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Theorem islindf4 19165
Description: A family is independent iff it has no nontrivial representations of zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islindf4.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
islindf4.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
islindf4.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
islindf4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
islindf4.y  |-  Y  =  ( 0g `  R
)
islindf4.l  |-  L  =  ( Base `  ( R freeLMod  I ) )
Assertion
Ref Expression
islindf4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  W  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  x  =  ( I  X.  { Y } ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, F    x, I    x, L    x, R    x,  .x.    x, W    x, X    x, Y    x,  .0.

Proof of Theorem islindf4
Dummy variables  j 
k  l  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raldifsni 4102 . . . . 5  |-  ( A. l  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  -.  ( ( ( invg `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  A. l  e.  ( Base `  R
) ( ( ( ( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  ->  l  =  Y ) )
2 simpll1 1036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  W  e.  LMod )
3 simprll 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  l  e.  ( Base `  R
) )
4 ffvelrn 6007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : I --> B  /\  j  e.  I )  ->  ( F `  j
)  e.  B )
543ad2antl3 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( F `  j )  e.  B
)
65adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  ( F `  j )  e.  B )
7 islindf4.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  B  =  ( Base `  W
)
8 islindf4.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  R  =  (Scalar `  W )
9 islindf4.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .x.  =  ( .s `  W )
10 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( invg `  W )  =  ( invg `  W )
11 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
12 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
137, 8, 9, 10, 11, 12lmodvsinv 18002 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  l  e.  ( Base `  R
)  /\  ( F `  j )  e.  B
)  ->  ( (
( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( ( invg `  W ) `  (
l  .x.  ( F `  j ) ) ) )
142, 3, 6, 13syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( ( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( ( invg `  W ) `  (
l  .x.  ( F `  j ) ) ) )
1514eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( ( ( invg `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  <->  ( ( invg `  W ) `
 ( l  .x.  ( F `  j ) ) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ) )
16 lmodgrp 17839 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
172, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  W  e.  Grp )
187, 8, 9, 12lmodvscl 17849 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  l  e.  ( Base `  R
)  /\  ( F `  j )  e.  B
)  ->  ( l  .x.  ( F `  j
) )  e.  B
)
192, 3, 6, 18syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
l  .x.  ( F `  j ) )  e.  B )
20 islindf4.z . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
21 lmodcmn 17878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. CMnd
)
222, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  W  e. CMnd )
23 simpll2 1037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  I  e.  X )
24 difexg 4542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( I  e.  X  ->  (
I  \  { j } )  e.  _V )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
I  \  { j } )  e.  _V )
26 simprlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )
27 elmapi 7478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  (
I  \  { j } ) )  -> 
y : ( I 
\  { j } ) --> ( Base `  R
) )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  y : ( I  \  { j } ) --> ( Base `  R
) )
29 simpll3 1038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  F : I --> B )
30 difss 3570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( I 
\  { j } )  C_  I
31 fssres 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : I --> B  /\  ( I  \  { j } )  C_  I
)  ->  ( F  |`  ( I  \  {
j } ) ) : ( I  \  { j } ) --> B )
3229, 30, 31sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) : ( I 
\  { j } ) --> B )
338, 12, 9, 7, 2, 28, 32, 25lcomf 17868 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
y  oF  .x.  ( F  |`  ( I 
\  { j } ) ) ) : ( I  \  {
j } ) --> B )
34 islindf4.y . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Y  =  ( 0g `  R
)
35 simprr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  y finSupp  Y )
368, 12, 9, 7, 2, 28, 32, 25, 20, 34, 35lcomfsupp 17870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
y  oF  .x.  ( F  |`  ( I 
\  { j } ) ) ) finSupp  .0.  )
377, 20, 22, 25, 33, 36gsumcl 17247 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  e.  B )
38 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
397, 38, 20, 10grpinvid2 16423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( l  .x.  ( F `  j )
)  e.  B  /\  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  e.  B )  ->  ( ( ( invg `  W
) `  ( l  .x.  ( F `  j
) ) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  <->  ( ( W 
gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ( +g  `  W
