MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islindf4 Structured version   Unicode version

Theorem islindf4 19388
Description: A family is independent iff it has no nontrivial representations of zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islindf4.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
islindf4.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
islindf4.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
islindf4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
islindf4.y  |-  Y  =  ( 0g `  R
)
islindf4.l  |-  L  =  ( Base `  ( R freeLMod  I ) )
Assertion
Ref Expression
islindf4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  W  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  x  =  ( I  X.  { Y } ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, F    x, I    x, L    x, R    x,  .x.    x, W    x, X    x, Y    x,  .0.

Proof of Theorem islindf4
Dummy variables  j 
k  l  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raldifsni 4128 . . . . 5  |-  ( A. l  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  -.  ( ( ( invg `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  A. l  e.  ( Base `  R
) ( ( ( ( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  ->  l  =  Y ) )
2 simpll1 1045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  W  e.  LMod )
3 simprll 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  l  e.  ( Base `  R
) )
4 ffvelrn 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : I --> B  /\  j  e.  I )  ->  ( F `  j
)  e.  B )
543ad2antl3 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( F `  j )  e.  B
)
65adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  ( F `  j )  e.  B )
7 islindf4.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  B  =  ( Base `  W
)
8 islindf4.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  R  =  (Scalar `  W )
9 islindf4.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .x.  =  ( .s `  W )
10 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( invg `  W )  =  ( invg `  W )
11 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
12 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
137, 8, 9, 10, 11, 12lmodvsinv 18252 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  l  e.  ( Base `  R
)  /\  ( F `  j )  e.  B
)  ->  ( (
( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( ( invg `  W ) `  (
l  .x.  ( F `  j ) ) ) )
142, 3, 6, 13syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( ( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( ( invg `  W ) `  (
l  .x.  ( F `  j ) ) ) )
1514eqeq1d 2425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( ( ( invg `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  <->  ( ( invg `  W ) `
 ( l  .x.  ( F `  j ) ) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ) )
16 lmodgrp 18091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
172, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  W  e.  Grp )
187, 8, 9, 12lmodvscl 18101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  l  e.  ( Base `  R
)  /\  ( F `  j )  e.  B
)  ->  ( l  .x.  ( F `  j
) )  e.  B
)
192, 3, 6, 18syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
l  .x.  ( F `  j ) )  e.  B )
20 islindf4.z . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
21 lmodcmn 18129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. CMnd
)
222, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  W  e. CMnd )
23 simpll2 1046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  I  e.  X )
24 difexg 4570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( I  e.  X  ->  (
I  \  { j } )  e.  _V )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
I  \  { j } )  e.  _V )
26 simprlr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )
27 elmapi 7499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  (
I  \  { j } ) )  -> 
y : ( I 
\  { j } ) --> ( Base `  R
) )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  y : ( I  \  { j } ) --> ( Base `  R
) )
29 simpll3 1047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  F : I --> B )
30 difss 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( I 
\  { j } )  C_  I
31 fssres 5764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : I --> B  /\  ( I  \  { j } )  C_  I
)  ->  ( F  |`  ( I  \  {
j } ) ) : ( I  \  { j } ) --> B )
3229, 30, 31sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) : ( I 
\  { j } ) --> B )
338, 12, 9, 7, 2, 28, 32, 25lcomf 18120 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
y  oF  .x.  ( F  |`  ( I 
\  { j } ) ) ) : ( I  \  {
j } ) --> B )
34 islindf4.y . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Y  =  ( 0g `  R
)
35 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  y finSupp  Y )
368, 12, 9, 7, 2, 28, 32, 25, 20, 34, 35lcomfsupp 18121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
y  oF  .x.  ( F  |`  ( I 
\  { j } ) ) ) finSupp  .0.  )
377, 20, 22, 25, 33, 36gsumcl 17542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  e.  B )
38 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
