Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islindf Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem islindf 19382
 Description: Property of an independent family of vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islindf.b
islindf.v
islindf.k
islindf.s Scalar
islindf.n
islindf.z
Assertion
Ref Expression
islindf LIndF
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   ()   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem islindf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 feq1 5715 . . . . . 6
21adantr 467 . . . . 5
3 dmeq 5038 . . . . . . 7
43adantr 467 . . . . . 6
5 fveq2 5870 . . . . . . . 8
6 islindf.b . . . . . . . 8
75, 6syl6eqr 2505 . . . . . . 7
87adantl 468 . . . . . 6
94, 8feq23d 5728 . . . . 5
102, 9bitrd 257 . . . 4
11 fvex 5880 . . . . . 6 Scalar
12 fveq2 5870 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
13 fveq2 5870 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
1413sneqd 3982 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
1512, 14difeq12d 3554 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar
1615raleqdv 2995 . . . . . . 7 Scalar Scalar Scalar
1716ralbidv 2829 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar
1811, 17sbcie 3304 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar
19 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar
20 islindf.s . . . . . . . . . . . 12 Scalar
2119, 20syl6eqr 2505 . . . . . . . . . . 11 Scalar
2221fveq2d 5874 . . . . . . . . . 10 Scalar
23 islindf.n . . . . . . . . . 10
2422, 23syl6eqr 2505 . . . . . . . . 9 Scalar
2521fveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11 Scalar
26 islindf.z . . . . . . . . . . 11
2725, 26syl6eqr 2505 . . . . . . . . . 10 Scalar
2827sneqd 3982 . . . . . . . . 9 Scalar
2924, 28difeq12d 3554 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
3029adantl 468 . . . . . . 7 Scalar Scalar
31 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . 12
32 islindf.v . . . . . . . . . . . 12
3331, 32syl6eqr 2505 . . . . . . . . . . 11
3433adantl 468 . . . . . . . . . 10
35 eqidd 2454 . . . . . . . . . 10
36 fveq1 5869 . . . . . . . . . . 11
3736adantr 467 . . . . . . . . . 10
3834, 35, 37oveq123d 6316 . . . . . . . . 9
39 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . 12
40 islindf.k . . . . . . . . . . . 12
4139, 40syl6eqr 2505 . . . . . . . . . . 11
4241adantl 468 . . . . . . . . . 10
43 imaeq1 5166 . . . . . . . . . . . 12
443difeq1d 3552 . . . . . . . . . . . . 13
4544imaeq2d 5171 . . . . . . . . . . . 12
4643, 45eqtrd 2487 . . . . . . . . . . 11
4746adantr 467 . . . . . . . . . 10
4842, 47fveq12d 5876 . . . . . . . . 9
4938, 48eleq12d 2525 . . . . . . . 8
5049notbid 296 . . . . . . 7
5130, 50raleqbidv 3003 . . . . . 6 Scalar Scalar
524, 51raleqbidv 3003 . . . . 5 Scalar Scalar
5318, 52syl5bb 261 . . . 4 Scalar
5410, 53anbi12d 718 . . 3 Scalar
55 df-lindf 19376 . . 3 LIndF Scalar
5654, 55brabga 4718 . 2 LIndF
5756ancoms 455 1 LIndF
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1446   wcel 1889  wral 2739  wsbc 3269   cdif 3403  csn 3970   class class class wbr 4405   cdm 4837  cima 4840  wf 5581  cfv 5585  (class class class)co 6295  cbs 15133  Scalarcsca 15205  cvsca 15206  c0g 15350  clspn 18206   LIndF clindf 19374 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pr 4642 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-fv 5593  df-ov 6298  df-lindf 19376 This theorem is referenced by:  islinds2  19383  islindf2  19384  lindff  19385  lindfind  19386  f1lindf  19392  lsslindf  19400
 Copyright terms: Public domain W3C validator