) ( l  .x.  ( F `  j ) ) )  =  .0.  ) )
4017, 19, 37, 39syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( ( invg `  W ) `  (
l  .x.  ( F `  j ) ) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  <->  ( ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ( +g  `  W
) ( l  .x.  ( F `  j ) ) )  =  .0.  ) )
41 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  j  e.  I )
42 fsnunf2 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y : ( I 
\  { j } ) --> ( Base `  R
)  /\  j  e.  I  /\  l  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( y  u.  { <. j ,  l
>. } ) : I --> ( Base `  R
) )
4328, 41, 3, 42syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
y  u.  { <. j ,  l >. } ) : I --> ( Base `  R ) )
448, 12, 9, 7, 2, 43, 29, 23lcomf 17868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F ) : I --> B )
45 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  j  e.  I )
46 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  ->  l  e.  ( Base `  R
) )
4745, 46anim12i 564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( l  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ) )  -> 
( j  e.  I  /\  l  e.  ( Base `  R ) ) )
48 elmapfun 7480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  (
I  \  { j } ) )  ->  Fun  y )
49 fdm 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y : ( I  \  { j } ) --> ( Base `  R
)  ->  dom  y  =  ( I  \  {
j } ) )
50 neldifsnd 4100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( dom  y  =  ( I 
\  { j } )  ->  -.  j  e.  ( I  \  {
j } ) )
51 df-nel 2601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( j  e/  dom  y  <->  -.  j  e.  dom  y )
52 eleq2 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( dom  y  =  ( I 
\  { j } )  ->  ( j  e.  dom  y  <->  j  e.  ( I  \  { j } ) ) )
5352notbid 292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( dom  y  =  ( I 
\  { j } )  ->  ( -.  j  e.  dom  y  <->  -.  j  e.  ( I  \  {
j } ) ) )
5451, 53syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( dom  y  =  ( I 
\  { j } )  ->  ( j  e/  dom  y  <->  -.  j  e.  ( I  \  {
j } ) ) )
5550, 54mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( dom  y  =  ( I 
\  { j } )  ->  j  e/  dom  y )
5649, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y : ( I  \  { j } ) --> ( Base `  R
)  ->  j  e/  dom  y )
5727, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  (
I  \  { j } ) )  -> 
j  e/  dom  y )
5848, 57jca 530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  (
I  \  { j } ) )  -> 
( Fun  y  /\  j  e/  dom  y ) )
5958adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  ->  ( Fun  y  /\  j  e/  dom  y ) )
6059adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( l  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ) )  -> 
( Fun  y  /\  j  e/  dom  y ) )
6147, 60jca 530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( l  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ) )  -> 
( ( j  e.  I  /\  l  e.  ( Base `  R
) )  /\  ( Fun  y  /\  j  e/  dom  y ) ) )
62 funsnfsupp 7887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( j  e.  I  /\  l  e.  ( Base `  R ) )  /\  ( Fun  y  /\  j  e/  dom  y
) )  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) finSupp  Y  <->  y finSupp  Y ) )
6362bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( j  e.  I  /\  l  e.  ( Base `  R ) )  /\  ( Fun  y  /\  j  e/  dom  y
) )  ->  (
y finSupp  Y  <->  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) finSupp  Y ) )
6461, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( l  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ) )  -> 
( y finSupp  Y  <->  ( y  u.  { <. j ,  l
>. } ) finSupp  Y ) )
6564biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( l  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ) )  -> 
( y finSupp  Y  ->  ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) finSupp  Y ) )
6665impr 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
y  u.  { <. j ,  l >. } ) finSupp  Y )
678, 12, 9, 7, 2, 43, 29, 23, 20, 34, 66lcomfsupp 17870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F ) finSupp  .0.  )
68 incom 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( I  \  { j } )  i^i  {
j } )  =  ( { j }  i^i  ( I  \  { j } ) )
69 disjdif 3844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { j }  i^i  (
I  \  { j } ) )  =  (/)
7068, 69eqtri 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  \  { j } )  i^i  {
j } )  =  (/)
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( I  \  {
j } )  i^i 
{ j } )  =  (/) )
72 difsnid 4118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  I  ->  (
( I  \  {
j } )  u. 
{ j } )  =  I )
7372eqcomd 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  I  ->  I  =  ( ( I 
\  { j } )  u.  { j } ) )
7441, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  I  =  ( ( I 
\  { j } )  u.  { j } ) )
757, 20, 38, 22, 23, 44, 67, 71, 74gsumsplit 17270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  ( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F ) )  =  ( ( W 
gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
)  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ( +g  `  W ) ( W 
gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
)  |`  { j } ) ) ) )
76 vex 3062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  y  e. 
_V
77 snex 4632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { <. j ,  l >. }  e.  _V
7876, 77unex 6580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  e.  _V
79 simpl3 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  F :
I --> B )
80 simpl2 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  I  e.  X )
81 fex 6126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F : I --> B  /\  I  e.  X )  ->  F  e.  _V )
8279, 80, 81syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  F  e.  _V )
8382adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  F  e.  _V )
84 offres 6779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
)  |`  ( I  \  { j } ) )  =  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  |`  (
I  \  { j } ) )  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  {
j } ) ) ) )
8578, 83, 84sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F )  |`  ( I  \  { j } ) )  =  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  |`  ( I  \  {
j } ) )  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )
86 ffn 5714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y : ( I  \  { j } ) --> ( Base `  R
)  ->  y  Fn  ( I  \  { j } ) )
8728, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  y  Fn  ( I  \  {
j } ) )
88 neldifsn 4099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -.  j  e.  ( I  \  {
j } )
89 fsnunres 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  Fn  ( I 
\  { j } )  /\  -.  j  e.  ( I  \  {
j } ) )  ->  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  |`  ( I  \  {
j } ) )  =  y )
9087, 88, 89sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } )  |`  (
I  \  { j } ) )  =  y )
9190oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  |`  (
I  \  { j } ) )  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  {
j } ) ) )  =  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )
9285, 91eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F )  |`  ( I  \  { j } ) )  =  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )
9392oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  ( W  gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
)  |`  ( I  \  { j } ) ) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )
94 ffn 5714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F ) : I --> B  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F )  Fn  I )
9544, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F )  Fn  I )
96 fnressn 6063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F )  Fn  I  /\  j  e.  I )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F )  |`  { j } )  =  { <. j ,  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
) `  j ) >. } )
9795, 41, 96syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F )  |`  { j } )  =  { <. j ,  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
) `  j ) >. } )
98 ffn 5714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) : I --> ( Base `  R )  ->  (
y  u.  { <. j ,  l >. } )  Fn  I )
9943, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
y  u.  { <. j ,  l >. } )  Fn  I )
100 ffn 5714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( F : I --> B  ->  F  Fn  I )
10129, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  F  Fn  I )
102 fnfvof 6535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  Fn  I  /\  F  Fn  I
)  /\  ( I  e.  X  /\  j  e.  I ) )  -> 
( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
) `  j )  =  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j )  .x.  ( F `  j ) ) )
10399, 101, 23, 41, 102syl22anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F ) `  j )  =  ( ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  .x.  ( F `  j ) ) )
104 fndm 5661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  Fn  ( I  \  { j } )  ->  dom  y  =  ( I  \  { j } ) )
105104eleq2d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  Fn  ( I  \  { j } )  ->  ( j  e. 
dom  y  <->  j  e.  ( I  \  { j } ) ) )
10688, 105mtbiri 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  Fn  ( I  \  { j } )  ->  -.  j  e.  dom  y )
107 vex 3062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  j  e. 
_V
108 vex 3062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  l  e. 
_V
109 fsnunfv 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( j  e.  _V  /\  l  e.  _V  /\  -.  j  e.  dom  y )  ->  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j )  =  l )
110107, 108, 109mp3an12 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  j  e.  dom  y  ->  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  =  l )
11187, 106, 1103syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  l )
112111oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( l  .x.  ( F `  j )
) )
113103, 112eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F ) `  j )  =  ( l  .x.  ( F `
 j ) ) )
114113opeq2d 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  <. j ,  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
) `  j ) >.  =  <. j ,  ( l  .x.  ( F `
 j ) )
>. )
115114sneqd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  { <. j ,  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
) `  j ) >. }  =  { <. j ,  ( l  .x.  ( F `  j ) ) >. } )
116 ovex 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l 
.x.  ( F `  j ) )  e. 
_V
117 fmptsn 6071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  _V  /\  ( l  .x.  ( F `  j )
)  e.  _V )  ->  { <. j ,  ( l  .x.  ( F `
 j ) )
>. }  =  ( x  e.  { j } 
|->  ( l  .x.  ( F `  j )
) ) )
118107, 116, 117mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { <. j ,  ( l  .x.  ( F `  j ) ) >. }  =  ( x  e.  { j }  |->  ( l  .x.  ( F `  j ) ) )
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  { <. j ,  ( l  .x.  ( F `  j ) ) >. }  =  ( x  e.  { j }  |->  ( l  .x.  ( F `  j ) ) ) )
12097, 115, 1193eqtrd 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F )  |`  { j } )  =  ( x  e. 
{ j }  |->  ( l  .x.  ( F `
 j ) ) ) )
121120oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  ( W  gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
)  |`  { j } ) )  =  ( W  gsumg  ( x  e.  {
j }  |->  ( l 
.x.  ( F `  j ) ) ) ) )
122 cmnmnd 17137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( W  e. CMnd  ->  W  e.  Mnd )
12322, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  W  e.  Mnd )
124107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  j  e.  _V )
125 eqidd 2403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  j  ->  (
l  .x.  ( F `  j ) )  =  ( l  .x.  ( F `  j )
) )
1267, 125gsumsn 17302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e.  Mnd  /\  j  e.  _V  /\  (
l  .x.  ( F `  j ) )  e.  B )  ->  ( W  gsumg  ( x  e.  {
j }  |->  ( l 
.x.  ( F `  j ) ) ) )  =  ( l 
.x.  ( F `  j ) ) )
127123, 124, 19, 126syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  ( W  gsumg  ( x  e.  {
j }  |->  ( l 
.x.  ( F `  j ) ) ) )  =  ( l 
.x.  ( F `  j ) ) )
128121, 127eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  ( W  gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
)  |`  { j } ) )  =  ( l  .x.  ( F `
 j ) ) )
12993, 128oveq12d 6296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( W  gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
)  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ( +g  `  W ) ( W 
gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
)  |`  { j } ) ) )  =  ( ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ( +g  `  W ) ( l  .x.  ( F `  j )
) ) )
13075, 129eqtr2d 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ( +g  `  W
) ( l  .x.  ( F `  j ) ) )  =  ( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F ) ) )
131130eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ( +g  `  W ) ( l  .x.  ( F `  j )
) )  =  .0.  <->  ( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ) )
13215, 40, 1313bitrd 279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( ( ( invg `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  <->  ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
) )  =  .0.  ) )
133111eqcomd 2410 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  l  =  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j ) )
134133eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
l  =  Y  <->  ( (
y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j )  =  Y ) )
135132, 134imbi12d 318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  y finSupp  Y ) )  ->  (
( ( ( ( invg `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  ( ( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) ) )
136135anassrs 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  /\  j  e.  I )  /\  ( l  e.  (
Base `  R )  /\  y  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( I  \  {
j } ) ) ) )  /\  y finSupp  Y )  ->  ( (
( ( ( invg `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  ( ( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) ) )
137136pm5.74da 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( l  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ) )  -> 
( ( y finSupp  Y  ->  ( ( ( ( invg `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  ->  l  =  Y ) )  <->  ( y finSupp  Y  ->  ( ( W 
gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
138 impexp 444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y finSupp  Y  /\  ( ( ( invg `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  ( y finSupp  Y  ->  ( ( ( ( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  ->  l  =  Y ) ) )
139138a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( l  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ) )  -> 
( ( ( y finSupp  Y  /\  ( ( ( invg `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  ( y finSupp  Y  ->  ( ( ( ( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  ->  l  =  Y ) ) ) )
14064bicomd 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( l  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ) )  -> 
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) finSupp  Y  <->  y finSupp  Y ) )
141140imbi1d 315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( l  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ) )  -> 
( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) finSupp  Y  ->  ( ( W 
gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) )  <->  ( y finSupp  Y  ->  ( ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
142137, 139, 1413bitr4d 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( l  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ) )  -> 
( ( ( y finSupp  Y  /\  ( ( ( invg `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  ( (
y  u.  { <. j ,  l >. } ) finSupp  Y  ->  ( ( W 
gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
1431422ralbidva 2846 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( Base `  R ) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( y finSupp  Y  /\  ( ( ( invg `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  A. l  e.  ( Base `  R
) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) finSupp  Y  ->  ( ( W 
gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
144 breq1 4398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
x finSupp  Y  <->  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) finSupp  Y ) )
145 oveq1 6285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
x  oF  .x.  F )  =  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F ) )
146145oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
) ) )
147146eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  <->  ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ) )
148 fveq1 5848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
x `  j )  =  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j ) )
149148eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
( x `  j
)  =  Y  <->  ( (
y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j )  =  Y ) )
150147, 149imbi12d 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  Y )  <-> 
( ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  oF  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  =  Y ) ) )
151144, 150imbi12d 318 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
( x finSupp  Y  ->  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) )  <->  ( (
y  u.  { <. j ,  l >. } ) finSupp  Y  ->  ( ( W 
gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
152151ralxpmap 7506 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  I  ->  ( A. x  e.  (
( Base `  R )  ^m  I ) ( x finSupp  Y  ->  ( ( W 
gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  ( x `  j )  =  Y ) )  <->  A. l  e.  ( Base `  R
) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) finSupp  Y  ->  ( ( W 
gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
153152adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. x  e.  ( ( Base `  R )  ^m  I ) ( x finSupp  Y  ->  ( ( W 
gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  ( x `  j )  =  Y ) )  <->  A. l  e.  ( Base `  R
) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) finSupp  Y  ->  ( ( W 
gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
154143, 153bitr4d 256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( Base `  R ) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( y finSupp  Y  /\  ( ( ( invg `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  A. x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )
( x finSupp  Y  ->  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) ) ) )
155 breq1 4398 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
z finSupp  Y  <->  x finSupp  Y ) )
156155ralrab 3211 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  z finSupp  Y }  (
( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y )  <->  A. x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )
( x finSupp  Y  ->  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) ) )
157154, 156syl6bbr 263 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( Base `  R ) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( y finSupp  Y  /\  ( ( ( invg `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  A. x  e.  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  z finSupp  Y }  (
( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) ) )
158 resima 5126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) " ( I 
\  { j } ) )  =  ( F " ( I 
\  { j } ) )
159158eqcomi 2415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" ( I  \  { j } ) )  =  ( ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) " ( I 
\  { j } ) )
160159fveq2i 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  =  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) " ( I 
\  { j } ) ) )
161160eleq2i 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  ( ( ( invg `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) "
( I  \  {
j } ) ) ) )
162 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
16379, 30, 31sylancl 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( F  |`  ( I  \  {
j } ) ) : ( I  \  { j } ) --> B )
164 simpl1 1000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  W  e.  LMod )
165243ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( I  \  {
j } )  e. 
_V )
166165adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( I  \  { j } )  e.  _V )
167162, 7, 12, 8, 34, 9, 163, 164, 166ellspd 19129 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( (
( ( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  E. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( y finSupp  Y  /\  ( ( ( invg `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ) ) )
168161, 167syl5bb 257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( (
( ( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  E. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( y finSupp  Y  /\  ( ( ( invg `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ) ) )
169168imbi1d 315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( (
( ( ( invg `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  -> 
l  =  Y )  <-> 
( E. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( y finSupp  Y  /\  ( ( ( invg `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y ) ) )
170 r19.23v 2884 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( y finSupp  Y  /\  ( ( ( invg `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  ( E. y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( y finSupp  Y  /\  (
( ( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y ) )
171169, 170syl6bbr 263 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( (
( ( ( invg `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  -> 
l  =  Y )  <->  A. y  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( I  \  {
j } ) ) ( ( y finSupp  Y  /\  ( ( ( invg `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y ) ) )
172171ralbidv 2843 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( Base `  R ) ( ( ( ( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  A. l  e.  ( Base `  R
) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( y finSupp  Y  /\  ( ( ( invg `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  =  ( W  gsumg  ( y  oF  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y ) ) )
173 fvex 5859 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Scalar `  W )  e.  _V
1748, 173eqeltri 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  R  e. 
_V
175 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R freeLMod  I )  =  ( R freeLMod  I )
176 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z  e.  ( ( Base `  R )  ^m  I
)  |  z finSupp  Y }  =  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  z finSupp  Y }
177175, 12, 34, 176frlmbas 19084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  _V  /\  I  e.  X )  ->  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  z finSupp  Y }  =  ( Base `  ( R freeLMod  I ) ) )
178174, 177mpan 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  X  ->  { z  e.  ( ( Base `  R )  ^m  I
)  |  z finSupp  Y }  =  ( Base `  ( R freeLMod  I )
) )
1791783ad2ant2 1019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  ->  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  z finSupp  Y }  =  ( Base `  ( R freeLMod  I ) ) )
180179adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  z finSupp  Y }  =  ( Base `  ( R freeLMod  I ) ) )
181 islindf4.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( Base `  ( R freeLMod  I ) )
182180, 181syl6reqr 2462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  L  =  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  z finSupp  Y } )
183182raleqdv 3010 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. x  e.  L  (
( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y )  <->  A. x  e.  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  z finSupp  Y }  (
( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) ) )
184157, 172, 1833bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( Base `  R ) ( ( ( ( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) ) )
1851, 184syl5bb 257 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  -.  ( ( ( invg `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) ) )
1868lmodfgrp 17841 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
18712, 34, 11grpinvnzcl 16434 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  l  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } ) )  ->  ( ( invg `  R ) `
 l )  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )
188186, 187sylan 469 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  l  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )  -> 
( ( invg `  R ) `  l
)  e.  ( (
Base `  R )  \  { Y } ) )
18912, 34, 11grpinvnzcl 16434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  k  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } ) )  ->  ( ( invg `  R ) `
 k )  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )
190186, 189sylan 469 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )  -> 
( ( invg `  R ) `  k
)  e.  ( (
Base `  R )  \  { Y } ) )
191 eldifi 3565 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  ->  k  e.  ( Base `  R
) )
19212, 11grpinvinv 16429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  k  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( invg `  R ) `  (
( invg `  R ) `  k
) )  =  k )
193186, 191, 192syl2an 475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )  -> 
( ( invg `  R ) `  (
( invg `  R ) `  k
) )  =  k )
194193eqcomd 2410 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )  -> 
k  =  ( ( invg `  R
) `  ( ( invg `  R ) `
 k ) ) )
195 fveq2 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  ( ( invg `  R ) `
 k )  -> 
( ( invg `  R ) `  l
)  =  ( ( invg `  R
) `  ( ( invg `  R ) `
 k ) ) )
196195eqeq2d 2416 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  ( ( invg `  R ) `
 k )  -> 
( k  =  ( ( invg `  R ) `  l
)  <->  k  =  ( ( invg `  R ) `  (
( invg `  R ) `  k
) ) ) )
197196rspcev 3160 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( invg `  R ) `  k
)  e.  ( (
Base `  R )  \  { Y } )  /\  k  =  ( ( invg `  R ) `  (
( invg `  R ) `  k
) ) )  ->  E. l  e.  (
( Base `  R )  \  { Y } ) k  =  ( ( invg `  R
) `  l )
)
198190, 194, 197syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )  ->  E. l  e.  (
( Base `  R )  \  { Y } ) k  =  ( ( invg `  R
) `  l )
)
199 oveq1 6285 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( ( invg `  R ) `
 l )  -> 
( k  .x.  ( F `  j )
)  =  ( ( ( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) ) )
200199eleq1d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( ( invg `  R ) `
 l )  -> 
( ( k  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  ( (
( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
201200notbid 292 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( ( invg `  R ) `
 l )  -> 
( -.  ( k 
.x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  -.  ( (
( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
202201adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  k  =  ( ( invg `  R ) `
 l ) )  ->  ( -.  (
k  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  -.  ( (
( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
203188, 198, 202ralxfrd 4605 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( A. k  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  -.  ( k  .x.  ( F `  j )
)  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  A. l  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
( ( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
2042033ad2ant1 1018 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( A. k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
k  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  A. l  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
( ( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
205204adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. k  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  -.  ( k  .x.  ( F `  j )
)  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  A. l  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
( ( invg `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
206 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  x  e.  L )  ->  j  e.  I )
207 fvex 5859 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
20834, 207eqeltri 2486 . . . . . . . . 9  |-  Y  e. 
_V
209208fvconst2 6107 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  I  ->  (
( I  X.  { Y } ) `  j
)  =  Y )
210206, 209syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  x  e.  L )  ->  (
( I  X.  { Y } ) `  j
)  =  Y )
211210eqeq2d 2416 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  x  e.  L )  ->  (
( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
)  <->  ( x `  j )  =  Y ) )
212211imbi2d 314 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  x  e.  L )  ->  (
( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) )  <->  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) ) )
213212ralbidva 2840 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. x  e.  L  (
( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
)  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  Y ) ) )
214185, 205, 2133bitr4d 285 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. k  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  -.  ( k  .x.  ( F `  j )
)  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
) ) )
215214ralbidva 2840 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( A. j  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
k  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  A. j  e.  I  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) ) )
2167, 9, 162, 8, 12, 34islindf2 19141 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  W  <->  A. j  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
k  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
217175, 12, 181frlmbasf 19090 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  X  /\  x  e.  L )  ->  x : I --> ( Base `  R ) )
2182173ad2antl2 1160 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  x  e.  L
)  ->  x :
I --> ( Base `  R
) )
219 ffn 5714 . . . . . . 7  |-  ( x : I --> ( Base `  R )  ->  x  Fn  I )
220218, 219syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  x  e.  L
)  ->  x  Fn  I )
221 fnconstg 5756 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
I  X.  { Y } )  Fn  I
)
222208, 221ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( I  X.  { Y }
)  Fn  I
223 eqfnfv 5959 . . . . . 6  |-  ( ( x  Fn  I  /\  ( I  X.  { Y } )  Fn  I
)  ->  ( x  =  ( I  X.  { Y } )  <->  A. j  e.  I  ( x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) )
224220, 222, 223sylancl 660 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  x  e.  L
)  ->  ( x  =  ( I  X.  { Y } )  <->  A. j  e.  I  ( x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) )
225224imbi2d 314 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  x  e.  L
)  ->  ( (
( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  x  =  ( I  X.  { Y } ) )  <-> 
( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F
) )  =  .0. 
->  A. j  e.  I 
( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) ) )
226225ralbidva 2840 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( A. x  e.  L  ( ( W 
gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  x  =  ( I  X.  { Y } ) )  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  A. j  e.  I  ( x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) ) )
227 r19.21v 2809 . . . . 5  |-  ( A. j  e.  I  (
( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
)  <->  ( ( W 
gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  A. j  e.  I  ( x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) )
228227ralbii 2835 . . . 4  |-  ( A. x  e.  L  A. j  e.  I  (
( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
)  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F
) )  =  .0. 
->  A. j  e.  I 
( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) )
229 ralcom 2968 . . . 4  |-  ( A. x  e.  L  A. j  e.  I  (
( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
)  <->  A. j  e.  I  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) )
230228, 229bitr3i 251 . . 3  |-  ( A. x  e.  L  (
( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  A. j  e.  I  ( x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) )  <->  A. j  e.  I  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
) )
231226, 230syl6bb 261 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( A. x  e.  L  ( ( W 
gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  x  =  ( I  X.  { Y } ) )  <->  A. j  e.  I  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
) ) )
232215, 216, 2313bitr4d 285 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  W  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  oF  .x.  F ) )  =  .0.  ->  x  =  ( I  X.  { Y } ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    e/ wnel 2599   A.wral 2754   E.wrex 2755   {crab 2758   _Vcvv 3059    \ cdif 3411    u. cun 3412    i^i cin 3413    C_ wss 3414   (/)c0 3738   {csn 3972   <.cop 3978   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453    X. cxp 4821   dom cdm 4823    |` cres 4825   "cima 4826   Fun wfun 5563    Fn wfn 5564   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    oFcof 6519    ^m cmap 7457   finSupp cfsupp 7863   Basecbs 14841   +g cplusg 14909  Scalarcsca 14912   .scvsca 14913   0gc0g 15054    gsumg cgsu 15055   Mndcmnd 16243   Grpcgrp 16377   invgcminusg 16378  CMndccmn 17122   LModclmod 17832   LSpanclspn 17937   freeLMod cfrlm 19075   LIndF clindf 19131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-hash 12453  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-hom 14933  df-cco 14934  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-prds 15062  df-pws 15064  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mhm 16290  df-submnd 16291  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-mulg 16384  df-subg 16522  df-ghm 16589  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-subrg 17747  df-lmod 17834  df-lss 17899  df-lsp 17938  df-lmhm 17988  df-lbs 18041  df-sra 18138  df-rgmod 18139  df-nzr 18226  df-dsmm 19061  df-frlm 19076  df-uvc 19110  df-lindf 19133
This theorem is referenced by:  islindf5  19166  aacllem  38860
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