MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islindf3 Structured version   Unicode version

Theorem islindf3 18625
Description: In a nonzero ring, independent families can be equivalently characterized as renamings of independent sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
islindf3.l  |-  L  =  (Scalar `  W )
Assertion
Ref Expression
islindf3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  ->  ( F LIndF  W  <-> 
( F : dom  F
-1-1-> _V  /\  ran  F  e.  (LIndS `  W )
) ) )

Proof of Theorem islindf3
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 islindf3.l . . . . . 6  |-  L  =  (Scalar `  W )
31, 2lindff1 18619 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing  /\  F LIndF  W )  ->  F : dom  F -1-1-> (
Base `  W )
)
433expa 1196 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F LIndF  W )  ->  F : dom  F -1-1-> ( Base `  W
) )
5 ssv 3524 . . . 4  |-  ( Base `  W )  C_  _V
6 f1ss 5784 . . . 4  |-  ( ( F : dom  F -1-1-> (
Base `  W )  /\  ( Base `  W
)  C_  _V )  ->  F : dom  F -1-1-> _V )
74, 5, 6sylancl 662 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F LIndF  W )  ->  F : dom  F -1-1-> _V )
8 lindfrn 18620 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ran  F  e.  (LIndS `  W )
)
98adantlr 714 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F LIndF  W )  ->  ran  F  e.  (LIndS `  W )
)
107, 9jca 532 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F LIndF  W )  ->  ( F : dom  F -1-1-> _V  /\  ran  F  e.  (LIndS `  W ) ) )
11 simpll 753 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  ( F : dom  F -1-1-> _V  /\ 
ran  F  e.  (LIndS `  W ) ) )  ->  W  e.  LMod )
12 simprr 756 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  ( F : dom  F -1-1-> _V  /\ 
ran  F  e.  (LIndS `  W ) ) )  ->  ran  F  e.  (LIndS `  W ) )
13 f1f1orn 5825 . . . . 5  |-  ( F : dom  F -1-1-> _V  ->  F : dom  F -1-1-onto-> ran  F )
14 f1of1 5813 . . . . 5  |-  ( F : dom  F -1-1-onto-> ran  F  ->  F : dom  F -1-1-> ran 
F )
1513, 14syl 16 . . . 4  |-  ( F : dom  F -1-1-> _V  ->  F : dom  F -1-1-> ran 
F )
1615ad2antrl 727 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  ( F : dom  F -1-1-> _V  /\ 
ran  F  e.  (LIndS `  W ) ) )  ->  F : dom  F
-1-1-> ran  F )
17 f1linds 18624 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ran  F  e.  (LIndS `  W
)  /\  F : dom  F -1-1-> ran  F )  ->  F LIndF  W )
1811, 12, 16, 17syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  ( F : dom  F -1-1-> _V  /\ 
ran  F  e.  (LIndS `  W ) ) )  ->  F LIndF  W )
1910, 18impbida 830 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  ->  ( F LIndF  W  <-> 
( F : dom  F
-1-1-> _V  /\  ran  F  e.  (LIndS `  W )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ran crn 5000   -1-1->wf1 5583   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586   Basecbs 14483  Scalarcsca 14551   LModclmod 17292  NzRingcnzr 17684   LIndF clindf 18603  LIndSclinds 18604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-plusg 14561  df-0g 14690  df-mnd 15725  df-grp 15855  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-lmod 17294  df-lss 17359  df-lsp 17398  df-nzr 17685  df-lindf 18605  df-linds 18606
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator