Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islininds2 Structured version   Unicode version

Theorem islininds2 32033
Description: Implication of being a linearly independent subset of a (left) module over a nonzero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islindeps2.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
islindeps2.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
islindeps2.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
islindeps2.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
islindeps2.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
islininds2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( S linIndS  M  ->  A. s  e.  S  A. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  f finSupp  .0. 
\/  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =/=  s
) ) )
Distinct variable groups:    B, f,
s    f, E, s    f, M, s    R, f, s    S, f, s    f, Z, s    .0. , f, s

Proof of Theorem islininds2
StepHypRef Expression
1 lindepsnlininds 32001 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod )  ->  ( S linDepS  M  <->  -.  S linIndS  M ) )
21ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  -> 
( S linDepS  M  <->  -.  S linIndS  M ) )
323adant3 1011 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( S linDepS  M  <->  -.  S linIndS  M ) )
43con2bid 329 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( S linIndS  M  <->  -.  S linDepS  M ) )
5 notnot 291 . . . . . . . . . 10  |-  ( f finSupp  .0. 
<->  -.  -.  f finSupp  .0.  )
6 nne 2661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =/=  s  <->  ( f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s )
76bicomi 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s  <->  -.  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =/=  s )
85, 7anbi12i 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s )  <-> 
( -.  -.  f finSupp  .0. 
/\  -.  ( f
( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) )  =/=  s ) )
9 pm4.56 495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  -.  f finSupp  .0.  /\ 
-.  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =/=  s
)  <->  -.  ( -.  f finSupp  .0.  \/  ( f ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) )  =/=  s ) )
108, 9bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s )  <->  -.  ( -.  f finSupp  .0.  \/  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =/=  s
) )
1110rexbii 2958 . . . . . . 7  |-  ( E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  <->  E. f  e.  ( E  ^m  ( S 
\  { s } ) )  -.  ( -.  f finSupp  .0.  \/  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =/=  s ) )
12 rexnal 2905 . . . . . . 7  |-  ( E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) )  -.  ( -.  f finSupp  .0.  \/  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =/=  s )  <->  -.  A. f  e.  ( E  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  f finSupp  .0.  \/  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =/=  s ) )
1311, 12bitri 249 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  <->  -.  A. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  f finSupp  .0.  \/  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =/=  s ) )
1413rexbii 2958 . . . . 5  |-  ( E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  <->  E. s  e.  S  -.  A. f  e.  ( E  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  f finSupp  .0.  \/  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =/=  s ) )
15 rexnal 2905 . . . . 5  |-  ( E. s  e.  S  -.  A. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  f finSupp  .0. 
\/  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =/=  s
)  <->  -.  A. s  e.  S  A. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  f finSupp  .0.  \/  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =/=  s ) )
1614, 15bitri 249 . . . 4  |-  ( E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  <->  -.  A. s  e.  S  A. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  f finSupp  .0.  \/  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =/=  s ) )
17 islindeps2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  M
)
18 islindeps2.z . . . . 5  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
19 islindeps2.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  M )
20 islindeps2.e . . . . 5  |-  E  =  ( Base `  R
)
21 islindeps2.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
2217, 18, 19, 20, 21islindeps2 32032 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  ->  S linDepS  M ) )
2316, 22syl5bir 218 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( -.  A. s  e.  S  A. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  f finSupp  .0.  \/  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =/=  s
)  ->  S linDepS  M ) )
2423con1d 124 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( -.  S linDepS  M  ->  A. s  e.  S  A. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  f finSupp  .0.  \/  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =/=  s ) ) )
254, 24sylbid 215 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( S linIndS  M  ->  A. s  e.  S  A. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  f finSupp  .0. 
\/  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =/=  s
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808    \ cdif 3466   ~Pcpw 4003   {csn 4020   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    ^m cmap 7410   finSupp cfsupp 7818   Basecbs 14479  Scalarcsca 14547   0gc0g 14684   LModclmod 17288  NzRingcnzr 17680   linC clinc 31953   linIndS clininds 31989   linDepS clindeps 31990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-hash 12361  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-lmod 17290  df-nzr 17681  df-linc 31955  df-lininds 31991  df-lindeps 31993
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator