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Theorem islindeps2 32157
Description: Conditions for being a linearly dependent subset of a (left) module over a nonzero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islindeps2.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
islindeps2.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
islindeps2.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
islindeps2.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
islindeps2.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
islindeps2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  ->  S linDepS  M ) )
Distinct variable groups:    B, f,
s    f, E, s    f, M, s    R, f, s    S, f, s    f, Z, s    .0. , f, s

Proof of Theorem islindeps2
Dummy variables  g 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  -> 
( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
) )
213adant3 1016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B ) )
32ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B ) )
4 nzrrng 17691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e. NzRing  ->  R  e.  Ring )
5 islindeps2.e . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  E  =  ( Base `  R
)
6 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
75, 6rngidcl 17006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  E )
84, 7syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( 1r `  R )  e.  E
)
983ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( 1r `  R )  e.  E
)
109ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( 1r `  R )  e.  E
)
11 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  s  e.  S )
12 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )
1310, 11, 123jca 1176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( ( 1r `  R )  e.  E  /\  s  e.  S  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )
14 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  f finSupp  .0.  )
15 islindeps2.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  M
)
16 islindeps2.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  (Scalar `  M )
17 islindeps2.0 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
18 islindeps2.z . . . . . . . . . . . 12  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
19 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
20 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )
2115, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext2 32129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( ( 1r `  R )  e.  E  /\  s  e.  S  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  f finSupp  .0.  )  ->  (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) finSupp  .0.  )
223, 13, 14, 21syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) finSupp  .0.  )
23 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  M  e.  LMod )
24 elelpwi 4021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  e.  S  /\  S  e.  ~P B
)  ->  s  e.  B )
2524expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( s  e.  S  ->  s  e.  B ) )
26253ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( s  e.  S  ->  s  e.  B ) )
2726imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  s  e.  B )
28 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
2915, 16, 28, 6lmodvs1 17323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  s  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
) ( .s `  M ) s )  =  s )
3023, 27, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( ( 1r `  R ) ( .s
`  M ) s )  =  s )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S
)  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  -> 
( ( 1r `  R ) ( .s
`  M ) s )  =  s )
32 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s  -> 
( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )
3332eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s  -> 
s  =  ( f ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )
3433adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s )  ->  s  =  ( f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) )
3531, 34sylan9eq 2528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( ( 1r `  R ) ( .s `  M ) s )  =  ( f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) )
3615, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext3 32130 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( ( 1r `  R )  e.  E  /\  s  e.  S  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
( 1r `  R
) ( .s `  M ) s )  =  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )  ->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z )
373, 13, 14, 35, 36syl112anc 1232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z )
3822, 37jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )
39 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) )  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) )
40 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  s  ->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) )  =  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )
4140adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S
)  /\  z  =  s )  ->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) )  =  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )
42 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  s  e.  S )
43 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) )  e. 
_V
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  _V )
4539, 41, 42, 44fvmptd 5953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) `
 s )  =  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )
46 nzrneg1ne0 32033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  =/=  ( 0g `  R
) )
4717a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e. NzRing  ->  .0.  =  ( 0g `  R ) )
4846, 47neeqtrrd 2767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  =/= 
.0.  )
49483ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  =/= 
.0.  )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) )  =/=  .0.  )
5145, 50eqnetrd 2760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) `
 s )  =/= 
.0.  )
5251adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S
)  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  -> 
( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) `
 s )  =/= 
.0.  )
5352adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) `  s )  =/=  .0.  )
5415, 16, 5, 17, 18, 19, 20lincext1 32128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( ( 1r `  R )  e.  E  /\  s  e.  S  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  e.  ( E  ^m  S ) )
553, 13, 54syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  e.  ( E  ^m  S ) )
56 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  ->  ( g finSupp  .0.  <->  (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) finSupp  .0.  ) )
57 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  ->  ( g ( linC  `  M ) S )  =  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S ) )
5857eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  ->  ( ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z  <-> 
( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )
5956, 58anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  ->  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  <->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )
60 fveq1 5863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  ->  ( g `  s )  =  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) `  s ) )
6160neeq1d 2744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  ->  ( ( g `
 s )  =/= 
.0. 
<->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) `
 s )  =/= 
.0.  ) )
6259, 61anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) )  ->  ( ( ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z )  /\  (
g `  s )  =/=  .0.  )  <->  ( (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) `  s )  =/=  .0.  ) ) )
6362adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  /\  g  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) )  ->  ( ( ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z )  /\  (
g `  s )  =/=  .0.  )  <->  ( (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) `  s )  =/=  .0.  ) ) )
6455, 63rspcedv 3218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( (
( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ,  ( f `  z
) ) ) `  s )  =/=  .0.  )  ->  E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
) )
6538, 53, 64mp2and 679 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  /\  f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s ) )  ->  E. g  e.  ( E  ^m  S
) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)
6665exp31 604 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( f  e.  ( E  ^m  ( S 
\  { s } ) )  ->  (
( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  s )  ->  E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
) ) )
6766rexlimdv 2953 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  s  e.  S )  ->  ( E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  ->  E. g  e.  ( E  ^m  S
) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
) )
6867reximdva 2938 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  ->  E. s  e.  S  E. g  e.  ( E  ^m  S
) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
) )
6968imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s ) )  ->  E. s  e.  S  E. g  e.  ( E  ^m  S
) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)
70 df-3an 975 . . . . . . 7  |-  ( ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) 
<->  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) )
71 r19.42v 3016 . . . . . . 7  |-  ( E. s  e.  S  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )  <->  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) )
7270, 71bitr4i 252 . . . . . 6  |-  ( ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) 
<->  E. s  e.  S  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)
7372rexbii 2965 . . . . 5  |-  ( E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) 
<->  E. g  e.  ( E  ^m  S ) E. s  e.  S  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)
74 rexcom 3023 . . . . 5  |-  ( E. g  e.  ( E  ^m  S ) E. s  e.  S  ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )  <->  E. s  e.  S  E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z )  /\  (
g `  s )  =/=  .0.  ) )
7573, 74bitri 249 . . . 4  |-  ( E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) 
<->  E. s  e.  S  E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  ( g `  s
)  =/=  .0.  )
)
7669, 75sylibr 212 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s ) )  ->  E. g  e.  ( E  ^m  S
) ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  (
g `  s )  =/=  .0.  ) )
7715, 18, 16, 5, 17islindeps 32127 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  -> 
( S linDepS  M  <->  E. g  e.  ( E  ^m  S
) ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  (
g `  s )  =/=  .0.  ) ) )
78773adant3 1016 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( S linDepS  M  <->  E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( g finSupp  .0.  /\  (
g ( linC  `  M
) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  ( g `  s )  =/=  .0.  ) ) )
7978adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s ) )  ->  ( S linDepS  M  <->  E. g  e.  ( E  ^m  S ) ( g finSupp  .0.  /\  ( g ( linC  `  M ) S )  =  Z  /\  E. s  e.  S  (
g `  s )  =/=  .0.  ) ) )
8076, 79mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  /\  E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s ) )  ->  S linDepS  M )
8180ex 434 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  R  e. NzRing )  ->  ( E. s  e.  S  E. f  e.  ( E  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  =  s )  ->  S linDepS  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    \ cdif 3473   ifcif 3939   ~Pcpw 4010   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    ^m cmap 7417   finSupp cfsupp 7825   Basecbs 14486  Scalarcsca 14554   .scvsca 14555   0gc0g 14691   invgcminusg 15724   1rcur 16943   Ringcrg 16986   LModclmod 17295  NzRingcnzr 17687   linC clinc 32078   linDepS clindeps 32115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-hash 12370  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-oppr 17056  df-dvdsr 17074  df-unit 17075  df-invr 17105  df-lmod 17297  df-nzr 17688  df-linc 32080  df-lininds 32116  df-lindeps 32118
This theorem is referenced by:  islininds2  32158  isldepslvec2  32159
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