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Theorem islinds2 18370
Description: Expanded property of an independent set of vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islindf.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
islindf.v  |-  .x.  =  ( .s `  W )
islindf.k  |-  K  =  ( LSpan `  W )
islindf.s  |-  S  =  (Scalar `  W )
islindf.n  |-  N  =  ( Base `  S
)
islindf.z  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
Assertion
Ref Expression
islinds2  |-  ( W  e.  Y  ->  ( F  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( F  C_  B  /\  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, F, x    k, N    k, W, x    .0. , k
Allowed substitution hints:    B( x, k)    S( x, k)    .x. ( x, k)    K( x, k)    N( x)    Y( x, k)    .0. ( x)

Proof of Theorem islinds2
StepHypRef Expression
1 islindf.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  W
)
21islinds 18366 . 2  |-  ( W  e.  Y  ->  ( F  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( F  C_  B  /\  (  _I  |`  F ) LIndF 
W ) ) )
3 fvex 5812 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  W )  e.  _V
41, 3eqeltri 2538 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
54ssex 4547 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  B  ->  F  e.  _V )
65adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Y  /\  F  C_  B )  ->  F  e.  _V )
7 resiexg 6627 . . . . 5  |-  ( F  e.  _V  ->  (  _I  |`  F )  e. 
_V )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Y  /\  F  C_  B )  -> 
(  _I  |`  F )  e.  _V )
9 islindf.v . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
10 islindf.k . . . . 5  |-  K  =  ( LSpan `  W )
11 islindf.s . . . . 5  |-  S  =  (Scalar `  W )
12 islindf.n . . . . 5  |-  N  =  ( Base `  S
)
13 islindf.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
141, 9, 10, 11, 12, 13islindf 18369 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Y  /\  (  _I  |`  F )  e.  _V )  -> 
( (  _I  |`  F ) LIndF 
W  <->  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k 
.x.  ( (  _I  |`  F ) `  x
) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) ) ) )
158, 14syldan 470 . . 3  |-  ( ( W  e.  Y  /\  F  C_  B )  -> 
( (  _I  |`  F ) LIndF 
W  <->  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k 
.x.  ( (  _I  |`  F ) `  x
) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) ) ) )
1615pm5.32da 641 . 2  |-  ( W  e.  Y  ->  (
( F  C_  B  /\  (  _I  |`  F ) LIndF 
W )  <->  ( F  C_  B  /\  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k 
.x.  ( (  _I  |`  F ) `  x
) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) ) ) ) )
17 f1oi 5787 . . . . . . . . 9  |-  (  _I  |`  F ) : F -1-1-onto-> F
18 f1of 5752 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  F ) : F -1-1-onto-> F  ->  (  _I  |`  F ) : F --> F )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  F ) : F --> F
20 dmresi 5272 . . . . . . . . 9  |-  dom  (  _I  |`  F )  =  F
2120feq2i 5663 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> F  <->  (  _I  |`  F ) : F --> F )
2219, 21mpbir 209 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> F
23 fss 5678 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> F  /\  F  C_  B )  -> 
(  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B )
2422, 23mpan 670 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  B  ->  (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B )
2524biantrurd 508 . . . . 5  |-  ( F 
C_  B  ->  ( A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  }
)  -.  ( k 
.x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) )  <->  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) ) )
2620raleqi 3027 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `  x ) )  e.  ( K `  (
(  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) )  <->  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `  x ) )  e.  ( K `  (
(  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) )
27 fvresi 6016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  F  ->  (
(  _I  |`  F ) `
 x )  =  x )
2827oveq2d 6219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  F  ->  (
k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `  x ) )  =  ( k  .x.  x
) )
2920difeq1i 3581 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom  (  _I  |`  F ) 
\  { x }
)  =  ( F 
\  { x }
)
3029imaeq2i 5278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) )  =  ( (  _I  |`  F ) " ( F  \  { x } ) )
31 difss 3594 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F 
\  { x }
)  C_  F
32 resiima 5294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  \  { x } )  C_  F  ->  ( (  _I  |`  F )
" ( F  \  { x } ) )  =  ( F 
\  { x }
) )
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  _I  |`  F ) " ( F  \  { x } ) )  =  ( F 
\  { x }
)
3430, 33eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) )  =  ( F 
\  { x }
)
3534fveq2i 5805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K `
 ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F ) 
\  { x }
) ) )  =  ( K `  ( F  \  { x }
) )
3635a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  F  ->  ( K `  ( (  _I  |`  F ) "
( dom  (  _I  |`  F )  \  {
x } ) ) )  =  ( K `
 ( F  \  { x } ) ) )
3728, 36eleq12d 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  F  ->  (
( k  .x.  (
(  _I  |`  F ) `
 x ) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) )  <->  ( k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F 
\  { x }
) ) ) )
3837notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  F  ->  ( -.  ( k  .x.  (
(  _I  |`  F ) `
 x ) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) )  <->  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) )
3938ralbidv 2846 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  F  ->  ( A. k  e.  ( N  \  {  .0.  }
)  -.  ( k 
.x.  ( (  _I  |`  F ) `  x
) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) )  <->  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) )
4039ralbiia 2838 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `
 x ) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) )  <->  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) )
4126, 40bitri 249 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `  x ) )  e.  ( K `  (
(  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) )  <->  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) )
4241anbi2i 694 . . . . 5  |-  ( ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `
 x ) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) )  <->  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) )
4325, 42syl6rbbr 264 . . . 4  |-  ( F 
C_  B  ->  (
( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `
 x ) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) )  <->  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) )
4443pm5.32i 637 . . 3  |-  ( ( F  C_  B  /\  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `
 x ) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) ) )  <-> 
( F  C_  B  /\  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  }
)  -.  ( k 
.x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) )
4544a1i 11 . 2  |-  ( W  e.  Y  ->  (
( F  C_  B  /\  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `
 x ) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) ) )  <-> 
( F  C_  B  /\  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  }
)  -.  ( k 
.x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) ) )
462, 16, 453bitrd 279 1  |-  ( W  e.  Y  ->  ( F  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( F  C_  B  /\  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078    \ cdif 3436    C_ wss 3439   {csn 3988   class class class wbr 4403    _I cid 4742   dom cdm 4951    |` cres 4953   "cima 4954   -->wf 5525   -1-1-onto->wf1o 5528   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14295  Scalarcsca 14363   .scvsca 14364   0gc0g 14500   LSpanclspn 17178   LIndF clindf 18361  LIndSclinds 18362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-lindf 18363  df-linds 18364
This theorem is referenced by:  lindsind  18374  lindfrn  18378  islbs4  18389  lindslininds  31150
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