Theorem islinds2 18370

Description: Expanded property of an independent set of vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islindf.b	|- B = ( Base ` W )
islindf.v	|- .x. = ( .s ` W )
islindf.k	|- K = ( LSpan ` W )
islindf.s	|- S = (Scalar ` W )
islindf.n	|- N = ( Base ` S )
islindf.z	|- .0. = ( 0g ` S )

Assertion

Ref	Expression
islinds2	|- ( W e. Y -> ( F e. (LIndS ` W ) <-> ( F C_ B /\ A. x e. F A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. x ) e. ( K ` ( F \ { x } ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, F, x   k, N   k, W, x   .0. , k

Allowed substitution hints:   B( x, k)   S( x, k)   .x. ( x, k)   K( x, k)   N( x)   Y( x, k)   .0. ( x)

Proof of Theorem islinds2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islindf.b	. . 3 |- B = ( Base ` W )
2	1	islinds 18366	. 2 |- ( W e. Y -> ( F e. (LIndS ` W ) <-> ( F C_ B /\ ( _I |` F ) LIndF W ) ) )
3		fvex 5812	. . . . . . . 8 |- ( Base ` W ) e. _V
4	1, 3	eqeltri 2538	. . . . . . 7 |- B e. _V
5	4	ssex 4547	. . . . . 6 |- ( F C_ B -> F e. _V )
6	5	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( W e. Y /\ F C_ B ) -> F e. _V )
7		resiexg 6627	. . . . 5 |- ( F e. _V -> ( _I |` F ) e. _V )
8	6, 7	syl 16	. . . 4 |- ( ( W e. Y /\ F C_ B ) -> ( _I |` F ) e. _V )
9		islindf.v	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
10		islindf.k	. . . . 5 |- K = ( LSpan ` W )
11		islindf.s	. . . . 5 |- S = (Scalar ` W )
12		islindf.n	. . . . 5 |- N = ( Base ` S )
13		islindf.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` S )
14	1, 9, 10, 11, 12, 13	islindf 18369	. . . 4 |- ( ( W e. Y /\ ( _I |` F ) e. _V ) -> ( ( _I |` F ) LIndF W <-> ( ( _I |` F ) : dom ( _I |` F ) --> B /\ A. x e. dom ( _I |` F ) A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) e. ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) ) ) )
15	8, 14	syldan 470	. . 3 |- ( ( W e. Y /\ F C_ B ) -> ( ( _I |` F ) LIndF W <-> ( ( _I |` F ) : dom ( _I |` F ) --> B /\ A. x e. dom ( _I |` F ) A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) e. ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) ) ) )
16	15	pm5.32da 641	. 2 |- ( W e. Y -> ( ( F C_ B /\ ( _I |` F ) LIndF W ) <-> ( F C_ B /\ ( ( _I |` F ) : dom ( _I |` F ) --> B /\ A. x e. dom ( _I |` F ) A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) e. ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) ) ) ) )
17		f1oi 5787	. . . . . . . . 9 |- ( _I |` F ) : F -1-1-onto-> F
18		f1of 5752	. . . . . . . . 9 |- ( ( _I |` F ) : F -1-1-onto-> F -> ( _I |` F ) : F --> F )
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( _I |` F ) : F --> F
20		dmresi 5272	. . . . . . . . 9 |- dom ( _I |` F ) = F
21	20	feq2i 5663	. . . . . . . 8 |- ( ( _I |` F ) : dom ( _I |` F ) --> F <-> ( _I |` F ) : F --> F )
22	19, 21	mpbir 209	. . . . . . 7 |- ( _I |` F ) : dom ( _I |` F ) --> F
23		fss 5678	. . . . . . 7 |- ( ( ( _I |` F ) : dom ( _I |` F ) --> F /\ F C_ B ) -> ( _I |` F ) : dom ( _I |` F ) --> B )
24	22, 23	mpan 670	. . . . . 6 |- ( F C_ B -> ( _I |` F ) : dom ( _I |` F ) --> B )
25	24	biantrurd 508	. . . . 5 |- ( F C_ B -> ( A. x e. F A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. x ) e. ( K ` ( F \ { x } ) ) <-> ( ( _I |` F ) : dom ( _I |` F ) --> B /\ A. x e. F A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. x ) e. ( K ` ( F \ { x } ) ) ) ) )
26	20	raleqi 3027	. . . . . . 7 |- ( A. x e. dom ( _I |` F ) A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) e. ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) <-> A. x e. F A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) e. ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) )
27		fvresi 6016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. F -> ( ( _I |` F ) ` x ) = x )
28	27	oveq2d 6219	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. F -> ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) = ( k .x. x ) )
29	20	difeq1i 3581	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) = ( F \ { x } )
30	29	imaeq2i 5278	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) = ( ( _I |` F ) " ( F \ { x } ) )
31		difss 3594	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F \ { x } ) C_ F
32		resiima 5294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F \ { x } ) C_ F -> ( ( _I |` F ) " ( F \ { x } ) ) = ( F \ { x } ) )
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( _I |` F ) " ( F \ { x } ) ) = ( F \ { x } )
34	30, 33	eqtri 2483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) = ( F \ { x } )
35	34	fveq2i 5805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) = ( K ` ( F \ { x } ) )
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. F -> ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) = ( K ` ( F \ { x } ) ) )
37	28, 36	eleq12d 2536	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. F -> ( ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) e. ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) <-> ( k .x. x ) e. ( K ` ( F \ { x } ) ) ) )
38	37	notbid 294	. . . . . . . . 9 |- ( x e. F -> ( -. ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) e. ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) <-> -. ( k .x. x ) e. ( K ` ( F \ { x } ) ) ) )
39	38	ralbidv 2846	. . . . . . . 8 |- ( x e. F -> ( A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) e. ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) <-> A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. x ) e. ( K ` ( F \ { x } ) ) ) )
40	39	ralbiia 2838	. . . . . . 7 |- ( A. x e. F A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) e. ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) <-> A. x e. F A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. x ) e. ( K ` ( F \ { x } ) ) )
41	26, 40	bitri 249	. . . . . 6 |- ( A. x e. dom ( _I |` F ) A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) e. ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) <-> A. x e. F A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. x ) e. ( K ` ( F \ { x } ) ) )
42	41	anbi2i 694	. . . . 5 |- ( ( ( _I |` F ) : dom ( _I |` F ) --> B /\ A. x e. dom ( _I |` F ) A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) e. ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) ) <-> ( ( _I |` F ) : dom ( _I |` F ) --> B /\ A. x e. F A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. x ) e. ( K ` ( F \ { x } ) ) ) )
43	25, 42	syl6rbbr 264	. . . 4 |- ( F C_ B -> ( ( ( _I |` F ) : dom ( _I |` F ) --> B /\ A. x e. dom ( _I |` F ) A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) e. ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) ) <-> A. x e. F A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. x ) e. ( K ` ( F \ { x } ) ) ) )
44	43	pm5.32i 637	. . 3 |- ( ( F C_ B /\ ( ( _I |` F ) : dom ( _I |` F ) --> B /\ A. x e. dom ( _I |` F ) A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) e. ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) ) ) <-> ( F C_ B /\ A. x e. F A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. x ) e. ( K ` ( F \ { x } ) ) ) )
45	44	a1i 11	. 2 |- ( W e. Y -> ( ( F C_ B /\ ( ( _I |` F ) : dom ( _I |` F ) --> B /\ A. x e. dom ( _I |` F ) A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. ( ( _I |` F ) ` x ) ) e. ( K ` ( ( _I |` F ) " ( dom ( _I |` F ) \ { x } ) ) ) ) ) <-> ( F C_ B /\ A. x e. F A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. x ) e. ( K ` ( F \ { x } ) ) ) ) )
46	2, 16, 45	3bitrd 279	1 |- ( W e. Y -> ( F e. (LIndS ` W ) <-> ( F C_ B /\ A. x e. F A. k e. ( N \ { .0. } ) -. ( k .x. x ) e. ( K ` ( F \ { x } ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078   \ cdif 3436   C_ wss 3439   {csn 3988   class class class wbr 4403   _I cid 4742   dom cdm 4951   |` cres 4953   "cima 4954   -->wf 5525   -1-1-onto->wf1o 5528   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14295  Scalarcsca 14363   .scvsca 14364   0gc0g 14500   LSpanclspn 17178   LIndF clindf 18361  LIndSclinds 18362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-lindf 18363  df-linds 18364

This theorem is referenced by:  lindsind  18374  lindfrn  18378  islbs4  18389  lindslininds  31150