397, 38, 20, 10grpinvid2 16708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( l  .x.  ( F `  j )
)  e.  B  /\  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  e.  B )  ->  ( ( ( invg `  W
) `  ( l  .x.  ( F `  j
) ) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  <->  ( ( W 
gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ( +g  `  W
) ( l  .x.  ( F `  j ) ) )  =  .0.  ) )
4017, 19, 37, 39syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( ( invg `  W ) `  (
l  .x.  ( F `  j ) ) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  <->  ( ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ( +g  `  W
) ( l  .x.  ( F `  j ) ) )  =  .0.  ) )
41 simplr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  j  e.  I )
42 fsnunf2 6116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y : ( I 
\  { j } ) --> ( Base `  R
)  /\  j  e.  I  /\  l  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( y  u.  { <. j ,  l
>. } ) : I --> ( Base `  R
) )
4328, 41, 3, 42syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
y  u.  { <. j ,  l >. } ) : I --> ( Base `  R ) )
448, 12, 9, 7, 2, 43, 29, 23lcomf 18120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F ) : I --> B )
45 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  j  e.  I )
46 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  ->  l  e.  ( Base `  R
) )
4745, 46anim12i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( l  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ) )  -> 
( j  e.  I  /\  l  e.  ( Base `  R ) ) )
48 elmapfun 7501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  (
I  \  { j } ) )  ->  Fun  y )
49 fdm 5748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y : ( I  \  { j } ) --> ( Base `  R
)  ->  dom  y  =  ( I  \  {
j } ) )
50 neldifsnd 4126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( dom  y  =  ( I 
\  { j } )  ->  -.  j  e.  ( I  \  {
j } ) )
51 df-nel 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( j  e/  dom  y  <->  -.  j  e.  dom  y )
52 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( dom  y  =  ( I 
\  { j } )  ->  ( j  e.  dom  y  <->  j  e.  ( I  \  { j } ) ) )
5352notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( dom  y  =  ( I 
\  { j } )  ->  ( -.  j  e.  dom  y  <->  -.  j  e.  ( I  \  {
j } ) ) )
5451, 53syl5bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( dom  y  =  ( I 
\  { j } )  ->  ( j  e/  dom  y  <->  -.  j  e.  ( I  \  {
j } ) ) )
5550, 54mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( dom  y  =  ( I 
\  { j } )  ->  j  e/  dom  y )
5649, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y : ( I  \  { j } ) --> ( Base `  R
)  ->  j  e/  dom  y )
5727, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  (
I  \  { j } ) )  -> 
j  e/  dom  y )
5848, 57jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  (
I  \  { j } ) )  -> 
( Fun  y  /\  j  e/  dom  y ) )
5958adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  ->  ( Fun  y  /\  j  e/  dom  y ) )
6059adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( l  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ) )  -> 
( Fun  y  /\  j  e/  dom  y ) )
6147, 60jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( l  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ) )  -> 
( ( j  e.  I  /\  l  e.  ( Base `  R
) )  /\  ( Fun  y  /\  j  e/  dom  y ) ) )
62 funsnfsupp 7911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( j  e.  I  /\  l  e.  ( Base `  R ) )  /\  ( Fun  y  /\  j  e/  dom  y
) )  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) finSupp  Y  <->  y finSupp  Y ) )
6362bicomd 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( j  e.  I  /\  l  e.  ( Base `  R ) )  /\  ( Fun  y  /\  j  e/  dom  y
) )  ->  (
y finSupp  Y  <->  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) finSupp  Y ) )
6461, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( l  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ) )  -> 
( y finSupp  Y  <->  ( y  u.  { <. j ,  l
>. } ) finSupp  Y ) )
6564biimpd 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( l  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ) )  -> 
( y finSupp  Y  ->  ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) finSupp  Y ) )
6665impr 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
y  u.  { <. j ,  l >. } ) finSupp  Y )
678, 12, 9, 7, 2, 43, 29, 23, 20, 34, 66lcomfsupp 18121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F ) finSupp  .0.  )
68 incom 3656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( I  \  { j } )  i^i  {
j } )  =  ( { j }  i^i  ( I  \  { j } ) )
69 disjdif 3868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { j }  i^i  (
I  \  { j } ) )  =  (/)
7068, 69eqtri 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  \  { j } )  i^i  {
j } )  =  (/)
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( I  \  {
j } )  i^i 
{ j } )  =  (/) )
72 difsnid 4144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  I  ->  (
( I  \  {
j } )  u. 
{ j } )  =  I )
7372eqcomd 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  I  ->  I  =  ( ( I 
\  { j } )  u.  { j } ) )
7441, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  I  =  ( ( I 
\  { j } )  u.  { j } ) )
757, 20, 38, 22, 23, 44, 67, 71, 74gsumsplit 17554 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  ( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F ) )  =  ( ( W 
gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
)  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ( +g  `  W ) ( W 
gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
)  |`  { j } ) ) ) )
76 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  y  e. 
_V
77 snex 4660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { <. j ,  l >. }  e.  _V
7876, 77unex 6601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  e.  _V
79 simpl3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  F :
I --> B )
80 simpl2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  I  e.  X )
81 fex 6151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F : I --> B  /\  I  e.  X )  ->  F  e.  _V )
8279, 80, 81syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  F  e.  _V )
8382adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  F  e.  _V )
84 offres 6800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
)  |`  ( I  \  { j } ) )  =  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  |`  (
I  \  { j } ) )  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  {
j } ) ) ) )
8578, 83, 84sylancr 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F )  |`  ( I  \  { j } ) )  =  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  |`  ( I  \  {
j } ) )  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )
86 ffn 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y : ( I  \  { j } ) --> ( Base `  R
)  ->  y  Fn  ( I  \  { j } ) )
8728, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  y  Fn  ( I  \  {
j } ) )
88 neldifsn 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -.  j  e.  ( I  \  {
j } )
89 fsnunres 6118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  Fn  ( I 
\  { j } )  /\  -.  j  e.  ( I  \  {
j } ) )  ->  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  |`  ( I  \  {
j } ) )  =  y )
9087, 88, 89sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } )  |`  (
I  \  { j } ) )  =  y )
9190oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  |`  (
I  \  { j } ) )  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  {
j } ) ) )  =  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )
9285, 91eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F )  |`  ( I  \  { j } ) )  =  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )
9392oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  ( W  gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
)  |`  ( I  \  { j } ) ) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )
94 ffn 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F ) : I --> B  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F )  Fn  I )
9544, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F )  Fn  I )
96 fnressn 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F )  Fn  I  /\  j  e.  I )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F )  |`  { j } )  =  { <. j ,  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
) `  j ) >. } )
9795, 41, 96syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F )  |`  { j } )  =  { <. j ,  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
) `  j ) >. } )
98 ffn 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) : I --> ( Base `  R )  ->  (
y  u.  { <. j ,  l >. } )  Fn  I )
9943, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
y  u.  { <. j ,  l >. } )  Fn  I )
100 ffn 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( F : I --> B  ->  F  Fn  I )
10129, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  F  Fn  I )
102 fnfvof 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  Fn  I  /\  F  Fn  I
)  /\  ( I  e.  X  /\  j  e.  I ) )  -> 
( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
) `  j )  =  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j )  .x.  ( F `  j ) ) )
10399, 101, 23, 41, 102syl22anc 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F ) `  j )  =  ( ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  .x.  ( F `  j ) ) )
104 fndm 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  Fn  ( I  \  { j } )  ->  dom  y  =  ( I  \  { j } ) )
105104eleq2d 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  Fn  ( I  \  { j } )  ->  ( j  e. 
dom  y  <->  j  e.  ( I  \  { j } ) ) )
10688, 105mtbiri 305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  Fn  ( I  \  { j } )  ->  -.  j  e.  dom  y )
107 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  j  e. 
_V
108 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  l  e. 
_V
109 fsnunfv 6117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( j  e.  _V  /\  l  e.  _V  /\  -.  j  e.  dom  y )  ->  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j )  =  l )
110107, 108, 109mp3an12 1351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  j  e.  dom  y  ->  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  =  l )
11187, 106, 1103syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  l )
112111oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( l  .x.  ( F `  j )
) )
113103, 112eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F ) `  j )  =  ( l  .x.  ( F `
 j ) ) )
114113opeq2d 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  <. j ,  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
) `  j ) >.  =  <. j ,  ( l  .x.  ( F `
 j ) )
>. )
115114sneqd 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  { <. j ,  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
) `  j ) >. }  =  { <. j ,  ( l  .x.  ( F `  j ) ) >. } )
116 ovex 6331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l 
.x.  ( F `  j ) )  e. 
_V
117 fmptsn 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  _V  /\  ( l  .x.  ( F `  j )
)  e.  _V )  ->  { <. j ,  ( l  .x.  ( F `
 j ) )
>. }  =  ( x  e.  { j } 
|->  ( l  .x.  ( F `  j )
) ) )
118107, 116, 117mp2an 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { <. j ,  ( l  .x.  ( F `  j ) ) >. }  =  ( x  e.  { j }  |->  ( l  .x.  ( F `  j ) ) )
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  { <. j ,  ( l  .x.  ( F `  j ) ) >. }  =  ( x  e.  { j }  |->  ( l  .x.  ( F `  j ) ) ) )
12097, 115, 1193eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F )  |`  { j } )  =  ( x  e. 
{ j }  |->  ( l  .x.  ( F `
 j ) ) ) )
121120oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  ( W  gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
)  |`  { j } ) )  =  ( W  gsumg  ( x  e.  {
j }  |->  ( l 
.x.  ( F `  j ) ) ) ) )
122 cmnmnd 17438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( W  e. CMnd  ->  W  e.  Mnd )
12322, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  W  e.  Mnd )
124107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  j  e.  _V )
125 eqidd 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  j  ->  (
l  .x.  ( F `  j ) )  =  ( l  .x.  ( F `  j )
) )
1267, 125gsumsn 17580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e.  Mnd  /\  j  e.  _V  /\  (
l  .x.  ( F `  j ) )  e.  B )  ->  ( W  gsumg  ( x  e.  {
j }  |->  ( l 
.x.  ( F `  j ) ) ) )  =  ( l 
.x.  ( F `  j ) ) )
127123, 124, 19, 126syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  ( W  gsumg  ( x  e.  {
j }  |->  ( l 
.x.  ( F `  j ) ) ) )  =  ( l 
.x.  ( F `  j ) ) )
128121, 127eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  ( W  gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
)  |`  { j } ) )  =  ( l  .x.  ( F `
 j ) ) )
12993, 128oveq12d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( W  gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
)  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ( +g  `  W ) ( W 
gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
)  |`  { j } ) ) )  =  ( ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ( +g  `  W ) ( l  .x.  ( F `  j )
) ) )
13075, 129eqtr2d 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ( +g  `  W
) ( l  .x.  ( F `  j ) ) )  =  ( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F ) ) )
131130eqeq1d 2425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ( +g  `  W ) ( l  .x.  ( F `  j )
) )  =  .0.  <->  ( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ) )
13215, 40, 1313bitrd 283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( ( ( invg `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  <->  ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
) )  =  .0.  ) )
133111eqcomd 2431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  l  =  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j ) )
134133eqeq1d 2425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
l  =  Y  <->  ( (
y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j )  =  Y ) )
135132, 134imbi12d 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( ( ( ( invg `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  ( ( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) ) )
136135anassrs 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  /\  j  e.  I )  /\  ( l  e.  (
Base `  R )  /\  y  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( I  \  {
j } ) ) ) )  /\  y finSupp  Y )  ->  ( (
( ( ( invg `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  ( ( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) ) )
137136pm5.74da 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( l  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ) )  -> 
( ( y finSupp  Y  ->  ( ( ( ( invg `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  ->  l  =  Y ) )  <->  ( y finSupp  Y  ->  ( ( W 
gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
138 impexp 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y finSupp  Y  /\  ( ( ( invg `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  ( y finSupp  Y  ->  ( ( ( ( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  ->  l  =  Y ) ) )
139138a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( l  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ) )  -> 
( ( ( y finSupp  Y  /\  ( ( ( invg `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  ( y finSupp  Y  ->  ( ( ( ( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  ->  l  =  Y ) ) ) )
14064bicomd 205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( l  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ) )  -> 
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) finSupp  Y  <->  y finSupp  Y ) )
141140imbi1d 319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( l  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ) )  -> 
( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) finSupp  Y  ->  ( ( W 
gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) )  <->  ( y finSupp  Y  ->  ( ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
142137, 139, 1413bitr4d 289 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( l  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ) )  -> 
( ( ( y finSupp  Y  /\  ( ( ( invg `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  ( (
y  u.  { <. j ,  l >. } ) finSupp  Y  ->  ( ( W 
gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
1431422ralbidva 2868 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( Base `  R ) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( y finSupp  Y  /\  ( ( ( invg `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  A. l  e.  ( Base `  R
) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) finSupp  Y  ->  ( ( W 
gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
144 breq1 4424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
x finSupp  Y  <->  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) finSupp  Y ) )
