MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islindf5 Structured version   Unicode version

Theorem islindf5 18271
Description: A family is independent iff the linear combinations homomorphism is injective. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islindf5.f  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
islindf5.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
islindf5.c  |-  C  =  ( Base `  T
)
islindf5.v  |-  .x.  =  ( .s `  T )
islindf5.e  |-  E  =  ( x  e.  B  |->  ( T  gsumg  ( x  oF  .x.  A ) ) )
islindf5.t  |-  ( ph  ->  T  e.  LMod )
islindf5.i  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
islindf5.r  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  T ) )
islindf5.a  |-  ( ph  ->  A : I --> C )
Assertion
Ref Expression
islindf5  |-  ( ph  ->  ( A LIndF  T  <->  E : B -1-1-> C ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, A    x, B    x, C    x, F    x, I    x, R    x, T    x,  .x.    x, X
Allowed substitution hint:    E( x)

Proof of Theorem islindf5
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islindf5.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  LMod )
2 islindf5.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
3 islindf5.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A : I --> C )
4 islindf5.c . . . . 5  |-  C  =  ( Base `  T
)
5 eqid 2443 . . . . 5  |-  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  T )
6 islindf5.v . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  T )
7 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
8 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 0g
`  (Scalar `  T )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  T )
)
9 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  ( (Scalar `  T
) freeLMod  I ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  T ) freeLMod  I ) )
104, 5, 6, 7, 8, 9islindf4 18270 . . . 4  |-  ( ( T  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  A :
I --> C )  -> 
( A LIndF  T  <->  A. y  e.  ( Base `  (
(Scalar `  T ) freeLMod  I ) ) ( ( T  gsumg  ( y  oF  .x.  A ) )  =  ( 0g `  T )  ->  y  =  ( I  X.  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) ) ) )
111, 2, 3, 10syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A LIndF  T  <->  A. y  e.  ( Base `  (
(Scalar `  T ) freeLMod  I ) ) ( ( T  gsumg  ( y  oF  .x.  A ) )  =  ( 0g `  T )  ->  y  =  ( I  X.  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) ) ) )
12 oveq1 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  oF  .x.  A )  =  ( y  oF  .x.  A ) )
1312oveq2d 6110 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( T  gsumg  ( x  oF  .x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( y  oF  .x.  A
) ) )
14 islindf5.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  ( x  e.  B  |->  ( T  gsumg  ( x  oF  .x.  A ) ) )
15 ovex 6119 . . . . . . . . 9  |-  ( T 
gsumg  ( y  oF  .x.  A ) )  e.  _V
1613, 14, 15fvmpt 5777 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  ( E `  y )  =  ( T  gsumg  ( y  oF  .x.  A
) ) )
1716adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  ( E `  y )  =  ( T  gsumg  ( y  oF  .x.  A
) ) )
1817eqeq1d 2451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
( E `  y
)  =  ( 0g
`  T )  <->  ( T  gsumg  ( y  oF  .x.  A ) )  =  ( 0g `  T
) ) )
19 islindf5.r . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  T ) )
205lmodrng 16959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  LMod  ->  (Scalar `  T )  e.  Ring )
211, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (Scalar `  T )  e.  Ring )
2219, 21eqeltrd 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
23 islindf5.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
24 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
2523, 24frlm0 18182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  X )  ->  (
I  X.  { ( 0g `  R ) } )  =  ( 0g `  F ) )
2622, 2, 25syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I  X.  {
( 0g `  R
) } )  =  ( 0g `  F
) )
2719fveq2d 5698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  T )
) )
2827sneqd 3892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { ( 0g `  R ) }  =  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )
2928xpeq2d 4867 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I  X.  {
( 0g `  R
) } )  =  ( I  X.  {
( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) )
3026, 29eqtr3d 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0g `  F
)  =  ( I  X.  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) )
3130adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  ( 0g `  F )  =  ( I  X.  {
( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) )
3231eqeq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
y  =  ( 0g
`  F )  <->  y  =  ( I  X.  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) ) )
3318, 32imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
( ( E `  y )  =  ( 0g `  T )  ->  y  =  ( 0g `  F ) )  <->  ( ( T 
gsumg  ( y  oF  .x.  A ) )  =  ( 0g `  T )  ->  y  =  ( I  X.  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) ) ) )
3433ralbidva 2734 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( ( E `
 y )  =  ( 0g `  T
)  ->  y  =  ( 0g `  F ) )  <->  A. y  e.  B  ( ( T  gsumg  ( y  oF  .x.  A
) )  =  ( 0g `  T )  ->  y  =  ( I  X.  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) ) ) )
3519eqcomd 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (Scalar `  T )  =  R )
3635oveq1d 6109 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (Scalar `  T
) freeLMod  I )  =  ( R freeLMod  I ) )
3736, 23syl6eqr 2493 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (Scalar `  T
) freeLMod  I )  =  F )
3837fveq2d 5698 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  (
(Scalar `  T ) freeLMod  I ) )  =  (
Base `  F )
)
39 islindf5.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  F
)
4038, 39syl6eqr 2493 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  (
(Scalar `  T ) freeLMod  I ) )  =  B )
4140raleqdv 2926 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  ( Base `  (
(Scalar `  T ) freeLMod  I ) ) ( ( T  gsumg  ( y  oF  .x.  A ) )  =  ( 0g `  T )  ->  y  =  ( I  X.  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) )  <->  A. y  e.  B  ( ( T  gsumg  ( y  oF  .x.  A ) )  =  ( 0g `  T )  ->  y  =  ( I  X.  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) ) ) )
4234, 41bitr4d 256 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( ( E `
 y )  =  ( 0g `  T
)  ->  y  =  ( 0g `  F ) )  <->  A. y  e.  (
Base `  ( (Scalar `  T ) freeLMod  I ) ) ( ( T 
gsumg  ( y  oF  .x.  A ) )  =  ( 0g `  T )  ->  y  =  ( I  X.  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) ) ) )
4311, 42bitr4d 256 . 2  |-  ( ph  ->  ( A LIndF  T  <->  A. y  e.  B  ( ( E `  y )  =  ( 0g `  T )  ->  y  =  ( 0g `  F ) ) ) )
4423, 39, 4, 6, 14, 1, 2, 19, 3frlmup1 18229 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  ( F LMHom 
T ) )
45 lmghm 17115 . . 3  |-  ( E  e.  ( F LMHom  T
)  ->  E  e.  ( F  GrpHom  T ) )
46 eqid 2443 . . . 4  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
4739, 4, 46, 7ghmf1 15778 . . 3  |-  ( E  e.  ( F  GrpHom  T )  ->  ( E : B -1-1-> C  <->  A. y  e.  B  ( ( E `  y )  =  ( 0g `  T )  ->  y  =  ( 0g `  F ) ) ) )
4844, 45, 473syl 20 . 2  |-  ( ph  ->  ( E : B -1-1-> C  <->  A. y  e.  B  ( ( E `  y )  =  ( 0g `  T )  ->  y  =  ( 0g `  F ) ) ) )
4943, 48bitr4d 256 1  |-  ( ph  ->  ( A LIndF  T  <->  E : B -1-1-> C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2718   {csn 3880   class class class wbr 4295    e. cmpt 4353    X. cxp 4841   -->wf 5417   -1-1->wf1 5418   ` cfv 5421  (class class class)co 6094    oFcof 6321   Basecbs 14177  Scalarcsca 14244   .scvsca 14245   0gc0g 14381    gsumg cgsu 14382    GrpHom cghm 15747   Ringcrg 16648   LModclmod 16951   LMHom clmhm 17103   freeLMod cfrlm 18174   LIndF clindf 18236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-seq 11810  df-hash 12107  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-hom 14265  df-cco 14266  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-prds 14389  df-pws 14391  df-mre 14527  df-mrc 14528  df-acs 14530  df-mnd 15418  df-mhm 15467  df-submnd 15468  df-grp 15548  df-minusg 15549  df-sbg 15550  df-mulg 15551  df-subg 15681  df-ghm 15748  df-cntz 15838  df-cmn 16282  df-abl 16283  df-mgp 16595  df-ur 16607  df-rng 16650  df-subrg 16866  df-lmod 16953  df-lss 17017  df-lsp 17056  df-lmhm 17106  df-lbs 17159  df-sra 17256  df-rgmod 17257  df-nzr 17343  df-dsmm 18160  df-frlm 18175  df-uvc 18211  df-lindf 18238
This theorem is referenced by:  indlcim  18272
  Copyright terms: Public domain W3C validator