Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islininds2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem islininds2 40381
Description: Implication of being a linearly independent subset of a (left) module over a nonzero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islindeps2.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
islindeps2.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
islindeps2.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
islindeps2.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
islindeps2.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
islininds2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( S linIndS  M  ->  A. s  e.  S  A. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  f finSupp  .0. 
\/  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =/=  s
) ) )
Distinct variable groups:    B, f,
s    f, E, s    f, M, s    R, f, s    S, f, s    f, Z, s    .0. , f, s

Proof of Theorem islininds2
StepHypRef Expression
1 lindepsnlininds 40349 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod )  ->  ( S linDepS  M  <->  -.  S linIndS  M ) )
21ancoms 455 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  -> 
( S linDepS  M  <->  -.  S linIndS  M ) )
323adant3 1029 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( S linDepS  M  <->  -.  S linIndS  M ) )
43con2bid 331 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( S linIndS  M  <->  -.  S linDepS  M ) )
5 notnot 293 . . . . . . . . . 10  |-  ( f finSupp  .0. 
<->  -.  -.  f finSupp  .0.  )
6 nne 2630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =/=  s  <->  ( f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s )
76bicomi 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s  <->  -.  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =/=  s )
85, 7anbi12i 704 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s )  <-> 
( -.  -.  f finSupp  .0. 
/\  -.  ( f
( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) )  =/=  s ) )
9 pm4.56 498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  -.  f finSupp  .0.  /\ 
-.  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =/=  s
)  <->  -.  ( -.  f finSupp  .0.  \/  ( f ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) )  =/=  s ) )
108, 9bitri 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s )  <->  -.  ( -.  f finSupp  .0.  \/  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =/=  s
) )
1110rexbii 2891 . . . . . . 7  |-  ( E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  <->  E. f  e.  ( E  ^m  ( S 
\  { s } ) )  -.  ( -.  f finSupp  .0.  \/  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =/=  s ) )
12 rexnal 2838 . . . . . . 7  |-  ( E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) )  -.  ( -.  f finSupp  .0.  \/  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =/=  s )  <->  -.  A. f  e.  ( E  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  f finSupp  .0.  \/  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =/=  s ) )
1311, 12bitri 253 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  <->  -.  A. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  f finSupp  .0.  \/  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =/=  s ) )
1413rexbii 2891 . . . . 5  |-  ( E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  <->  E. s  e.  S  -.  A. f  e.  ( E  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  f finSupp  .0.  \/  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =/=  s ) )
15 rexnal 2838 . . . . 5  |-  ( E. s  e.  S  -.  A. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  f finSupp  .0. 
\/  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =/=  s
)  <->  -.  A. s  e.  S  A. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  f finSupp  .0.  \/  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =/=  s ) )
1614, 15bitri 253 . . . 4  |-  ( E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  <->  -.  A. s  e.  S  A. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  f finSupp  .0.  \/  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =/=  s ) )
17 islindeps2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  M
)
18 islindeps2.z . . . . 5  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
19 islindeps2.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  M )
20 islindeps2.e . . . . 5  |-  E  =  ( Base `  R
)
21 islindeps2.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
2217, 18, 19, 20, 21islindeps2 40380 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  ->  S linDepS  M ) )
2316, 22syl5bir 222 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( -.  A. s  e.  S  A. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  f finSupp  .0.  \/  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =/=  s
)  ->  S linDepS  M ) )
2423con1d 128 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( -.  S linDepS  M  ->  A. s  e.  S  A. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  f finSupp  .0.  \/  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =/=  s ) ) )
254, 24sylbid 219 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( S linIndS  M  ->  A. s  e.  S  A. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  f finSupp  .0. 
\/  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =/=  s
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740    \ cdif 3403   ~Pcpw 3953   {csn 3970   class class class wbr 4405   ` cfv 5585  (class class class)co 6295    ^m cmap 7477   finSupp cfsupp 7888   Basecbs 15133  Scalarcsca 15205   0gc0g 15350   LModclmod 18103  NzRingcnzr 18493   linC clinc 40301   linIndS clininds 40337   linDepS clindeps 40338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-hash 12523  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-abl 17445  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-oppr 17863  df-dvdsr 17881  df-unit 17882  df-invr 17912  df-lmod 18105  df-nzr 18494  df-linc 40303  df-lininds 40339  df-lindeps 40341
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator