Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islindeps2 Structured version   Unicode version

Theorem islindeps2 32157
 Description: Conditions for being a linearly dependent subset of a (left) module over a nonzero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islindeps2.b
islindeps2.z
islindeps2.r Scalar
islindeps2.e
islindeps2.0
Assertion
Ref Expression
islindeps2 NzRing finSupp linC linDepS
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem islindeps2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . . . . 13
213adant3 1016 . . . . . . . . . . . 12 NzRing
32ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 NzRing finSupp linC
4 nzrrng 17691 . . . . . . . . . . . . . . 15 NzRing
5 islindeps2.e . . . . . . . . . . . . . . . 16
6 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16
75, 6rngidcl 17006 . . . . . . . . . . . . . . 15
84, 7syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 NzRing
983ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . 13 NzRing
109ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 NzRing finSupp linC
11 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12 NzRing finSupp linC
12 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12 NzRing finSupp linC
1310, 11, 123jca 1176 . . . . . . . . . . 11 NzRing finSupp linC
14 simprl 755 . . . . . . . . . . 11 NzRing finSupp linC finSupp
15 islindeps2.b . . . . . . . . . . . 12
16 islindeps2.r . . . . . . . . . . . 12 Scalar
17 islindeps2.0 . . . . . . . . . . . 12
18 islindeps2.z . . . . . . . . . . . 12
19 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12
20 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12
2115, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext2 32129 . . . . . . . . . . 11 finSupp finSupp
223, 13, 14, 21syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10 NzRing finSupp linC finSupp
23 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . . 14 NzRing
24 elelpwi 4021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2524expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16
26253ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . 15 NzRing
2726imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14 NzRing
28 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15
2915, 16, 28, 6lmodvs1 17323 . . . . . . . . . . . . . 14
3023, 27, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13 NzRing
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . 12 NzRing
32 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 linC linC
3332eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . 13 linC linC
3433adantl 466 . . . . . . . . . . . 12 finSupp linC linC
3531, 34sylan9eq 2528 . . . . . . . . . . 11 NzRing finSupp linC linC
3615, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext3 32130 . . . . . . . . . . 11 finSupp linC linC
373, 13, 14, 35, 36syl112anc 1232 . . . . . . . . . 10 NzRing finSupp linC linC
3822, 37jca 532 . . . . . . . . 9 NzRing finSupp linC finSupp linC
39 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . 13 NzRing
40 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . . . 14
4140adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13 NzRing
42 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13 NzRing
43 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . . 14
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 NzRing
4539, 41, 42, 44fvmptd 5953 . . . . . . . . . . . 12 NzRing
46 nzrneg1ne0 32033 . . . . . . . . . . . . . . 15 NzRing
4717a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 NzRing
4846, 47neeqtrrd 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 NzRing
49483ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . 13 NzRing
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . 12 NzRing
5145, 50eqnetrd 2760 . . . . . . . . . . 11 NzRing
5251adantr 465 . . . . . . . . . 10 NzRing
5352adantr 465 . . . . . . . . 9 NzRing finSupp linC
5415, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext1 32128 . . . . . . . . . . 11
553, 13, 54syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 NzRing finSupp linC
56 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . 13 finSupp finSupp
57 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . . 14 linC linC
5857eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . 13 linC linC
5956, 58anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12 finSupp linC finSupp linC
60 fveq1 5863 . . . . . . . . . . . . 13
6160neeq1d 2744 . . . . . . . . . . . 12
6259, 61anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11 finSupp linC finSupp linC
6362adantl 466 . . . . . . . . . 10 NzRing finSupp linC finSupp linC finSupp linC
6455, 63rspcedv 3218 . . . . . . . . 9 NzRing finSupp linC finSupp linC finSupp linC
6538, 53, 64mp2and 679 . . . . . . . 8 NzRing finSupp linC finSupp linC
6665exp31 604 . . . . . . 7 NzRing finSupp linC finSupp linC
6766rexlimdv 2953 . . . . . 6 NzRing finSupp linC finSupp linC
6867reximdva 2938 . . . . 5 NzRing finSupp linC finSupp linC
6968imp 429 . . . 4 NzRing finSupp linC finSupp linC
70 df-3an 975 . . . . . . 7 finSupp linC finSupp linC
71 r19.42v 3016 . . . . . . 7 finSupp linC finSupp linC
7270, 71bitr4i 252 . . . . . 6 finSupp linC finSupp linC
7372rexbii 2965 . . . . 5 finSupp linC finSupp linC
74 rexcom 3023 . . . . 5 finSupp linC finSupp linC
7573, 74bitri 249 . . . 4 finSupp linC finSupp linC
7669, 75sylibr 212 . . 3 NzRing finSupp linC finSupp linC
7715, 18, 16, 5, 17islindeps 32127 . . . . 5 linDepS finSupp linC
78773adant3 1016 . . . 4 NzRing linDepS finSupp linC
7978adantr 465 . . 3 NzRing finSupp linC linDepS finSupp linC
8076, 79mpbird 232 . 2 NzRing finSupp linC linDepS
8180ex 434 1 NzRing finSupp linC linDepS
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wrex 2815  cvv 3113   cdif 3473  cif 3939  cpw 4010  csn 4027   class class class wbr 4447   cmpt 4505  cfv 5586  (class class class)co 6282   cmap 7417   finSupp cfsupp 7825  cbs 14486  Scalarcsca 14554  cvsca 14555  c0g 14691  cminusg 15724  cur 16943  crg 16986  clmod 17295  NzRingcnzr 17687   linC clinc 32078   linDepS clindeps 32115 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-hash 12370  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-oppr 17056  df-dvdsr 17074  df-unit 17075  df-invr 17105  df-lmod 17297  df-nzr 17688  df-linc 32080  df-lininds 32116  df-lindeps 32118 This theorem is referenced by:  islininds2  32158  isldepslvec2  32159
 Copyright terms: Public domain W3C validator