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Theorem islindeps2 31127
Description: Conditions for being a linearly dependent subset of a (left) module over a nonzero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islindeps2.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
islindeps2.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
islindeps2.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
islindeps2.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
islindeps2.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
islindeps2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  ->  S linDepS  M ) )
Distinct variable groups:    B, f,
s    f, E, s    f, M, s    R, f, s    S, f, s    f, Z, s    .0. , f, s

Proof of Theorem islindeps2
Dummy variables  g 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  -> 
( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
) )
213adant3 1008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B ) )
32ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B ) )
4 nzrrng 17458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e. NzRing  ->  R  e.  Ring )
5 islindeps2.e . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  E  =  ( Base `  R
)
6 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
75, 6rngidcl 16780 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  E )
84, 7syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( 1r `  R )  e.  E
)
983ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( 1r `  R )  e.  E
)
109ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( 1r `  R )  e.  E
)
11 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  s  e.  S )
12 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )
1310, 11, 123jca 1168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( ( 1r `  R )  e.  E  /\  s  e.  S  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )
14 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  f finSupp  .0.  )
15 islindeps2.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  M
)
16 islindeps2.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  (Scalar `  M )
17 islindeps2.0 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
18 islindeps2.z . . . . . . . . . . . 12  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
19 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
20 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )
2115, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext2 31099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( ( 1r `  R )  e.  E  /\  s  e.  S  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  f finSupp  .0.  )  ->  (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) finSupp  .0.  )
223, 13, 14, 21syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) finSupp  .0.  )
23 simpl1 991 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  M  e.  LMod )
24 elelpwi 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  e.  S  /\  S  e.  ~P B
)  ->  s  e.  B )
2524expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( s  e.  S  ->  s  e.  B ) )
26253ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( s  e.  S  ->  s  e.  B ) )
2726imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  s  e.  B )
28 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
2915, 16, 28, 6lmodvs1 17091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  s  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
) ( .s `  M ) s )  =  s )
3023, 27, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( ( 1r `  R ) ( .s
`  M ) s )  =  s )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S
)  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  -> 
( ( 1r `  R ) ( .s
`  M ) s )  =  s )
32 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s  -> 
( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )
3332eqcomd 2459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s  -> 
s  =  ( f ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )
3433adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s )  ->  s  =  ( f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) )
3531, 34sylan9eq 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( ( 1r `  R ) ( .s `  M ) s )  =  ( f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) )
3615, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext3 31100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( ( 1r `  R )  e.  E  /\  s  e.  S  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
( 1r `  R
) ( .s `  M ) s )  =  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )  ->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z )
373, 13, 14, 35, 36syl112anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z )
3822, 37jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )
39 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) )  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) )
40 iftrue 3898 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  s  ->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) )  =  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )
4140adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S
)  /\  z  =  s )  ->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) )  =  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )
42 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  s  e.  S )
43 fvex 5802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) )  e. 
_V
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  _V )
4539, 41, 42, 44fvmptd 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) `
 s )  =  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )
46 nzrneg1ne0 30921 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  =/=  ( 0g `  R
) )
4717a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e. NzRing  ->  .0.  =  ( 0g `  R ) )
4846, 47neeqtrrd 2748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  =/= 
.0.  )
49483ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  =/= 
.0.  )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) )  =/=  .0.  )
5145, 50eqnetrd 2741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) `
 s )  =/= 
.0.  )
5251adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S
)  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  -> 
( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) `
 s )  =/= 
.0.  )
5352adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) `  s )  =/=  .0.  )
5415, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext1 31098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( ( 1r `  R )  e.  E  /\  s  e.  S  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  e.  ( E  ^m  S ) )
553, 13, 54syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  e.  ( E  ^m  S ) )
56 breq1 4396 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  ->  ( g finSupp  .0.  <->  (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) finSupp  .0.  ) )
57 oveq1 6200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  ->  ( g ( linC  `  M ) S )  =  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S ) )
5857eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  ->  ( ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z  <-> 
( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )
5956, 58anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  ->  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  <->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )
60 fveq1 5791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  ->  ( g `  s )  =  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) `  s ) )
6160neeq1d 2725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  ->  ( ( g `
 s )  =/= 
.0. 
<->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) `
 s )  =/= 
.0.  ) )
6259, 61anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  ->  ( ( ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z )  /\  (
g `  s )  =/=  .0.  )  <->  ( (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) `  s )  =/=  .0.  ) ) )
6362adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  /\  g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) )  ->  ( ( ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z )  /\  (
g `  s )  =/=  .0.  )  <->  ( (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) `  s )  =/=  .0.  ) ) )
6455, 63rspcedv 3176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( (
( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) `  s )  =/=  .0.  )  ->  E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
) )
6538, 53, 64mp2and 679 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  E. g  e.  ( E  ^m  S
) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)
6665exp31 604 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( f  e.  ( E  ^m  ( S 
\  { s } ) )  ->  (
( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s )  ->  E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
) ) )
6766rexlimdv 2939 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  ->  E. g  e.  ( E  ^m  S
) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
) )
6867reximdva 2927 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  ->  E. s  e.  S  E. g  e.  ( E  ^m  S
) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
) )
6968imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s ) )  ->  E. s  e.  S  E. g  e.  ( E  ^m  S
) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)
70 df-3an 967 . . . . . . 7  |-  ( ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) 
<->  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) )
71 r19.42v 2974 . . . . . . 7  |-  ( E. s  e.  S  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )  <->  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) )
7270, 71bitr4i 252 . . . . . 6  |-  ( ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) 
<->  E. s  e.  S  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)
7372rexbii 2859 . . . . 5  |-  ( E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) 
<->  E. g  e.  ( E  ^m  S ) E. s  e.  S  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)
74 rexcom 2981 . . . . 5  |-  ( E. g  e.  ( E  ^m  S ) E. s  e.  S  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )  <->  E. s  e.  S  E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z )  /\  (
g `  s )  =/=  .0.  ) )
7573, 74bitri 249 . . . 4  |-  ( E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) 
<->  E. s  e.  S  E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)
7669, 75sylibr 212 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s ) )  ->  E. g  e.  ( E  ^m  S
) ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  (
g `  s )  =/=  .0.  ) )
7715, 18, 16, 5, 17islindeps 31097 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  -> 
( S linDepS  M  <->  E. g  e.  ( E  ^m  S
) ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  (
g `  s )  =/=  .0.  ) ) )
78773adant3 1008 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( S linDepS  M  <->  E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) ) )
7978adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( S linDepS  M  <->  E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  (
g `  s )  =/=  .0.  ) ) )
8076, 79mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s ) )  ->  S linDepS  M )
8180ex 434 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  ->  S linDepS  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   E.wrex 2796   _Vcvv 3071    \ cdif 3426   ifcif 3892   ~Pcpw 3961   {csn 3978   class class class wbr 4393    |-> cmpt 4451   ` cfv 5519  (class class class)co 6193    ^m cmap 7317   finSupp cfsupp 7724   Basecbs 14285  Scalarcsca 14352   .scvsca 14353   0gc0g 14489   invgcminusg 15522   1rcur 16717   Ringcrg 16760   LModclmod 17063  NzRingcnzr 17454   linC clinc 31048   linDepS clindeps 31085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-tpos 6848  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-oi 7828  df-card 8213  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-seq 11917  df-hash 12214  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-mulg 15659  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-abl 16393  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-rng 16762  df-oppr 16830  df-dvdsr 16848  df-unit 16849  df-invr 16879  df-lmod 17065  df-nzr 17455  df-linc 31050  df-lininds 31086  df-lindeps 31088
This theorem is referenced by:  islininds2  31128  isldepslvec2  31129
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