145 oveq1 6310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
x  oF  .x.  F )  =  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F ) )
146145oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
) ) )
147146eqeq1d 2425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  <->  ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ) )
148 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
x `  j )  =  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j ) )
149148eqeq1d 2425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
( x `  j
)  =  Y  <->  ( (
y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j )  =  Y ) )
150147, 149imbi12d 322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  Y )  <-> 
( ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  =  Y ) ) )
151144, 150imbi12d 322 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
( x finSupp  Y  ->  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) )  <->  ( (
y  u.  { <. j ,  l >. } ) finSupp  Y  ->  ( ( W 
gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
152151ralxpmap 7527 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  I  ->  ( A. x  e.  (
( Base `  R )  ^m  I ) ( x finSupp  Y  ->  ( ( W 
gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  ( x `  j )  =  Y ) )  <->  A. l  e.  ( Base `  R
) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) finSupp  Y  ->  ( ( W 
gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
153152adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. x  e.  ( ( Base `  R )  ^m  I ) ( x finSupp  Y  ->  ( ( W 
gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  ( x `  j )  =  Y ) )  <->  A. l  e.  ( Base `  R
) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) finSupp  Y  ->  ( ( W 
gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
154143, 153bitr4d 260 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( Base `  R ) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( y finSupp  Y  /\  ( ( ( invg `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  A. x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )
( x finSupp  Y  ->  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) ) ) )
155 breq1 4424 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
z finSupp  Y  <->  x finSupp  Y ) )
156155ralrab 3234 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  z finSupp  Y }  (
( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y )  <->  A. x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )
( x finSupp  Y  ->  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) ) )
157154, 156syl6bbr 267 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( Base `  R ) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( y finSupp  Y  /\  ( ( ( invg `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  A. x  e.  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  z finSupp  Y }  (
( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) ) )
158 resima 5154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) " ( I 
\  { j } ) )  =  ( F " ( I 
\  { j } ) )
159158eqcomi 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" ( I  \  { j } ) )  =  ( ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) " ( I 
\  { j } ) )
160159fveq2i 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  =  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) " ( I 
\  { j } ) ) )
161160eleq2i 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  ( ( ( invg `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) "
( I  \  {
j } ) ) ) )
162 eqid 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
16379, 30, 31sylancl 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( F  |`  ( I  \  {
j } ) ) : ( I  \  { j } ) --> B )
164 simpl1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  W  e.  LMod )
165243ad2ant2 1028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( I  \  {
j } )  e. 
_V )
166165adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( I  \  { j } )  e.  _V )
167162, 7, 12, 8, 34, 9, 163, 164, 166ellspd 19352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( (
( ( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  E. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( y finSupp  Y  /\  ( ( ( invg `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ) ) )
168161, 167syl5bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( (
( ( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  E. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( y finSupp  Y  /\  ( ( ( invg `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ) ) )
169168imbi1d 319 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( (
( ( ( invg `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  -> 
l  =  Y )  <-> 
( E. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( y finSupp  Y  /\  ( ( ( invg `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y ) ) )
170 r19.23v 2906 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( y finSupp  Y  /\  ( ( ( invg `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  ( E. y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( y finSupp  Y  /\  (
( ( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y ) )
171169, 170syl6bbr 267 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( (
( ( ( invg `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  -> 
l  =  Y )  <->  A. y  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( I  \  {
j } ) ) ( ( y finSupp  Y  /\  ( ( ( invg `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y ) ) )
172171ralbidv 2865 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( Base `  R ) ( ( ( ( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  A. l  e.  ( Base `  R
) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( y finSupp  Y  /\  ( ( ( invg `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y ) ) )
173 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Scalar `  W )  e.  _V
1748, 173eqeltri 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  R  e. 
_V
175 eqid 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R freeLMod  I )  =  ( R freeLMod  I )
176 eqid 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z  e.  ( ( Base `  R )  ^m  I
)  |  z finSupp  Y }  =  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  z finSupp  Y }
177175, 12, 34, 176frlmbas 19310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  _V  /\  I  e.  X )  ->  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  z finSupp  Y }  =  ( Base `  ( R freeLMod  I ) ) )
178174, 177mpan 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  X  ->  { z  e.  ( ( Base `  R )  ^m  I
)  |  z finSupp  Y }  =  ( Base `  ( R freeLMod  I )
) )
1791783ad2ant2 1028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  ->  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  z finSupp  Y }  =  ( Base `  ( R freeLMod  I ) ) )
180179adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  z finSupp  Y }  =  ( Base `  ( R freeLMod  I ) ) )
181 islindf4.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( Base `  ( R freeLMod  I ) )
182180, 181syl6reqr 2483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  L  =  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  z finSupp  Y } )
183182raleqdv 3032 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. x  e.  L  (
( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y )  <->  A. x  e.  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  z finSupp  Y }  (
( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) ) )
184157, 172, 1833bitr4d 289 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( Base `  R ) ( ( ( ( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) ) )
1851, 184syl5bb 261 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  -.  ( ( ( invg `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) ) )
1868lmodfgrp 18093 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
18712, 34, 11grpinvnzcl 16719 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  l  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } ) )  ->  ( ( invg `  R ) `
 l )  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )
188186, 187sylan 474 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  l  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )  -> 
( ( invg `  R ) `  l
)  e.  ( (
Base `  R )  \  { Y } ) )
18912, 34, 11grpinvnzcl 16719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  k  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } ) )  ->  ( ( invg `  R ) `
 k )  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )
190186, 189sylan 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )  -> 
( ( invg `  R ) `  k
)  e.  ( (
Base `  R )  \  { Y } ) )
191 eldifi 3588 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  ->  k  e.  ( Base `  R
) )
19212, 11grpinvinv 16714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  k  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( invg `  R ) `  (
( invg `  R ) `  k
) )  =  k )
193186, 191, 192syl2an 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )  -> 
( ( invg `  R ) `  (
( invg `  R ) `  k
) )  =  k )
194193eqcomd 2431 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )  -> 
k  =  ( ( invg `  R
) `  ( ( invg `  R ) `
 k ) ) )
195 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  ( ( invg `  R ) `
 k )  -> 
( ( invg `  R ) `  l
)  =  ( ( invg `  R
) `  ( ( invg `  R ) `
 k ) ) )
196195eqeq2d 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  ( ( invg `  R ) `
 k )  -> 
( k  =  ( ( invg `  R ) `  l
)  <->  k  =  ( ( invg `  R ) `  (
( invg `  R ) `  k
) ) ) )
197196rspcev 3183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( invg `  R ) `  k
)  e.  ( (
Base `  R )  \  { Y } )  /\  k  =  ( ( invg `  R ) `  (
( invg `  R ) `  k
) ) )  ->  E. l  e.  (
( Base `  R )  \  { Y } ) k  =  ( ( invg `  R
) `  l )
)
198190, 194, 197syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )  ->  E. l  e.  (
( Base `  R )  \  { Y } ) k  =  ( ( invg `  R
) `  l )
)
199 oveq1 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( ( invg `  R ) `
 l )  -> 
( k  .x.  ( F `  j )
)  =  ( ( ( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) ) )
200199eleq1d 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( ( invg `  R ) `
 l )  -> 
( ( k  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  ( (
( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
201200notbid 296 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( ( invg `  R ) `
 l )  -> 
( -.  ( k 
.x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  -.  ( (
( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
202201adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  k  =  ( ( invg `  R ) `
 l ) )  ->  ( -.  (
k  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  -.  ( (
( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
203188, 198, 202ralxfrd 4633 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( A. k  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  -.  ( k  .x.  ( F `  j )
)  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  A. l  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
( ( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
2042033ad2ant1 1027 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( A. k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
k  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  A. l  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
( ( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
205204adantr 467 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. k  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  -.  ( k  .x.  ( F `  j )
)  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  A. l  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
( ( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
206 simplr 761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  x  e.  L )  ->  j  e.  I )
207 fvex 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
20834, 207eqeltri 2507 . . . . . . . . 9  |-  Y  e. 
