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Theorem islinds2 18717
Description: Expanded property of an independent set of vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islindf.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
islindf.v  |-  .x.  =  ( .s `  W )
islindf.k  |-  K  =  ( LSpan `  W )
islindf.s  |-  S  =  (Scalar `  W )
islindf.n  |-  N  =  ( Base `  S
)
islindf.z  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
Assertion
Ref Expression
islinds2  |-  ( W  e.  Y  ->  ( F  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( F  C_  B  /\  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, F, x    k, N    k, W, x    .0. , k
Allowed substitution hints:    B( x, k)    S( x, k)    .x. ( x, k)    K( x, k)    N( x)    Y( x, k)    .0. ( x)

Proof of Theorem islinds2
StepHypRef Expression
1 islindf.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  W
)
21islinds 18713 . 2  |-  ( W  e.  Y  ->  ( F  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( F  C_  B  /\  (  _I  |`  F ) LIndF 
W ) ) )
3 fvex 5882 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  W )  e.  _V
41, 3eqeltri 2551 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
54ssex 4597 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  B  ->  F  e.  _V )
65adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Y  /\  F  C_  B )  ->  F  e.  _V )
7 resiexg 6731 . . . . 5  |-  ( F  e.  _V  ->  (  _I  |`  F )  e. 
_V )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Y  /\  F  C_  B )  -> 
(  _I  |`  F )  e.  _V )
9 islindf.v . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
10 islindf.k . . . . 5  |-  K  =  ( LSpan `  W )
11 islindf.s . . . . 5  |-  S  =  (Scalar `  W )
12 islindf.n . . . . 5  |-  N  =  ( Base `  S
)
13 islindf.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
141, 9, 10, 11, 12, 13islindf 18716 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Y  /\  (  _I  |`  F )  e.  _V )  -> 
( (  _I  |`  F ) LIndF 
W  <->  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k 
.x.  ( (  _I  |`  F ) `  x
) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) ) ) )
158, 14syldan 470 . . 3  |-  ( ( W  e.  Y  /\  F  C_  B )  -> 
( (  _I  |`  F ) LIndF 
W  <->  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k 
.x.  ( (  _I  |`  F ) `  x
) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) ) ) )
1615pm5.32da 641 . 2  |-  ( W  e.  Y  ->  (
( F  C_  B  /\  (  _I  |`  F ) LIndF 
W )  <->  ( F  C_  B  /\  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k 
.x.  ( (  _I  |`  F ) `  x
) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) ) ) ) )
17 f1oi 5857 . . . . . . . . 9  |-  (  _I  |`  F ) : F -1-1-onto-> F
18 f1of 5822 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  F ) : F -1-1-onto-> F  ->  (  _I  |`  F ) : F --> F )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  F ) : F --> F
20 dmresi 5335 . . . . . . . . 9  |-  dom  (  _I  |`  F )  =  F
2120feq2i 5730 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> F  <->  (  _I  |`  F ) : F --> F )
2219, 21mpbir 209 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> F
23 fss 5745 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> F  /\  F  C_  B )  -> 
(  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B )
2422, 23mpan 670 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  B  ->  (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B )
2524biantrurd 508 . . . . 5  |-  ( F 
C_  B  ->  ( A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  }
)  -.  ( k 
.x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) )  <->  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) ) )
2620raleqi 3067 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `  x ) )  e.  ( K `  (
(  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) )  <->  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `  x ) )  e.  ( K `  (
(  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) )
27 fvresi 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  F  ->  (
(  _I  |`  F ) `
 x )  =  x )
2827oveq2d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  F  ->  (
k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `  x ) )  =  ( k  .x.  x
) )
2920difeq1i 3623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom  (  _I  |`  F ) 
\  { x }
)  =  ( F 
\  { x }
)
3029imaeq2i 5341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) )  =  ( (  _I  |`  F ) " ( F  \  { x } ) )
31 difss 3636 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F 
\  { x }
)  C_  F
32 resiima 5357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  \  { x } )  C_  F  ->  ( (  _I  |`  F )
" ( F  \  { x } ) )  =  ( F 
\  { x }
) )
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  _I  |`  F ) " ( F  \  { x } ) )  =  ( F 
\  { x }
)
3430, 33eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) )  =  ( F 
\  { x }
)
3534fveq2i 5875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K `
 ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F ) 
\  { x }
) ) )  =  ( K `  ( F  \  { x }
) )
3635a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  F  ->  ( K `  ( (  _I  |`  F ) "
( dom  (  _I  |`  F )  \  {
x } ) ) )  =  ( K `
 ( F  \  { x } ) ) )
3728, 36eleq12d 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  F  ->  (
( k  .x.  (
(  _I  |`  F ) `
 x ) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) )  <->  ( k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F 
\  { x }
) ) ) )
3837notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  F  ->  ( -.  ( k  .x.  (
(  _I  |`  F ) `
 x ) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) )  <->  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) )
3938ralbidv 2906 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  F  ->  ( A. k  e.  ( N  \  {  .0.  }
)  -.  ( k 
.x.  ( (  _I  |`  F ) `  x
) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F ) " ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) )  <->  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) )
4039ralbiia 2897 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `
 x ) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) )  <->  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) )
4126, 40bitri 249 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `  x ) )  e.  ( K `  (
(  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) )  <->  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) )
4241anbi2i 694 . . . . 5  |-  ( ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `
 x ) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) )  <->  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) )
4325, 42syl6rbbr 264 . . . 4  |-  ( F 
C_  B  ->  (
( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `
 x ) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) )  <->  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) )
4443pm5.32i 637 . . 3  |-  ( ( F  C_  B  /\  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `
 x ) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) ) )  <-> 
( F  C_  B  /\  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  }
)  -.  ( k 
.x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) )
4544a1i 11 . 2  |-  ( W  e.  Y  ->  (
( F  C_  B  /\  ( (  _I  |`  F ) : dom  (  _I  |`  F ) --> B  /\  A. x  e.  dom  (  _I  |`  F ) A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  ( k  .x.  ( (  _I  |`  F ) `
 x ) )  e.  ( K `  ( (  _I  |`  F )
" ( dom  (  _I  |`  F )  \  { x } ) ) ) ) )  <-> 
( F  C_  B  /\  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  }
)  -.  ( k 
.x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) ) )
462, 16, 453bitrd 279 1  |-  ( W  e.  Y  ->  ( F  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( F  C_  B  /\  A. x  e.  F  A. k  e.  ( N  \  {  .0.  } )  -.  (
k  .x.  x )  e.  ( K `  ( F  \  { x }
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    C_ wss 3481   {csn 4033   class class class wbr 4453    _I cid 4796   dom cdm 5005    |` cres 5007   "cima 5008   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507  Scalarcsca 14575   .scvsca 14576   0gc0g 14712   LSpanclspn 17488   LIndF clindf 18708  LIndSclinds 18709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-lindf 18710  df-linds 18711
This theorem is referenced by:  lindsind  18721  lindfrn  18725  islbs4  18736  lindslininds  32547
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