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Theorem islindeps2 39897
Description: Conditions for being a linearly dependent subset of a (left) module over a nonzero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islindeps2.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
islindeps2.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
islindeps2.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
islindeps2.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
islindeps2.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
islindeps2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  ->  S linDepS  M ) )
Distinct variable groups:    B, f,
s    f, E, s    f, M, s    R, f, s    S, f, s    f, Z, s    .0. , f, s

Proof of Theorem islindeps2
Dummy variables  g 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  -> 
( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
) )
213adant3 1025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B ) )
32ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B ) )
4 nzrring 18484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e. NzRing  ->  R  e.  Ring )
5 islindeps2.e . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  E  =  ( Base `  R
)
6 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
75, 6ringidcl 17800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  E )
84, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( 1r `  R )  e.  E
)
983ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( 1r `  R )  e.  E
)
109ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( 1r `  R )  e.  E
)
11 simpllr 767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  s  e.  S )
12 simplr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )
1310, 11, 123jca 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( ( 1r `  R )  e.  E  /\  s  e.  S  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )
14 simprl 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  f finSupp  .0.  )
15 islindeps2.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  M
)
16 islindeps2.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  (Scalar `  M )
17 islindeps2.0 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
18 islindeps2.z . . . . . . . . . . . 12  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
19 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
20 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )
2115, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext2 39869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( ( 1r `  R )  e.  E  /\  s  e.  S  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  f finSupp  .0.  )  ->  (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) finSupp  .0.  )
223, 13, 14, 21syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) finSupp  .0.  )
23 simpl1 1008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  M  e.  LMod )
24 elelpwi 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  e.  S  /\  S  e.  ~P B
)  ->  s  e.  B )
2524expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( s  e.  S  ->  s  e.  B ) )
26253ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( s  e.  S  ->  s  e.  B ) )
2726imp 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  s  e.  B )
28 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
2915, 16, 28, 6lmodvs1 18118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  s  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
) ( .s `  M ) s )  =  s )
3023, 27, 29syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( ( 1r `  R ) ( .s
`  M ) s )  =  s )
3130adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S
)  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  -> 
( ( 1r `  R ) ( .s
`  M ) s )  =  s )
32 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s  -> 
( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )
3332eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s  -> 
s  =  ( f ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )
3433adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s )  ->  s  =  ( f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) )
3531, 34sylan9eq 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( ( 1r `  R ) ( .s `  M ) s )  =  ( f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) )
3615, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext3 39870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( ( 1r `  R )  e.  E  /\  s  e.  S  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
( 1r `  R
) ( .s `  M ) s )  =  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )  ->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z )
373, 13, 14, 35, 36syl112anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z )
3822, 37jca 534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )
39 eqidd 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) )  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) )
40 iftrue 3917 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  s  ->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) )  =  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )
4140adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S
)  /\  z  =  s )  ->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) )  =  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )
42 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  s  e.  S )
43 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) )  e. 
_V
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  _V )
4539, 41, 42, 44fvmptd 5970 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) `
 s )  =  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )
46 nzrneg1ne0 39488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  =/=  ( 0g `  R
) )
4717a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e. NzRing  ->  .0.  =  ( 0g `  R ) )
4846, 47neeqtrrd 2720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  =/= 
.0.  )
49483ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  =/= 
.0.  )
5049adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) )  =/=  .0.  )
5145, 50eqnetrd 2713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) `
 s )  =/= 
.0.  )
5251adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S
)  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  -> 
( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) `
 s )  =/= 
.0.  )
5352adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) `  s )  =/=  .0.  )
5415, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext1 39868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( ( 1r `  R )  e.  E  /\  s  e.  S  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  e.  ( E  ^m  S ) )
553, 13, 54syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  e.  ( E  ^m  S ) )
56 breq1 4426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  ->  ( g finSupp  .0.  <->  (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) finSupp  .0.  ) )
57 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  ->  ( g ( linC  `  M ) S )  =  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S ) )
5857eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  ->  ( ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z  <-> 
( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )
5956, 58anbi12d 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  ->  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  <->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )
60 fveq1 5880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  ->  ( g `  s )  =  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) `  s ) )
6160neeq1d 2697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  ->  ( ( g `
 s )  =/= 
.0. 
<->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) `
 s )  =/= 
.0.  ) )
6259, 61anbi12d 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  ->  ( ( ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z )  /\  (
g `  s )  =/=  .0.  )  <->  ( (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) `  s )  =/=  .0.  ) ) )
6362adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  /\  g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) )  ->  ( ( ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z )  /\  (
g `  s )  =/=  .0.  )  <->  ( (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) `  s )  =/=  .0.  ) ) )
6455, 63rspcedv 3186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( (
( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) `  s )  =/=  .0.  )  ->  E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
) )
6538, 53, 64mp2and 683 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  E. g  e.  ( E  ^m  S
) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)
6665exp31 607 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( f  e.  ( E  ^m  ( S 
\  { s } ) )  ->  (
( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s )  ->  E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
) ) )
6766rexlimdv 2912 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  ->  E. g  e.  ( E  ^m  S
) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
) )
6867reximdva 2897 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  ->  E. s  e.  S  E. g  e.  ( E  ^m  S
) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
) )
6968imp 430 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s ) )  ->  E. s  e.  S  E. g  e.  ( E  ^m  S
) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)
70 df-3an 984 . . . . . . 7  |-  ( ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) 
<->  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) )
71 r19.42v 2980 . . . . . . 7  |-  ( E. s  e.  S  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )  <->  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) )
7270, 71bitr4i 255 . . . . . 6  |-  ( ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) 
<->  E. s  e.  S  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)
7372rexbii 2924 . . . . 5  |-  ( E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) 
<->  E. g  e.  ( E  ^m  S ) E. s  e.  S  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)
74 rexcom 2987 . . . . 5  |-  ( E. g  e.  ( E  ^m  S ) E. s  e.  S  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )  <->  E. s  e.  S  E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z )  /\  (
g `  s )  =/=  .0.  ) )
7573, 74bitri 252 . . . 4  |-  ( E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) 
<->  E. s  e.  S  E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)
7669, 75sylibr 215 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s ) )  ->  E. g  e.  ( E  ^m  S
) ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  (
g `  s )  =/=  .0.  ) )
7715, 18, 16, 5, 17islindeps 39867 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  -> 
( S linDepS  M  <->  E. g  e.  ( E  ^m  S
) ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  (
g `  s )  =/=  .0.  ) ) )
78773adant3 1025 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( S linDepS  M  <->  E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) ) )
7978adantr 466 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( S linDepS  M  <->  E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  (
g `  s )  =/=  .0.  ) ) )
8076, 79mpbird 235 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s ) )  ->  S linDepS  M )
8180ex 435 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  ->  S linDepS  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   E.wrex 2772   _Vcvv 3080    \ cdif 3433   ifcif 3911   ~Pcpw 3981   {csn 3998   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^m cmap 7483   finSupp cfsupp 7892   Basecbs 15120  Scalarcsca 15192   .scvsca 15193   0gc0g 15337   invgcminusg 16669   1rcur 17734   Ringcrg 17779   LModclmod 18090  NzRingcnzr 18480   linC clinc 39818   linDepS clindeps 39855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-tpos 6984  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-oi 8034  df-card 8381  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12220  df-hash 12522  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-mre 15491  df-mrc 15492  df-acs 15494  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-submnd 16582  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-mulg 16675  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-abl 17432  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-oppr 17850  df-dvdsr 17868  df-unit 17869  df-invr 17899  df-lmod 18092  df-nzr 18481  df-linc 39820  df-lininds 39856  df-lindeps 39858
This theorem is referenced by:  islininds2  39898  isldepslvec2  39899
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