_V
209208fvconst2 6133 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  I  ->  (
( I  X.  { Y } ) `  j
)  =  Y )
210206, 209syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  x  e.  L )  ->  (
( I  X.  { Y } ) `  j
)  =  Y )
211210eqeq2d 2437 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  x  e.  L )  ->  (
( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
)  <->  ( x `  j )  =  Y ) )
212211imbi2d 318 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  x  e.  L )  ->  (
( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) )  <->  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) ) )
213212ralbidva 2862 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. x  e.  L  (
( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
)  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  Y ) ) )
214185, 205, 2133bitr4d 289 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. k  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  -.  ( k  .x.  ( F `  j )
)  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
) ) )
215214ralbidva 2862 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( A. j  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
k  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  A. j  e.  I  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) ) )
2167, 9, 162, 8, 12, 34islindf2 19364 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  W  <->  A. j  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
k  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
217175, 12, 181frlmbasf 19315 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  X  /\  x  e.  L )  ->  x : I --> ( Base `  R ) )
2182173ad2antl2 1169 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  x  e.  L
)  ->  x :
I --> ( Base `  R
) )
219 ffn 5744 . . . . . . 7  |-  ( x : I --> ( Base `  R )  ->  x  Fn  I )
220218, 219syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  x  e.  L
)  ->  x  Fn  I )
221 fnconstg 5786 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
I  X.  { Y } )  Fn  I
)
222208, 221ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( I  X.  { Y }
)  Fn  I
223 eqfnfv 5989 . . . . . 6  |-  ( ( x  Fn  I  /\  ( I  X.  { Y } )  Fn  I
)  ->  ( x  =  ( I  X.  { Y } )  <->  A. j  e.  I  ( x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) )
224220, 222, 223sylancl 667 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  x  e.  L
)  ->  ( x  =  ( I  X.  { Y } )  <->  A. j  e.  I  ( x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) )
225224imbi2d 318 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  x  e.  L
)  ->  ( (
( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  x  =  ( I  X.  { Y } ) )  <-> 
( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F
) )  =  .0. 
->  A. j  e.  I 
( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) ) )
226225ralbidva 2862 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( A. x  e.  L  ( ( W 
gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  x  =  ( I  X.  { Y } ) )  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  A. j  e.  I  ( x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) ) )
227 r19.21v 2831 . . . . 5  |-  ( A. j  e.  I  (
( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
)  <->  ( ( W 
gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  A. j  e.  I  ( x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) )
228227ralbii 2857 . . . 4  |-  ( A. x  e.  L  A. j  e.  I  (
( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
)  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F
) )  =  .0. 
->  A. j  e.  I 
( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) )
229 ralcom 2990 . . . 4  |-  ( A. x  e.  L  A. j  e.  I  (
( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
)  <->  A. j  e.  I  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) )
230228, 229bitr3i 255 . . 3  |-  ( A. x  e.  L  (
( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  A. j  e.  I  ( x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) )  <->  A. j  e.  I  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
) )
231226, 230syl6bb 265 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( A. x  e.  L  ( ( W 
gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  x  =  ( I  X.  { Y } ) )  <->  A. j  e.  I  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
) ) )
232215, 216, 2313bitr4d 289 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  W  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  x  =  ( I  X.  { Y } ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869    e/ wnel 2620   A.wral 2776   E.wrex 2777   {crab 2780   _Vcvv 3082    \ cdif 3434    u. cun 3435    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   {csn 3997   <.cop 4003   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480    X. cxp 4849   dom cdm 4851    |` cres 4853   "cima 4854   Fun wfun 5593    Fn wfn 5594   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303    oFcof 6541    ^m cmap 7478   finSupp cfsupp 7887   Basecbs 15114   +g cplusg 15183  Scalarcsca 15186   .scvsca 15187   0gc0g 15331    gsumg cgsu 15332   Mndcmnd 16528   Grpcgrp 16662   invgcminusg 16663  CMndccmn 17423   LModclmod 18084   LSpanclspn 18187   freeLMod cfrlm 19301   LIndF clindf 19354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-sup 7960  df-oi 8029  df-card 8376  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-hash 12517  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-hom 15207  df-cco 15208  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-prds 15339  df-pws 15341  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-ghm 16874  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-subrg 17999  df-lmod 18086  df-lss 18149  df-lsp 18188  df-lmhm 18238  df-lbs 18291  df-sra 18388  df-rgmod 18389  df-nzr 18475  df-dsmm 19287  df-frlm 19302  df-uvc 19333  df-lindf 19356
This theorem is referenced by:  islindf5  19389  aacllem  39884
  Copyright terms: Public domain W3C validator