Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islininds2 Structured version   Unicode version

Theorem islininds2 33229
Description: Implication of being a linearly independent subset of a (left) module over a nonzero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islindeps2.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
islindeps2.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
islindeps2.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
islindeps2.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
islindeps2.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
islininds2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( S linIndS  M  ->  A. s  e.  S  A. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  f finSupp  .0. 
\/  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =/=  s
) ) )
Distinct variable groups:    B, f,
s    f, E, s    f, M, s    R, f, s    S, f, s    f, Z, s    .0. , f, s

Proof of Theorem islininds2
StepHypRef Expression
1 lindepsnlininds 33197 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod )  ->  ( S linDepS  M  <->  -.  S linIndS  M ) )
21ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  -> 
( S linDepS  M  <->  -.  S linIndS  M ) )
323adant3 1016 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( S linDepS  M  <->  -.  S linIndS  M ) )
43con2bid 329 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( S linIndS  M  <->  -.  S linDepS  M ) )
5 notnot 291 . . . . . . . . . 10  |-  ( f finSupp  .0. 
<->  -.  -.  f finSupp  .0.  )
6 nne 2658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =/=  s  <->  ( f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s )
76bicomi 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s  <->  -.  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =/=  s )
85, 7anbi12i 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s )  <-> 
( -.  -.  f finSupp  .0. 
/\  -.  ( f
( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) )  =/=  s ) )
9 pm4.56 495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  -.  f finSupp  .0.  /\ 
-.  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =/=  s
)  <->  -.  ( -.  f finSupp  .0.  \/  ( f ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) )  =/=  s ) )
108, 9bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s )  <->  -.  ( -.  f finSupp  .0.  \/  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =/=  s
) )
1110rexbii 2959 . . . . . . 7  |-  ( E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  <->  E. f  e.  ( E  ^m  ( S 
\  { s } ) )  -.  ( -.  f finSupp  .0.  \/  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =/=  s ) )
12 rexnal 2905 . . . . . . 7  |-  ( E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) )  -.  ( -.  f finSupp  .0.  \/  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =/=  s )  <->  -.  A. f  e.  ( E  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  f finSupp  .0.  \/  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =/=  s ) )
1311, 12bitri 249 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  <->  -.  A. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  f finSupp  .0.  \/  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =/=  s ) )
1413rexbii 2959 . . . . 5  |-  ( E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  <->  E. s  e.  S  -.  A. f  e.  ( E  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  f finSupp  .0.  \/  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =/=  s ) )
15 rexnal 2905 . . . . 5  |-  ( E. s  e.  S  -.  A. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  f finSupp  .0. 
\/  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =/=  s
)  <->  -.  A. s  e.  S  A. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  f finSupp  .0.  \/  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =/=  s ) )
1614, 15bitri 249 . . . 4  |-  ( E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  <->  -.  A. s  e.  S  A. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  f finSupp  .0.  \/  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =/=  s ) )
17 islindeps2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  M
)
18 islindeps2.z . . . . 5  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
19 islindeps2.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  M )
20 islindeps2.e . . . . 5  |-  E  =  ( Base `  R
)
21 islindeps2.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
2217, 18, 19, 20, 21islindeps2 33228 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  ->  S linDepS  M ) )
2316, 22syl5bir 218 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( -.  A. s  e.  S  A. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  f finSupp  .0.  \/  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =/=  s
)  ->  S linDepS  M ) )
2423con1d 124 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( -.  S linDepS  M  ->  A. s  e.  S  A. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  f finSupp  .0.  \/  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =/=  s ) ) )
254, 24sylbid 215 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( S linIndS  M  ->  A. s  e.  S  A. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  f finSupp  .0. 
\/  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =/=  s
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808    \ cdif 3468   ~Pcpw 4015   {csn 4032   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   finSupp cfsupp 7847   Basecbs 14644  Scalarcsca 14715   0gc0g 14857   LModclmod 17639  NzRingcnzr 18032   linC clinc 33149   linIndS clininds 33185   linDepS clindeps 33186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-lmod 17641  df-nzr 18033  df-linc 33151  df-lininds 33187  df-lindeps 33189
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator