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Theorem islindeps2 33228
Description: Conditions for being a linearly dependent subset of a (left) module over a nonzero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islindeps2.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
islindeps2.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
islindeps2.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
islindeps2.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
islindeps2.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
islindeps2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  ->  S linDepS  M ) )
Distinct variable groups:    B, f,
s    f, E, s    f, M, s    R, f, s    S, f, s    f, Z, s    .0. , f, s

Proof of Theorem islindeps2
Dummy variables  g 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  -> 
( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
) )
213adant3 1016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B ) )
32ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B ) )
4 nzrring 18036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e. NzRing  ->  R  e.  Ring )
5 islindeps2.e . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  E  =  ( Base `  R
)
6 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
75, 6ringidcl 17346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  E )
84, 7syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( 1r `  R )  e.  E
)
983ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( 1r `  R )  e.  E
)
109ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( 1r `  R )  e.  E
)
11 simpllr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  s  e.  S )
12 simplr 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )
1310, 11, 123jca 1176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( ( 1r `  R )  e.  E  /\  s  e.  S  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )
14 simprl 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  f finSupp  .0.  )
15 islindeps2.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  M
)
16 islindeps2.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  (Scalar `  M )
17 islindeps2.0 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
18 islindeps2.z . . . . . . . . . . . 12  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
19 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
20 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )
2115, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext2 33200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( ( 1r `  R )  e.  E  /\  s  e.  S  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  f finSupp  .0.  )  ->  (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) finSupp  .0.  )
223, 13, 14, 21syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) finSupp  .0.  )
23 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  M  e.  LMod )
24 elelpwi 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  e.  S  /\  S  e.  ~P B
)  ->  s  e.  B )
2524expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( s  e.  S  ->  s  e.  B ) )
26253ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( s  e.  S  ->  s  e.  B ) )
2726imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  s  e.  B )
28 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
2915, 16, 28, 6lmodvs1 17667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  s  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
) ( .s `  M ) s )  =  s )
3023, 27, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( ( 1r `  R ) ( .s
`  M ) s )  =  s )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S
)  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  -> 
( ( 1r `  R ) ( .s
`  M ) s )  =  s )
32 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s  -> 
( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )
3332eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s  -> 
s  =  ( f ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )
3433adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s )  ->  s  =  ( f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) )
3531, 34sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( ( 1r `  R ) ( .s `  M ) s )  =  ( f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) )
3615, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext3 33201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( ( 1r `  R )  e.  E  /\  s  e.  S  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
( 1r `  R
) ( .s `  M ) s )  =  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )  ->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z )
373, 13, 14, 35, 36syl112anc 1232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z )
3822, 37jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )
39 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) )  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) )
40 iftrue 3950 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  s  ->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) )  =  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )
4140adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S
)  /\  z  =  s )  ->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) )  =  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )
42 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  s  e.  S )
43 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) )  e. 
_V
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  _V )
4539, 41, 42, 44fvmptd 5961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) `
 s )  =  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )
46 nzrneg1ne0 32819 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  =/=  ( 0g `  R
) )
4717a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e. NzRing  ->  .0.  =  ( 0g `  R ) )
4846, 47neeqtrrd 2757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  =/= 
.0.  )
49483ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  =/= 
.0.  )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) )  =/=  .0.  )
5145, 50eqnetrd 2750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) `
 s )  =/= 
.0.  )
5251adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S
)  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  -> 
( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) `
 s )  =/= 
.0.  )
5352adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) `  s )  =/=  .0.  )
5415, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext1 33199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( ( 1r `  R )  e.  E  /\  s  e.  S  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  e.  ( E  ^m  S ) )
553, 13, 54syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  e.  ( E  ^m  S ) )
56 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  ->  ( g finSupp  .0.  <->  (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) finSupp  .0.  ) )
57 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  ->  ( g ( linC  `  M ) S )  =  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S ) )
5857eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  ->  ( ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z  <-> 
( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )
5956, 58anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  ->  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  <->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )
60 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  ->  ( g `  s )  =  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) `  s ) )
6160neeq1d 2734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  ->  ( ( g `
 s )  =/= 
.0. 
<->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) `
 s )  =/= 
.0.  ) )
6259, 61anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  ->  ( ( ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z )  /\  (
g `  s )  =/=  .0.  )  <->  ( (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) `  s )  =/=  .0.  ) ) )
6362adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  /\  g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) )  ->  ( ( ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z )  /\  (
g `  s )  =/=  .0.  )  <->  ( (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) `  s )  =/=  .0.  ) ) )
6455, 63rspcedv 3214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( (
( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) `  s )  =/=  .0.  )  ->  E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
) )
6538, 53, 64mp2and 679 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  E. g  e.  ( E  ^m  S
) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)
6665exp31 604 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( f  e.  ( E  ^m  ( S 
\  { s } ) )  ->  (
( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s )  ->  E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
) ) )
6766rexlimdv 2947 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  ->  E. g  e.  ( E  ^m  S
) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
) )
6867reximdva 2932 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  ->  E. s  e.  S  E. g  e.  ( E  ^m  S
) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
) )
6968imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s ) )  ->  E. s  e.  S  E. g  e.  ( E  ^m  S
) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)
70 df-3an 975 . . . . . . 7  |-  ( ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) 
<->  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) )
71 r19.42v 3012 . . . . . . 7  |-  ( E. s  e.  S  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )  <->  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) )
7270, 71bitr4i 252 . . . . . 6  |-  ( ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) 
<->  E. s  e.  S  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)
7372rexbii 2959 . . . . 5  |-  ( E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) 
<->  E. g  e.  ( E  ^m  S ) E. s  e.  S  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)
74 rexcom 3019 . . . . 5  |-  ( E. g  e.  ( E  ^m  S ) E. s  e.  S  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )  <->  E. s  e.  S  E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z )  /\  (
g `  s )  =/=  .0.  ) )
7573, 74bitri 249 . . . 4  |-  ( E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) 
<->  E. s  e.  S  E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)
7669, 75sylibr 212 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s ) )  ->  E. g  e.  ( E  ^m  S
) ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  (
g `  s )  =/=  .0.  ) )
7715, 18, 16, 5, 17islindeps 33198 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  -> 
( S linDepS  M  <->  E. g  e.  ( E  ^m  S
) ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  (
g `  s )  =/=  .0.  ) ) )
78773adant3 1016 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( S linDepS  M  <->  E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) ) )
7978adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( S linDepS  M  <->  E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  (
g `  s )  =/=  .0.  ) ) )
8076, 79mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s ) )  ->  S linDepS  M )
8180ex 434 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  ->  S linDepS  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    \ cdif 3468   ifcif 3944   ~Pcpw 4015   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   finSupp cfsupp 7847   Basecbs 14644  Scalarcsca 14715   .scvsca 14716   0gc0g 14857   invgcminusg 16181   1rcur 17280   Ringcrg 17325   LModclmod 17639  NzRingcnzr 18032   linC clinc 33149   linDepS clindeps 33186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-lmod 17641  df-nzr 18033  df-linc 33151  df-lininds 33187  df-lindeps 33189
This theorem is referenced by:  islininds2  33229  isldepslvec2  33230
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