
15		rexnal 2905	. . . . 5 |- ( E. s e. S -. A. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( -. f finSupp .0. \/ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) <-> -. A. s e. S A. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( -. f finSupp .0. \/ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) )
16	14, 15	bitri 249	. . . 4 |- ( E. s e. S E. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) <-> -. A. s e. S A. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( -. f finSupp .0. \/ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) )
17		islindeps2.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` M )
18		islindeps2.z	. . . . 5 |- Z = ( 0g ` M )
19		islindeps2.r	. . . . 5 |- R = (Scalar ` M )
20		islindeps2.e	. . . . 5 |- E = ( Base ` R )
21		islindeps2.0	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
22	17, 18, 19, 20, 21	islindeps2 32032	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B /\ R e. NzRing ) -> ( E. s e. S E. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) = s ) -> S linDepS M ) )
23	16, 22	syl5bir 218	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B /\ R e. NzRing ) -> ( -. A. s e. S A. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( -. f finSupp .0. \/ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) -> S linDepS M ) )
24	23	con1d 124	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B /\ R e. NzRing ) -> ( -. S linDepS M -> A. s e. S A. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( -. f finSupp .0. \/ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) ) )
25	4, 24	sylbid 215	1 |- ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B /\ R e. NzRing ) -> ( S linIndS M -> A. s e. S A. f e. ( E ^m ( S \ { s } ) ) ( -. f finSupp .0. \/ ( f ( linC ` M ) ( S \ { s } ) ) =/= s ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808   \ cdif 3466   ~Pcpw 4003   {csn 4020   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   ^m cmap 7410   finSupp cfsupp 7818   Basecbs 14479  Scalarcsca 14547   0gc0g 14684   LModclmod 17288  NzRingcnzr 17680   linC clinc 31953   linIndS clininds 31989   linDepS clindeps 31990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-hash 12361  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-lmod 17290  df-nzr 17681  df-linc 31955  df-lininds 31991  df-lindeps 31993

This theorem is referenced by: (None)